二次型及其應(yīng)用

1、濱江學(xué)院畢業(yè)論文題目 二次型及其應(yīng)用 院 系 濱江學(xué)院理學(xué)系專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)生姓名 劉 峰 學(xué) 號(hào) 20102314014 指導(dǎo)教師 吳 亞 娟 職 稱 副 教 授 二一四年五月十日目 錄引言1 1、二次型的相關(guān)定義和定理11.1二次型的定義12、二次型在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2 2.1不等式證明2 2.2多項(xiàng)式的因式分解4 2.3判斷二次曲線的形狀63、二次型在幾何方面的應(yīng)用7 3.1求平面線圖形的面積84、多元函數(shù)極值方面的應(yīng)用9 4.1條件極值9 4.2無條件極值105、求多元函數(shù)積分方面的應(yīng)用115.1二次型的正交變換11 5.1重積分的計(jì)算125.2求曲面積分136、結(jié)束語147、

2、參考文獻(xiàn)14二次型及其應(yīng)用劉峰 南京信息工程隊(duì)大學(xué)濱江學(xué)院理學(xué)系專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué) 學(xué)號(hào)：20102314014摘要: 二次型是高等代數(shù)學(xué)中的內(nèi)容之一，研究二次型是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的需求，目前二次型的研究理論物理力學(xué)、環(huán)境工程、科學(xué)技術(shù)中都有重要的作用，對(duì)二次型簡單的研究必須先寫好二次型的矩陣，同時(shí)運(yùn)用矩陣的一些理論能更好的應(yīng)用于社會(huì)生活中的一般例子，隨著我們?nèi)祟惿a(chǎn)生活的不斷進(jìn)步，不斷現(xiàn)代化，二次型的運(yùn)用也是一項(xiàng)不可或缺的研究。關(guān)鍵字：極值；幾何 ；重積分；引 言二次型是高等代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，它的理論在自然科學(xué)，環(huán)境工程、工程技術(shù)之中廣泛的應(yīng)用，求出問題的最大值與最小值，多項(xiàng)式的因式分解

3、，判別二次曲線圖形的形狀和計(jì)算曲面圖形的面積等等內(nèi)容在代數(shù)學(xué)中占有重要的地位。目前在許多相關(guān)書籍和教材的資料中，對(duì)二次型和它的一些的應(yīng)用歸納的越來越詳細(xì)，還有在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用也越來越廣泛，比如在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，在教學(xué)中的應(yīng)用也越來越多。本文主要探討常見的二次型最值問題，不等式問題，曲面積分問題，重積分問題,等等一些應(yīng)用。1、二次型的相關(guān)定義和定理11、二次型的概念和定義在高等代數(shù)中涉及的一些相關(guān)理論設(shè)是一個(gè)數(shù)域,一個(gè)系數(shù)在數(shù)域中的 的二次齊次多項(xiàng)式：，稱為數(shù)域上的一個(gè)元二次型,在不影響混淆時(shí)簡稱二次型。在我們討論二次型時(shí)，一定會(huì)運(yùn)用到矩陣，因此要先將二次型用矩陣的線性替換來表示：,因?yàn)?，?/p>

4、現(xiàn)這種情況都是對(duì)稱矩陣，所以二次型與對(duì)稱矩陣是一一對(duì)應(yīng)的。則元二次型可以用矩陣的乘積表示出來:所以，此中，那么對(duì)稱矩陣我們就簡稱為二次型的矩陣。2、二次型在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2.1不等式證明在數(shù)域上含有元 的二次齊次多項(xiàng)式也稱為數(shù)域上的一個(gè)元二次型，簡稱二次型。記：，它是對(duì)稱矩陣，則二次型可表示為，稱是二次型矩陣，二次型經(jīng)過可逆線性替換只含有平方項(xiàng)系數(shù)，即，標(biāo)準(zhǔn)型所對(duì)應(yīng)的矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，如果標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)全為正數(shù)，則二次型為正定二次型，這時(shí)任意不全為零的實(shí)數(shù)，都有。相關(guān)不等式證明如下：例1 三角形三個(gè)內(nèi)角，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有 。解 其中 ，于是 的特征值由以上定義可知是半正定的，對(duì)于任意實(shí)數(shù)

