高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式測評 北師大版-5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章不等關(guān)系與基本不等式測評(時間:120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分）1。已知1a0,從而ba+ab2,因此正確。答案：b2。若ar,且p=1a2+a+1，q=a2-a+1，則有()a。pqb。pqc。pqd。pq解析:由于ar,顯然有p0，q0，且qp=（a2a+1）(a2+a+1)=a4+a2+11,因此qp。答案:c3。對于xr,不等式|x+10|x2|8的解集為(）a.0，+)b.(0,2）c。0，2)d.(0,+）答案:a4.下列函數(shù)中,最小值為2的是()a.y=x+1xb.y=x2-2x+4c。y=x2+1x2

2、d。y=x2+2+1x2+2解析:在函數(shù)y=x2+1x2中,x20,所以y=x2+1x22x21x2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時函數(shù)取最小值2.答案：c5。若不等式ax+2|4的解集為（1，3)，則實(shí)數(shù)a等于()a。8b.2c.-4d.-2解析：由-4ax+24,得-6ax0,則f（a1）+f(a3)+f（a5)的值（）a。恒為正數(shù)b。恒為負(fù)數(shù)c。恒為0d。可正可負(fù)解析:因為f(x）是r上的增函數(shù)且為奇函數(shù),a30，所以f（a3)f(0）=0。又a1+a5=2a3,所以a1+a50，則a1a5,于是f（a1)f(-a5),即f（a1)-f（a5),所以f（a1）+f(a5)0,所以f(a1）+f(a

3、3）+f(a5)0.答案：a7.已知f(x)=2x+3（xr），若f（x)-1a的必要條件是|x+1|b(a,b0）,則a,b之間的關(guān)系是（）a.ba2b.bb2解析：由|f（x)-1a可得-a-22xa-22，由|x+1|b可得-b-1xb1，由題意可得-b-1-a-22,b-1a-22,解得ba2.答案：a8。若x(0,)，則y=sinx2cos2x2的最大值等于(）a。427b。239c。23d.49解析:y2=sin2x2cos4x2=122sin2x2cos2x2cos2x2122sin2x2+cos2x2+cos2x233=427，當(dāng)且僅當(dāng)2sin2x2=cos2x2，x（0，）時

4、等號成立。所以y239,故所求最大值為239.答案：b9.若x-13,y+2|1,則|2x+3y|的取值范圍是（)a.(-,5）b.（-,13)c。（，9）d。（,4）解析：|2x+3y=|2(x-1)+3(y+2）4|2|x1+3|y+2+-46+3+4=13.答案:b10.若不等式x2x-1|+a的解集是區(qū)間（-3，3)的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a。（-，7)b.（,7c.(-，5）d.（,5解析:不等式x2-2，且x0,則1x的取值范圍是。解析：因為x-2,且x0，所以當(dāng)x0時有1x0;當(dāng)2x0時有1x12,綜上可知,1x的取值范圍是（0,+）-,-12。答案：(0，+)-,-12

5、14.某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個問題:函數(shù)f(x)在0，1上有意義,且f(0)=f(1），如果對于不同的x1,x20，1,都有f（x1)-f（x2）|x1x2|，求證:|f（x1）f（x2)12。那么它的假設(shè)應(yīng)該是。解析:“|f(x1）-f（x2)12的否定是|f(x1）f（x2)|12。答案：f(x1)f(x2)1215。若不等式x+1+x-3|a+4a對任意的實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：由絕對值不等式的意義可得a+4a4，所以(a-2)2a0，解得a的取值范圍為（-，0）2.答案:(,0）216.“蛟龍?zhí)枴陛d人深潛器是我國首臺自主設(shè)計、自主集成研制的作業(yè)型深海載人潛水器.

