2019屆中考數(shù)學(xué)壓軸題及解題技巧及答案

1、2019屆中考數(shù)學(xué)壓軸題及解題技巧壓軸類型一、相似圖形綜合題1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（2，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結(jié)BD，作DEDB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF（1）填空：點B的坐標(biāo)為（2，2）；（2）是否存在這樣的點D，使得DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；（3）求證：=；設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用的結(jié)論），并求出y的最小值【分析】（1）求出AB、BC的長即可解決問題；（2）存在連接BE，取BE

2、的中點K，連接DK、KC首先證明B、D、E、C四點共圓，可得DBC=DCE，EDC=EBC，由tanACO=，推出ACO=30，ACD=60由DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC，推出DBC=DCE=EDC=EBC=30，推出DBC=BCD=60，可得DBC是等邊三角形，推出DC=BC=2，由此即可解決問題；（3）由（2）可知，B、D、E、C四點共圓，推出DBC=DCE=30，由此即可解決問題；作DHAB于H想辦法用x表示BD、DE的長，構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題；【解答】解：（1）四邊形AOCB是矩形，BC=OA=2，OC=AB=2，BCO=BAO=90，B（2，2）故答案為（2，

3、2）（2）存在理由如下：連接BE，取BE的中點K，連接DK、KCBDE=BCE=90，KD=KB=KE=KC，B、D、E、C四點共圓，DBE=DCE，EDC=EBC，tanACO=，ACO=30，ACB=60如圖1中，當(dāng)E在線段CO上時，DEC是等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC，DBE=DCE=EDC=EBC=30，DBC=BCD=60，DBC是等邊三角形，DC=BC=2，在RtAOC中，ACO=30，OA=2，AC=2AO=4，AD=ACCD=42=2當(dāng)AD=2時，DEC是等腰三角形如圖2中，當(dāng)E在OC的延長線上時，DCE是等腰三角形，只有CD=CE，DBC=DEC=CDE=15，A

4、BD=ADB=75，AB=AD=2，綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2（3）由（2）可知，B、D、E、C四點共圓，DBE=DCO=30，tanDBE=，=如圖2中，作DHAB于H在RtADH中，AD=x，DAH=ACO=30，DH=AD=x，AH=x，BH=2x，在RtBDH中，BD=，DE=BD=，矩形BDEF的面積為y=2=（x26x+12），即y=x22x+4，y=（x3）2+，0，x=3時，y有最小值【點評】本題考查相似形綜合題、四點共圓、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，證明B、D、E、C四點共圓，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決

5、問題，屬于中考壓軸題2、我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點，過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內(nèi)似線”（1）等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為3；（2）如圖，ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是ABC的“內(nèi)似線”；（3）在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是ABC的“內(nèi)似線”，求EF的長【分析】（1）過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出ABC=C=BDC，A=ABD，證出BCD

6、ABC，再由三角形的外角性質(zhì)證出BD平分ABC即可；（3）分兩種情況：當(dāng)=時，EFAB，由勾股定理求出AB=5，作DNBC于N，則DNAC，DN是RtABC的內(nèi)切圓半徑，求出DN=（AC+BCAB）=1，由幾何平分線定理得出=，求出CE=，證明CEFCAB，得出對應(yīng)邊成比例求出EF=；當(dāng)=時，同理得：EF=即可【解答】（1）解：等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為3條；理由如下：過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線，如圖1所示：則AMNABC，CEFCBA，BGHBAC，MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內(nèi)似線”；故答案為：3；（2）證明：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD

7、，BCDABC，又BDC=A+ABD，ABD=CBD，BD平分ABC，即BD過ABC的內(nèi)心，BD是ABC的“內(nèi)似線”；（3）解：設(shè)D是ABC的內(nèi)心，連接CD，則CD平分ACB，EF是ABC的“內(nèi)似線”，CEF與ABC相似；分兩種情況：當(dāng)=時，EFAB，ACB=90，AC=4，BC=3，AB=5，作DNBC于N，如圖2所示：則DNAC，DN是RtABC的內(nèi)切圓半徑，DN=（AC+BCAB）=1，CD平分ACB，=，DNAC，=，即，CE=，EFAB，CEFCAB，即，解得：EF=；當(dāng)=時，同理得：EF=；綜上所述，EF的長為【點評】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)心

8、、勾股定理、直角三角形的內(nèi)切圓半徑等知識；本題綜合性強，有一定難度3、已知正方形ABCD，點M邊AB的中點（1）如圖1，點G為線段CM上的一點，且AGB=90，延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點E、F求證：BE=CF；求證：BE2=BCCE（2）如圖2，在邊BC上取一點E，滿足BE2=BCCE，連接AE交CM于點G，連接BG并延長CD于點F，求tanCBF的值【分析】（1）由正方形的性質(zhì)知AB=BC、ABC=BCF=90、ABG+CBF=90，結(jié)合ABG+BAG=90可得BAG=CBF，證ABEBCF可得；由RtABG斜邊AB中線知MG=MA=MB，即GAM=AGM，結(jié)合CGE=AGM、G