5、則 。 即得證。例2 求證：解 設(shè)二次型 則 矩陣為 因此各順序主子式為所以，即得證。2.2多項(xiàng)式的因式分解定理 一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充分必要條件是:它的秩為和符號(hào)差為,或秩等于。證明 必要性 設(shè)（1） 若兩個(gè)一次多項(xiàng)式的系數(shù)成比例,即，不妨設(shè),令則,即二次型的秩為（2）若兩個(gè)一次多項(xiàng)式的系數(shù)不成比例,不妨設(shè),令 則.再令則,故二次型的秩為,符號(hào)差為。充分性 （1）若的秩為,則經(jīng)非退化線性替換使,其中。故。（2）若的秩為,符號(hào)差為,使,其中,均為的一次齊次多項(xiàng)式,即,故可表示成兩個(gè)一次齊次多項(xiàng)式的乘積。例3 二次型在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能否分解。解 令 求 的秩和符號(hào)差

6、對(duì) 作非退化線性替換，的秩為 ，因此 不能分解，從而 也不能分解。例4 因式分解 解 令對(duì)作非退化線性替換： 所以，可見的秩為，符號(hào)差為。所以分解因式為 。2.3判斷二次曲線的形狀 平面上，中心坐標(biāo)原點(diǎn)的有心二次曲線方程的一般形式可寫成：，那么他就是一個(gè)實(shí)二元二次型：它作為二次曲線的方程，就是在三維歐氏空間的直角坐標(biāo)系中的函數(shù)的二次曲面與平面的交線在坐標(biāo)平面上的正投影。下面我們來討論如何利用二次型來判別二次曲線的形狀。 例5 判斷二次曲線 的形狀。解 ，這是拋物形曲線.，所以是一條拋物線，化簡后方程為 ?；蚣?或 因此這條拋物線的焦準(zhǔn)距例6 判斷二次曲線 的形狀。解 ,這是雙曲線.。此時(shí) 因?yàn)?/p>

7、，解下面特征方程： 得特征根。又，于是化簡后的方程為：，即 所以這條雙曲線的實(shí)半軸，虛半軸。3、二次型在幾何方面的應(yīng)用在代數(shù)學(xué)中我們認(rèn)識(shí)了幾何的產(chǎn)生和發(fā)展，解析幾何中將曲面公式化為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的問題進(jìn)行研究，本節(jié)主要運(yùn)用二次型的標(biāo)準(zhǔn)型來計(jì)算曲線圖形的面積。3.1求平面圖形的面積例7 求 曲線圍成圖形的面積。解 設(shè)則經(jīng)過非退化線性替換把化成二次型的標(biāo)準(zhǔn)型即 它的兩個(gè)半軸分別為 從而這個(gè)曲線的面積為 。例8 曲面把平面截取，求所截取部分的面積。解 ，令， 將化為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為，經(jīng)過正交變化可以將曲線方程化為為圓柱面，而平面方程可以化為，所求曲面被截取部分的面積。4、多元函數(shù)在極值方面的應(yīng)用4.

