角平分線定理和中垂線定理

1、 角平分線定理和角平分線定理和 中垂線定理中垂線定理 要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦 課前熱身課前熱身 典型例題解析典型例題解析 課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練 幾何第八課時(shí)幾何第八課時(shí) 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 1學(xué)生理解角平分線的性質(zhì)定學(xué)生理解角平分線的性質(zhì)定 理與逆定理理與逆定理 2.中垂線定理中垂線定理 與逆定理與逆定理 3.應(yīng)用定理與逆定理進(jìn)行有應(yīng)用定理與逆定理進(jìn)行有 關(guān)的證明與計(jì)算關(guān)的證明與計(jì)算 要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦 1.1.角平分線的性質(zhì)定理和逆定理角平分線的性質(zhì)定理和逆定理 (1)(1)點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)在角平分線上 點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距 離相等離相等. . (2) (2)用

2、符號(hào)語言表示角平分線的性質(zhì)定理和逆定理用符號(hào)語言表示角平分線的性質(zhì)定理和逆定理. .如如 圖圖4-4-14-4-1所示所示. . 性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：PP在在AOBAOB的平分線上，的平分線上，PDOAPDOA，PEOBPEOB PD=PEPD=PE 逆定理：逆定理：PD=PE,PDOA,PEOBPD=PE,PDOA,PEOB 點(diǎn)點(diǎn)P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上. . 判判定定定定理理 性性質(zhì)質(zhì)定定理理 (3)(3)角平分線是到角兩邊的距離相等的所有點(diǎn)組成的集角平分線是到角兩邊的距離相等的所有點(diǎn)組成的集 合合. . (4)(4)互逆命題與互逆定理互逆命題與互逆定理. . 2.2.線

3、段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理 (1)(1)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè) 端點(diǎn)的距離相等端點(diǎn)的距離相等. . (2)(2)逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這 條線段的垂直平分線上條線段的垂直平分線上. . (3)(3)用符號(hào)語言表示線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定用符號(hào)語言表示線段垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定 理理. .如圖如圖4-4-24-4-2所示所示. . 要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦 性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：PCPC是線段是線段ABAB的中垂線的中垂

4、線 PA=PBPA=PB 逆定理：逆定理：PA=PBPA=PB 點(diǎn)點(diǎn)P P在在ABAB的中垂線上的中垂線上. . 【注意】【注意】 這里不可這里不可 說說PCPC是是ABAB的中垂線的中垂線. . (4)(4)線段中垂線是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有線段中垂線是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有 點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合. . 要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦 2.如圖如圖4-4-3所示，直線所示，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公表示三條相互交叉的公 路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相 等，則可供選擇的地址有等，則可供選擇的地址有( )

5、A1處處 B.2處處 C.3處處 D. 4處處 課前熱身課前熱身 C D 1.下列說法正確的是下列說法正確的是( ) A.每個(gè)命題都有逆命題每個(gè)命題都有逆命題 B.直角都是鄰補(bǔ)角直角都是鄰補(bǔ)角 C.若若1/a=1/b則則a=b. D.真命題的逆命題是真命題真命題的逆命題是真命題. 圖圖4-4-3 3.如圖所示，在如圖所示，在ABC中，中，P為為BC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，PRAB于于 R，PSAC于于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三個(gè)結(jié)論：，下面三個(gè)結(jié)論： (1)AS=AR(2)QPAR(3)BRP CSP，正確的是，正確的是 ( ) A.(1)和和(2) B.(2)和和(3) C.(1)和和(3)

6、 D.全對(duì)全對(duì). A 課前熱身課前熱身 4.如圖所示，在如圖所示，在ABC中，中，C=90，B=15，AB 的垂直平分線交的垂直平分線交BC于于D，交，交AB于于E，DB=10cm，則，則 AC=( ) A.6 B.8 C.5 D.10 C 課前熱身課前熱身 5.如圖所示，在如圖所示，在RtABC中，中，C=90，AB的垂直平分的垂直平分 線交線交BC于于D，CAD DAB=1 2，則，則B= . 36 課前熱身課前熱身 典型例題解析典型例題解析 AB+AD=BC 【例【例1】 如圖所示，在如圖所示，在ABC中，中，A=90，AB=AC， BD是是ABC的平分線，請(qǐng)你猜想圖中哪兩條線段之和等的

7、平分線，請(qǐng)你猜想圖中哪兩條線段之和等 于第三條線段，并證明你的猜想的正確性于第三條線段，并證明你的猜想的正確性(證明你的猜想證明你的猜想 需用題中所有的條件需用題中所有的條件) 【例【例2】 (2003河南省河南省)已知：如圖所示，在已知：如圖所示，在RtABC中，中， ACB=90，AC=BC，D為為BC中點(diǎn)，中點(diǎn)，CEAD，垂足，垂足 為為E.BFAC交交CE的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于F.求證：求證：AB垂直平分垂直平分DF. 典型例題解析典型例題解析 【例【例3】 (2003浙江省舟山市浙江省舟山市)如圖所示是人字型屋架的如圖所示是人字型屋架的 設(shè)計(jì)圖，由設(shè)計(jì)圖，由AB、AC、BC、AD四根鋼

