高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學案（含解析）2-1

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精23。2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)提出問題已知雙曲線c1的方程：1.問題1：雙曲線c1中的三個參數(shù)a，b，c的值分別為多少？提示:3,4，5.問題2：試畫出雙曲線c1的草圖？提示：如圖所示:問題3：觀察雙曲線c1的圖象,曲線與x軸、y軸哪一條軸有交點？有無對稱性？提示：與x軸有交點，有對稱性導入新知1雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程1（a0，b0)1(a0,b0)圖形性質(zhì)焦點f1(c,0）,f2(c，0）f1（0,c)，f2(0，c)焦距|f1f22c范圍xa或 xa,yrya或 ya，xr對稱性對稱軸:坐標軸；對稱中心：原點頂點a1（a,0),a2(a，0）a1(0,a），a2(

2、0，a)軸實軸：線段a1a2，長：2a；虛軸：線段b1b2，長：2b；半實軸長：a，半虛軸長：b離心率e（1,）漸近線yxyx2等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線,它的漸近線是yx，離心率為e.化解疑難對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的幾點認識（1）雙曲線的焦點決定雙曲線的位置(2)雙曲線的范圍決定了雙曲線的開放性和無限延展性，由雙曲線的方程1(a0,b0），得11,x2a2,|x|a，即xa或xa.（3）雙曲線的離心率和漸近線刻畫了雙曲線的開口大小，離心率越大，雙曲線的開口越大，反之亦然(4)對稱性：由雙曲線的方程1（a0，b0），若p(x,y)是雙曲線上任意一點,則p1（x，y），p2(x

3、,y）均在雙曲線上,因p與p1，p2分別關于y軸、x軸對稱，因此雙曲線分別關于y軸、x軸對稱只不過雙曲線的頂點只有兩個，而橢圓有四個雙曲線的幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程解雙曲線的方程化為標準形式是1，a29，b24，a3,b2，c.又雙曲線的焦點在x軸上，頂點坐標為(3,0),（3，0)，焦點坐標為（，0），(，0）,實軸長2a6，虛軸長2b4，離心率e，漸近線方程為yx。類題通法已知雙曲線方程求其幾何性質(zhì)時，若不是標準方程的先化成標準方程,確定方程中a，b的對應值，利用c2a2b2得到c,然后確定雙曲線的焦點位置，從而寫出雙曲線

4、的幾何性質(zhì)活學活用求雙曲線9x216y21440的實半軸長、虛半軸上長、焦點坐標、離心率、漸近線方程，并畫出這個雙曲線的草圖解:把方程9x216y21440化為標準方程為1.由此可知，實半軸長a3;虛半軸長b4;c5,焦點坐標為（0，5），（0，5）；離心率e；漸近線方程為yxx。雙曲線的草圖如圖 利用雙曲線的幾何性質(zhì)求其標準方程例2求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1)虛軸長為12,離心率為；（2)頂點間距離為6，漸近線方程為yx。解(1)設雙曲線的標準方程為1或1（a0，b0）由題意知2b12,且c2a2b2，b6，c10，a8,雙曲線的標準方程為1或1。（2）設以yx為漸近線的雙曲線方

5、程為(0),當0時，a24，2a26.當0時，a29，2a261.雙曲線的標準方程為1或1.類題通法(1）一般情況下，求雙曲線的標準方程關鍵是確定a，b的值和焦點所在的坐標軸，若給出雙曲線的頂點坐標或焦點坐標，則焦點所在的坐標軸易得再結合c2a2b2及e列關于a，b的方程（組），解方程（組)可得標準方程(2)如果已知雙曲線的漸近線方程為yx，那么此雙曲線方程可設為（0）活學活用分別求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且滿足下列條件的雙曲線的標準方程：（1)雙曲線c的右焦點為（2,0）,右頂點為（，0）；（2)雙曲線過點(3，9),離心率e。（3)與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過點m（2，2)解

6、：(1)設雙曲線的標準方程為1(a0，b0）由已知得a，c2,再由a2b2c2，得b21。故雙曲線c的標準方程為y21。（2)由e2，得，設a29k(k0)，則c210k，b2c2a2k.于是，設所求雙曲線方程為1，或1，把(3，9)代入，得k161與k0矛盾;把（3，9)代入,得k9,故所求雙曲線的標準方程為1.(3)設與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2k(k0)，將點(2，2)代入，得k（2)22，雙曲線的標準方程為1.雙曲線的離心率例3已知雙曲線的漸近線方程為yx，求此雙曲線的離心率解當焦點在x軸上時，其漸近線方程為yx，依題意,得，ba，ca，e；當焦點在y軸上時，其漸近線方

7、程為yx，依題意,得，ba,ca,e.此雙曲線的離心率為或.類題通法求雙曲線離心率的常用方法（1)依據(jù)條件求出a,c，計算e.（2）依據(jù)條件建立a，b,c的關系式，一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的方程求解；另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含的方程,求出后利用e求解活學活用已知f1，f2是雙曲線1（a0,b0）的兩個焦點,pq是經(jīng)過f1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果pf2q90,求雙曲線的離心率解:設f1(c，0)，將xc代入雙曲線的方程得1，則y.由pf2qf2|，pf2q90，知pf1|f1f2，2c，b22ac.c22aca20,2210。即e22e10.e1或e1（舍去)所以所求雙曲線的離心率為

