高中數(shù)學(xué) 考點49 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型（含2013高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點49 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型一、選擇題1。 (2013四川高考理科9）節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在4秒內(nèi)為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（）a。 b. c。 d。 【解題指南】本題考查的是幾何概型問題,首先明確兩串彩燈開始亮是通電后4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,第一次閃亮相互獨立，而滿足要求的是兩串彩燈第一次閃亮的時刻相差不超過2秒.【解析】選c。由于兩串彩燈第一次閃亮相互獨立且在通電后4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生

2、，所以總的基本事件為如圖所示的正方形的面積,而要求的是第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的基本事件為如圖所示的陰影部分的面積,根據(jù)幾何概型的計算公式可知它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是，故選c.2.(2013安徽高考文科5）若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為 ( ）a。 b。 c。 d.【解題指南】 以甲、乙為選擇對象分情況考慮,先組合再求概率.【解析】選d。當甲、乙兩人中僅有一人被錄用時的概率；當甲、乙兩人都被錄用時的概率,所以所求概率為。3.（2013新課標高考文科3）從1,2，3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)

3、之差的絕對值為2的概率是(）a。 b. c。 d. 【解析】選b。從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)有種，取出的2個數(shù)之差的絕對值為2有2種,則概率。4. (2013陜西高考理科5)如圖， 在矩形區(qū)域abcd的a, c兩點處各有一個通信基站, 假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ade和扇形區(qū)域cbf(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源， 基站工作正常)。 若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點, 則該地點無信號的概率是 （ ) a b. c d. 【解題指南】幾何概型面積型的概率為隨機事件所占有的面積和基本事件所占有的面積的比值求出該幾何概型的概率?！窘馕觥窟xa.由題設(shè)可知，矩形abcd的面積為2,曲邊形deb

4、f的面積為，故所求概率為5.（2013江西高考文科4)集合a=2,3,b=1，2,3，從a,b中各取任意一個數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是( ）a. b。 c. d?！窘忸}指南】屬于古典概型,列舉出所有的結(jié)果是關(guān)鍵.【解析】選c。所有的結(jié)果為(2,1），（2，2），（2,3）,（3,1）,（3，2），(3,3)共6種，滿足所求事件的有2種，所以所求概率為。6。 （2013湖南高考文科9）.已知事件“在矩形abcd的邊cd上隨機取一點p，使apb的最大邊是ab”發(fā)生的概率為，則=（ ）a. b. c. d.【解題指南】本題的關(guān)鍵是找出使apb的最大邊是ab的臨界條件,首先是確定ad0”的概率為_

5、【解題指南】對于幾何概型，一個變量是長度，兩個變量是面積?！窘馕觥吭O(shè)事件a：“”，則，所以【答案】。12。（2013福建高考文科14)利用計算機產(chǎn)生“3a-10”發(fā)生的概率為 。【解題指南】對于幾何概型，一個變量是長度，兩個變量是面積.【解析】設(shè)事件a:“”，則,所以【答案】。13. （2013湖北高考文科15）在區(qū)間上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足的概率為，則 。 【解題指南】解絕對值不等式，根據(jù)幾何概型利用區(qū)間長度之比求解.【解析】由|m,得mm，當m2時,由題意，m=2.5矛盾，舍去；當2m0就去打球，若x=0就去唱歌,若x0就去下棋.(1）寫出數(shù)量積x的所有可能取值；（2）分別求小波去下棋

6、的概率和不去唱歌的概率?！窘忸}指南】（1）寫出六個向量中取兩個向量的所有情況,便知對應(yīng)的數(shù)量積情況；（2)找出所求事件包含的結(jié)果代入古典概型概率公式?！窘馕觥浚?）x的所有可能取值為2，1,0，1。（2）數(shù)量積為2的有，共1種；數(shù)量積為-1的有,，,，共6種;數(shù)量積為0的有,，,共4種；數(shù)量積為1的有,，共4種。 故所有可能的情況共有15種.所以小波去下棋的概率為；小波去唱歌的概率為，小波不去唱歌的概率為.21。（2013安徽高考理科21）某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責(zé),已知該系共有位學(xué)生，每次活動均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）

7、。假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到.記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為(1）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；(2）求使取得最大值的整數(shù)?！窘忸}指南】（1）利用對立事件的概率計算;（2）根據(jù)p(x=m)的關(guān)系式,利用不等式求解。 【解析】（1)因為事件a：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件b：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件，所以相互獨立，由于p（a)=p（b)=，因此。（2）當k=n時,m只能取n，有p（x=m）=p（x=n）=1,，當kn時,整數(shù)m滿足，其中t是2k和n中的較小者，由于

8、“李老師和張老師各自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給k位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為，當x=m時，同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2km,僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為m-k,由乘法計數(shù)原理知：事件x=m所包含基本事件數(shù)為，此時，當時,p（x=m) ，假如成立，則當能被n+2整除時,，故p(x=m）在和處取得最大值；當不能被n+2整除時，處達最大值。（注：x表示不超過x的最大整數(shù)）下面證明。因為,所以，而,故,顯然，因此。22。（2013北京高考文科16）下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示

9、空氣質(zhì)量重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天。（1）求此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率（2）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率。（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）【解題指南】（1）(2)都是古典概型的概率計算問題，先列出基本事件空間所包含的基本事件及基本事件總數(shù),再求出對應(yīng)事件所包含的基本事件及基本事件總數(shù),再求概率.（3)從圖中找出哪三天的波動最大，則方差也就最大.【解析】(1）此人到達的時間從1日到13日,共有13種情況.事件a=“此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良”=1，2,3，7，12，13，包含基本事件數(shù)6。