6、設(shè)計最大下潛深度為7 000米級。6月24日，“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器7 000米海試在西太平洋馬里亞納海溝進(jìn)行了第四次下潛試驗.“蛟龍?zhí)枴比绻凑疹A(yù)計下潛的深度s（米)與時間t(分鐘）之間的關(guān)系滿足關(guān)系式為s=0。2t2-14t+2 000，那么平均速度的最小值是。解析：平均速度為v(t）=st=0.2t2-14t+2 000t=0。2t+2 000t-1420.2t2 000t-14=220-14=26,當(dāng)且僅當(dāng)0.2t=2 000t，即t=100時，取得最小值.答案：26三、解答題(本大題共6小題，共70分）17.（本小題滿分10分)設(shè)不等式x2|a(an+）的解集為a，且32a，12a。(

7、1)求a的值；（2）求函數(shù)f（x)=x+a|+x2的最小值.解(1)因為32a,且12a，所以32-2a，且12-2a,解得12a32.又an+，所以a=1。（2)因為x+1+|x-2(x+1)-（x2）=3，當(dāng)且僅當(dāng)（x+1)(x2)0，即-1x2時取到等號。故f(x）的最小值為3。18.(本小題滿分12分)（1)設(shè)x是正實(shí)數(shù),求證：（x+1)（x2+1）(x3+1)8x3.（2)若xr,不等式（x+1）（x2+1)(x3+1）8x3是否依然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請舉出一個使它不成立的x值。（1)證明x是正實(shí)數(shù),由平均值不等式知x+12x，1+x22x，1+x32x3,故（x+

8、1）(x2+1)(x3+1）2x2x2x3=8x3（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,等號成立）.（2)解若xr,不等式(x+1）(x2+1）（x3+1)8x3依然成立。證明如下:由(1)知,當(dāng)x0時不等式成立.當(dāng)x0時，8x30,又（x+1)(x2+1）（x3+1）=（x+1）2(x2+1)(x2x+1）=（x+1)2(x2+1）x-122+340,故此時不等式依然成立。19。（本小題滿分12分)已知正數(shù)a，b,c滿足a+b+c=6，求證：1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)12.證明由已知及平均值不等式可得1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)331a(1+b)1b(1+c)1c(1+a

9、)=33abc(1+a)(1+b)(1+c)=33abc3(1+a)(1+b)(1+c)3a+b+c31+a+1+b+1+c3=323=12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時等號成立。故原不等式成立.20.導(dǎo)學(xué)號35664028(本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x）=x1.（1)解不等式f（x)+f(x+4)8；(2）若|a1,|b|1,且a0,求證：f(ab）afba.（1)解f（x)+f（x+4)=|x-1+|x+3=-2x-2,x1.當(dāng)x-3時,由-2x28，解得x5;當(dāng)3x1時,48不成立；當(dāng)x1時，由2x+28,解得x3。所以原不等式的解集為x|x5或x3.(2）證明f(ab)|a|fba，即

10、ab1|a-b.因為a|1，|b|0，所以ab1|a-b.故原不等式成立。21.導(dǎo)學(xué)號35664029(本小題滿分12分)已知x，y,zr+，x+y+z=3.(1）求1x+1y+1z的最小值；（2)證明：3x2+y2+z20,所以（x+y+z）1x+1y+1z9,即1x+1y+1z3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時，1x=1y=1z取得最小值3。(2）證明x2+y2+z2=x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)3x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)3=(x+y+z)23=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時等號成立。又x2+y2+z29=x2+y2+z2（x+y+z）2=-2（xy+yz+zx）0,所以3x2+y2+z2x的解集；(2)若a+b=1,對a，b(0，+)，1a+4b2x1|x+1恒成立,求x的取值范圍.解（1）f（x)=|2x-1|-x+1,當(dāng)xx,得1-2x+x+1x，解得xx，得1-2x-x1x，解得-1x0;當(dāng)x12時，f（x)x,得2x-1-（x+1)x，解得20無解;綜上可知x0,即f(x)x的解集為x|x0。（2)f（x)=-x+2,x12.畫出圖像如圖所示:因為a，b(0,+），且a+b=1，所以1a+4b=1a+4b(a+b）=5+ba+4ab