8、1.典例（12分)已知斜率為2的直線被雙曲線1所截得的弦長為4，求直線l的方程解題流程 活學活用已知雙曲線c：x2y21及直線l：ykx1.(1)若直線l與雙曲線c有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍(2）若直線l與雙曲線c兩支交于a，b兩點，o是坐標原點，且aob的面積為，求實數(shù)k的值解:(1)由消去y整理，得(1k2）x22kx20.由題意知解得k且k1。所以實數(shù)k的取值范圍為（,1)（1，1）（1，)（2)設a（x1,y1），b（x2，y2），由（1)得x1x2，x1x2。又直線l恒過點d（0，1)，且x1x20，則soabsoadsobdx1|x2x1x2。所以（x1x2）2(x1x2

9、）24x1x2(2）2，即28.解得k0或k，由(1)知上述k的值符合題意，所以k0或k。隨堂即時演練1已知雙曲線的離心率為2，焦點是(4，0），(4，0)，則雙曲線的方程為（)a.1b.1c。1 d.1解析：選a由題意知c4，焦點在x軸上， 所以21e24,所以，又由a2b24a2c216，得a24,b212。所以雙曲線的方程為1。2（全國甲卷）已知f1，f2是雙曲線e：1的左,右焦點，點m在e上，mf1與x軸垂直,sinmf2f1，則e的離心率為（）a. b。c. d2解析：選a因為mf1與x軸垂直，所以mf1。又sinmf2f1,所以，即|mf23mf1。由雙曲線的定義得2amf2|mf

10、12mf1，所以b2a2,所以c2b2a22a2,所以離心率e.3已知雙曲線中心在原點,一個頂點的坐標是（3，0）且焦距與虛軸長之比為54，則雙曲線的標準方程為_解析：由題意得雙曲線的焦點在x軸上，且a3，焦距與虛軸長之比為54，即cb54，解得c5，b4，雙曲線的標準方程為1.答案：14過雙曲線x21的左焦點f1，作傾斜角為的直線ab，其中a，b分別為直線與雙曲線的交點，則ab的長為_解析：雙曲線的左焦點為f1（2，0），將直線ab的方程y(x2)代入雙曲線方程，得8x24x130，顯然0。設a（x1，y1)，b（x2，y2)，x1x2，x1x2，ab 3。答案:35求適合下列條件的雙曲線的

11、標準方程：(1)過點（3，）,離心率e;（2）中心在原點，焦點f1，f2在坐標軸上，實軸長和虛軸長相等，且過點p(4，)解:（1）若雙曲線的焦點在x軸上，設其標準方程為1（a0，b0)因為雙曲線過點（3,），則1。又e ，故a24b2。由得a21，b2，故所求雙曲線的標準方程為x21。若雙曲線的焦點在y軸上，設其標準方程為1（a0，b0）同理可得b2，不符合題意綜上可知，所求雙曲線的標準方程為x21.（2)由2a2b得ab，e ，所以可設雙曲線方程為x2y2（0）雙曲線過點p(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26。雙曲線的標準方程為1。 課時達標檢測一、選擇題1下列雙曲線中離心率為的

12、是()a。1b。1c。1 d。1解析：選b由e得e2，則，即a22b2.因此可知b正確2中心在原點，實軸在x軸上,一個焦點在直線3x4y120上的等軸雙曲線方程是(）ax2y28 bx2y24cy2x28 dy2x24解析：選a令y0得，x4，等軸雙曲線的一個焦點坐標為(4,0）,c4,a2c2168，故選a。3(全國乙卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是（）a（1，3） b(1，)c（0,3） d（0,）解析：選a由題意得(m2n)（3m2n)0，解得m2n3m2，又由該雙曲線兩焦點間的距離為4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n3。4雙曲線1的離心率

13、e（1，2），則k的取值范圍是（）a(10,0) b(12，0)c(3,0） d(60，12)解析：選b由題意知k0，a24，b2k。e21。又e（1，2）,114，12k0.5（天津高考)已知雙曲線1（a0，b0）的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為（)a.y21 bx21c。1 d。1解析：選a由焦距為2，得c.因為雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直,所以。又c2a2b2,解得a2，b1，所以雙曲線的方程為y21。二、填空題6若雙曲線1的漸近線方程為yx，則雙曲線的焦點坐標是_解析：由漸近線方程為yxx，得m3，所以c.又因為焦點在x軸上，所以焦點坐標為(

14、，0)答案:（，0)7過雙曲線1(a0，b0）的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于m,n兩點，以mn為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率為_解析:由題意知，ac，即a2acc2a2，c2ac2a20,e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：28雙曲線1的右頂點為a，右焦點為f，過點f平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點b，則afb的面積為_解析：雙曲線1的右頂點a(3,0)，右焦點f（5,0)，漸近線方程為yx。不妨設直線fb的方程為y(x5)，代入雙曲線方程整理，得x2(x5）29,解得x，y，所以b.所以safb|af|yb(ca)yb|(53）.答案：三、解答題9已知橢圓方程是1,雙曲線e的漸近線方程是3x4y0，若雙曲線e以橢圓的焦點為其頂點，求雙曲線的方程解：由已知，得橢圓的焦點坐標為(,0),頂點坐標為（，0)和（0，）因雙曲線以橢圓的焦點為頂點，即雙曲線過點(，0)時,可設所求的雙曲線方程為9x216y2k(k0)，將點的坐標代入得k45，故所求方程是1。10已知雙曲線c：1（a0，b0）的離心率為，且.（1）求雙曲線c的方程；(2）已知直線xym0與雙曲線c交于不同的兩點a,b，且線段ab的中點在圓x2y25上,求m的值解：