8、1條件極值定理4.1 實(shí)元多項(xiàng)式，它的矩陣為，秩為，對(duì)其作非退化的線性替換，則，當(dāng)為半正定時(shí)：1） 若，有最小值。2） 若，則在平方項(xiàng)中出現(xiàn)一次項(xiàng)系數(shù)，有最小值。3） 若，則在平方項(xiàng)中出現(xiàn)的一次項(xiàng)系數(shù)至少有一個(gè)，則沒有最值。當(dāng)為半負(fù)定時(shí)：1） 若，有最大值。2） 若，則在平方項(xiàng)中出現(xiàn)一次項(xiàng)系數(shù)，有最大值。3） 若，則在平方項(xiàng)中出現(xiàn)的一次項(xiàng)系數(shù)至少有一個(gè)，則沒有最值。當(dāng)不定時(shí): 則不存在最值。例9 是否有存在極值，并求出解 二次型的對(duì)應(yīng)矩陣，有可逆矩陣，, 它的主對(duì)角線上有一個(gè)零,所以,不是正定矩陣，但是矩陣中對(duì)角線上其他數(shù)據(jù)都是正的, 那么矩陣是半正定矩陣,用作線性替換,那么原多項(xiàng)式的二次齊次

9、項(xiàng)部分就變?yōu)?一次項(xiàng)部分變?yōu)?，所含字?均在平方中出現(xiàn),存在最小值.對(duì)變換后的多項(xiàng)式配方,得 .故當(dāng),時(shí),上式有極小值，將,代入中,當(dāng), ,(為任意常數(shù))時(shí),那么上面的公式有極小值。4.2無條件極值例10 看下面函數(shù)是否有極值，并求出其值解 則 5、求多元函數(shù)積分方面的應(yīng)用對(duì)于重積分來說也是代數(shù)學(xué)二次型的一個(gè)基本內(nèi)容，它的用途在很多領(lǐng)域多涉及到，但是重積分的計(jì)算問題仍有很多技術(shù)難題需要克服，運(yùn)用二次型的正交變化能更好的解決重積分計(jì)算問題，文章本節(jié)將利用二次型的相關(guān)理論去解決某些重積分的一般計(jì)算問題和求一般曲面積分。5.1、二次型的正交變換 設(shè)其中，表示矩陣的轉(zhuǎn)置，矩陣的行列式記為。若 ，則經(jīng)過

10、平移后= ，就是二次型的正交變換。5.2重積分的計(jì)算例11 計(jì)算 而平移變化是正交變化例12 求 5.2求曲面積分例13 求，其中 ，解 結(jié)束語伴隨著人類文明社會(huì)的改革創(chuàng)新，人類進(jìn)步的步伐越來越快，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)在我們?nèi)粘Ｉ钪械姆椒矫婷娑忌婕暗?數(shù)學(xué)中的二次型也廣泛應(yīng)用于其他社會(huì)科學(xué)比如自然科學(xué)，環(huán)境工程，經(jīng)濟(jì)學(xué)理論和經(jīng)營管理等的許多領(lǐng)域，在這個(gè)開放的社會(huì)，市場經(jīng)濟(jì)已然成為我們現(xiàn)在的主體經(jīng)濟(jì)，人們社會(huì)生活的步驟也不斷加快，人們?cè)诙涡蛯?shí)際應(yīng)用中也取得了很大的進(jìn)步，使人們?cè)谏鐣?huì)生活中能獲得更多的利益，更加方便快捷。 參考文獻(xiàn)（1） 王萼方等編高等代數(shù)（第三版），高等教育出版社，2003。（

11、2） 蔣爾雄等編線性代數(shù) ，人民教育出版社，1978。（3） 孫學(xué)波基于正定二次型的一個(gè)不等式及其證明 ，鞍山科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004。（4） 呂林根等編解析幾何（第三版），高等教育出版社，1987。（5）菲赫金哥爾茨著微積分教程 ,高等教育出版社，2006。（6） 魏權(quán)玲、劉起運(yùn)、胡顯佑等編數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)（第二版），中國人名大學(xué)出版社，2008。Quadratic form and its applicationsLiu fengNanjing information engineer brigade university Bin Jiang institute principle departm

12、ent specialty: Information and computation scientific student number: 20102314014Abstract: Quadratic form is one of the content of higher algebra, the second type is the demand of the modern science and technology, the research theory of quadratic form physical mechanics, environmental engineering, science and technology has important role in the study of quadratic simple must first write a quadratic matrix, at the same time using some theories of the matrix can be better applied to the general cas