10、所以；（2） 此人在該市停留兩天期間的空氣質(zhì)量所有可能情況有:(86，25），（25，57),（57，143），（143，220），（220。160）,（160，40)，（40，217),（217，160），（160,121)，（121,158)，（158,86)，(86,79），（79，37）共有13種可能。其中只有1天重度污染的有：(143,220），（220,160）,（40,217)，（217，160）共4種可能.所以。(3）5，6，7三天.23.（2013廣東高考理科17)某車間共有12名工人,隨機抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).（1）根據(jù)

11、莖葉圖計算樣本均值；（2)日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人，根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3）從該車間12名工人中,任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率?！窘忸}指南】本題考查統(tǒng)計中的莖葉圖、樣本均值、用樣本估計總體、古典概型等知識，除應(yīng)用頻率估算概率外,還特別要注意基本公式的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）樣本均值；（2）樣本中優(yōu)秀工人為2名,頻率為，由此估計該車間12名工人中有名優(yōu)秀工人；（3）由于12名工人中有4名優(yōu)秀工人，任取2人恰有1名優(yōu)秀工人的概率.24.(2013廣東高考文科17）從一批蘋果中,隨機抽取50個，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：分組(重量）頻數(shù)（個

12、）5102015(1) 根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在的頻率；(2) 用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個，其中重量在的有幾個?（3） 在（2）中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在和中各有1個的概率【解題指南】本題考查統(tǒng)計中的頻率分布、分層抽樣、古典概型等知識。【解析】（1）蘋果的重量在的頻率為；(2）重量在的有個；（3）設(shè)這4個蘋果中重量在的為1，的為2、3、4,從中任取兩個，可能的情況有：（1，2)(1，3）(1，4）（2，3)（2，4)(3，4）共6種；設(shè)任取2個，重量在和中各有1個的事件為a，則事件a包含有（1,2）(1，3）(1，4）共3種,所以。25。 （2013山東高考

13、文科17)某小組共有五位同學(xué),他們的身高（單位:米）以及體重指標（單位：千克/米2)，如下表所示：abcde身高1.691.731.751.791.82體重指標19。225。118.523。320.9（）從該小組身高低于1。80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率（）從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在18。5，23。9)中的概率【解題指南】（）本題考查古典概型，要將“身高低于1。80的同學(xué)中任選2人”都列出，然后找“2人身高都在1.78以下”所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.（ii）要將基本事件都列出，然后找“2人身高都

14、在1.70以上且體重指標都在18.5，23.9)中所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.【解析】（i)從身高低于1。80的同學(xué)中任選2人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:(a，b），（a，c）,（a,d),（b,c)，（b，d），(c,d),共6個.由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人身高都在1.78以下的事件有：(a,b）,(a,c),(b，c),共3個.因此選到的2人身高都在1。78以下的概率為p=.（ii）從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:（a，b）,(a，c），（a，d），(a,e),(b,c），(b，d)，(b

15、,e）,(c，d）,(c，e）,(d,e)，共10個.由于每個人被選到的機會均等，因此這些事件出現(xiàn)是等可能的。選到的2人身高都在1。70以上且體重都在（18.5，23。9)中的事件有：（c，d），（c,e），（d,e），共3個。因此選到的2人身高都在1.70以上且體重都在（18.5，23.9）中的概率為.26。 （2013陜西高考文科19）有7位歌手（1至7號)參加一場歌唱比賽， 由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次， 根據(jù)年齡將大眾評委分為5組, 各組的人數(shù)如下：組別abcde人數(shù)5010015015050（） 為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況， 現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委， 其

16、中從b組中抽取了6人。 請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表。 組別abcde人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(） 在()中，若a,b兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人,求這2人都支持1號歌手的概率.【解題指南】按相同的比例從不同的組中抽取人數(shù);相互獨立同時發(fā)生的概率公式p(ab）=p(a）p（b)，代入可求解?！窘馕觥?)從b組100人中抽取6人,即從50人中抽取3人，從150人中抽取9人。組別abcde人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(） a組抽取的3人中有2人支持1號歌手，則從3人中任選1人,支持1號歌手的概率為，b組抽取的6人

17、中有2人支持1號歌手，則從6人中任選1人,支持支持1號歌手的概率為,現(xiàn)從抽樣評委a組3人,b組6人中各自任選一人，則這2人都支持1號歌手的概率。所以，從a，b兩組抽樣評委中,各自任選一人,則這2人都支持1號歌手的概率為。27. （2013新課標全國高考文科19）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤元,未售出的產(chǎn)品，每虧損元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示。經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了該農(nóng)產(chǎn)品.以（單位：，）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.(1)將表示為的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計利潤不少于元的概率；【解題指南】（1）依題意,可求得t關(guān)于x的分段函數(shù)；(2)由頻率分布直方圖可知,知利潤t不少于57000元當且僅當用頻率估計概率，可得概率的估計值；【解析】（1）當時，當時， 所以 （2)由（1）知利潤t不少于57000元當且僅當由直方圖知需求量的頻率為0。7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤t不少于57000元的概率的估計值為0.7。28. （2013大綱版全國卷高考文科20）甲、乙、丙三人進行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結(jié)束時,負的一方在下一局當裁判,設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)果都