8、條焊接而成，其中四根鋼條焊接而成，其中 A、B、C、D均為焊接點(diǎn)，且均為焊接點(diǎn)，且AB=AC、D為為BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 現(xiàn)在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標(biāo)出現(xiàn)在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標(biāo)出BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)D. 如果焊接工身邊只有可檢驗(yàn)直角的角尺，那么為了準(zhǔn)確快如果焊接工身邊只有可檢驗(yàn)直角的角尺，那么為了準(zhǔn)確快 速地焊接，他首先應(yīng)取的兩根鋼條及焊接的點(diǎn)是速地焊接，他首先應(yīng)取的兩根鋼條及焊接的點(diǎn)是 ( ) A.AB和和BC，焊接點(diǎn)，焊接點(diǎn)B B.AB和和AC，焊接點(diǎn)，焊接點(diǎn)A C.AD和和BC，焊接點(diǎn)，焊接點(diǎn)D D.AB和和AD，焊接點(diǎn)，焊接點(diǎn)A C 典型例題解析典型例題解析 【例【例4

9、】 (2003黑龍江省黑龍江省)已知：如圖已知：如圖4-4-10(1)所示，所示， BD、CE分別是分別是ABC的外角平分線，過點(diǎn)的外角平分線，過點(diǎn)A作作AFBD， AGCE，垂足分別為，垂足分別為F、G.連接連接FG，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)AF、AG、與、與 直線直線BC相交，易證相交，易證FG=1/2(AB+BC+BC). (1)若若BDCE分別是分別是ABC的內(nèi)角平分線的內(nèi)角平分線(如圖如圖4-4-10(2) 所示所示). (2)BD為為ABC的內(nèi)角平分線，的內(nèi)角平分線，CE為為ABC的外角平的外角平 分線分線(如圖如圖4-4-10(3)所示所示)，則在此，則在此 兩種情況下，線段兩種情況下，線段F

10、G與與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān) 系系?請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明. 典型例題解典型例題解 析析 圖圖4-4-10(1) 圖圖4-4-10(2) 圖圖4-4-10(3) 1.1.全等運(yùn)用的干擾全等運(yùn)用的干擾 角平分線定理及中垂線性質(zhì)定理都是不用全等，而直角平分線定理及中垂線性質(zhì)定理都是不用全等，而直 接能得出邊相等，但好多學(xué)生還是喜歡再重新證一遍接能得出邊相等，但好多學(xué)生還是喜歡再重新證一遍. . 2.2.證線段的中垂線時(shí)，往往只得出一個(gè)點(diǎn)到一條線段證線段的中垂線時(shí)，往往只得出一個(gè)點(diǎn)到一條線段 的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，就

11、下結(jié)論的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，就下結(jié)論過這一點(diǎn)的直線是過這一點(diǎn)的直線是 這條線段的中垂線，實(shí)際上由直線公理：這條線段的中垂線，實(shí)際上由直線公理：“兩點(diǎn)確定一兩點(diǎn)確定一 條直線條直線”，還要再找出一個(gè)這樣的點(diǎn)，還要再找出一個(gè)這樣的點(diǎn). . 1.(2004四川四川)如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)C是是AOB平分線上一點(diǎn)，平分線上一點(diǎn)， 點(diǎn)點(diǎn)P、P分別在邊分別在邊OA、OB上。如果要得到上。如果要得到PO=OP ，需，需 要添加以下條件中的某一個(gè)即可，請(qǐng)你寫出所有可能結(jié)果要添加以下條件中的某一個(gè)即可，請(qǐng)你寫出所有可能結(jié)果 的序號(hào)的序號(hào) 。 OCP= OCP ; OPC= OP C ; PC=PC ;PP OC

12、 課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練 或或或或 2.(2004河北省河北省)如圖是一個(gè)經(jīng)過改造的臺(tái)球桌面的示意如圖是一個(gè)經(jīng)過改造的臺(tái)球桌面的示意 圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果 一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射）， 那么該球最后將落入的球袋是那么該球最后將落入的球袋是 ( ) A.1號(hào)袋號(hào)袋 B.2號(hào)袋號(hào)袋 C.3號(hào)袋號(hào)袋 D.4號(hào)袋號(hào)袋 B 課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練 3.(2004廣州廣州)如圖，如圖，CB、CD分別是鈍角分別是鈍角AEC和銳角和銳角 ABC的中線，且的中線，且AC=AB，給出下列結(jié)論，給出下列結(jié)論AE=2ACAE=2AC； CE=2CDCE=2CD； ACD=BCE； CBCB平分平分DCE。請(qǐng)寫。請(qǐng)寫 出正確結(jié)論的序號(hào)出正確結(jié)論的序號(hào) 。 課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練 4.(2004