9、AM=CBG知CGE=CBG，從而證CGECBG得CG2=BCCE，由BE=CF=CG可得答案；（2）延長AE、DC交于點N，證CENBEA得BECN=ABCE，由AB=BC、BE2=BCCE知CN=BE，再由=且AM=MB得FC=CN=BE，設(shè)正方形的邊長為1、BE=x，根據(jù)BE2=BCCE求得BE的長，最后由tanCBF=可得答案【解答】解：（1）四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=BCF=90，ABG+CBF=90，AGB=90，ABG+BAG=90，BAG=CBF，AB=BC，ABE=BCF=90，ABEBCF，BE=CF，AGB=90，點M為AB的中點，MG=MA=MB，GA

10、M=AGM，又CGE=AGM，GAM=CBG，CGE=CBG，又ECG=GCB，CGECBG，=，即CG2=BCCE，由CFG=GBM=BGM=CGF得CF=CG，由知BE=CF，BE=CG，BE2=BCCE；（2）延長AE、DC交于點N，四邊形ABCD是正方形，ABCD，N=EAB，又CEN=BEA，CENBEA，=，即BECN=ABCE，AB=BC，BE2=BCCE，CN=BE，ABDN，=，AM=MB，F(xiàn)C=CN=BE，不妨設(shè)正方形的邊長為1，BE=x，由BE2=BCCE可得x2=1（1x），解得：x1=，x2=（舍），=，則tanCBF=【點評】本題主要考查相似形的綜合問題，熟練掌握正

11、方形與直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4、閱讀理解：如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，E是BC的中點，若AE是BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點F，易證AEBFEC，得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉(zhuǎn)化在一個三角形中即可判斷AB、AD、DC之間的等量關(guān)系為AD=AB+DC；（2）問題探究：如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，若AE是BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（3）問題解決：如圖，ABCF，

12、AE與BC交于點E，BE：EC=2：3，點D在線段AE上，且EDF=BAE，試判斷AB、DF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【分析】（1）延長AE交DC的延長線于點F，證明AEBFEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=FC，根據(jù)等腰三角形的判定得到DF=AD，證明結(jié)論；（2）延長AE交DF的延長線于點G，利用同（1）相同的方法證明；（3）延長AE交CF的延長線于點G，根據(jù)相似三角形的判定定理得到AEBGEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB=CG，計算即可【解答】解：（1）如圖，延長AE交DC的延長線于點F，ABDC，BAF=F，E是BC的中點，CE=BE，在AEB和FEC中，AEBFEC，AB

13、=FC，AE是BAD的平分線，DAF=BAF，DAF=F，DF=AD，AD=DC+CF=DC+AB，故答案為：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，證明：如圖，延長AE交DF的延長線于點G，E是BC的中點，CE=BE，ABDC，BAE=G，在AEB和GEC中，AEBGEC，AB=GC，AE是BAF的平分線，BAG=FAG，ABCD，BAG=G，F(xiàn)AG=G，F(xiàn)A=FG，AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），證明：如圖，延長AE交CF的延長線于點G，ABCF，AEBGEC，=，即AB=CG，ABCF，A=G，EDF=BAE，F(xiàn)DG=G，F(xiàn)D=FG，AB=CG=（CF+DF）【點評

14、】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助性、靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵壓軸類型二、二次函數(shù)綜合題1、已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2（a0）相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸正半軸相交于點C，過點A作ADx軸，垂足為D（1）若AOB=60，ABx軸，AB=2，求a的值；（2）若AOB=90，點A的橫坐標(biāo)為4，AC=4BC，求點B的坐標(biāo)；（3）延長AD、BO相交于點E，求證：DE=CO【分析】（1）如圖1，由條件可知AOB為等邊三角形，則可求得OA的長，在RtAOD中可求得AD和OD的長，可求得A點坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得a的

15、值；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建平行線和相似三角形，根據(jù)CFBG，由A的橫坐標(biāo)為4，得B的橫坐標(biāo)為1，所以A（4，16a），B（1，a），證明ADOOEB，則，得a的值及B的坐標(biāo)；（3）如圖3，設(shè)AC=nBC由（2）同理可知：A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍，則設(shè)B（m，am2），則A（mn，am2n2），分別根據(jù)兩三角形相似計算DE和CO的長即可得出結(jié)論【解答】解：（1）如圖1，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，且ABx軸，A與B是對稱點，O是拋物線的頂點，OA=OB，AOB=60，AOB是等邊三角形，AB=2，ABOC，AC=BC=1，BOC=30，OC=，A（1，），把A（1，）代入拋物線y=

16、ax2（a0）中得：a=；（2）如圖2，過B作BEx軸于E，過A作AGBE，交BE延長線于點G，交y軸于F，CFBG，AC=4BC，=4，AF=4FG，A的橫坐標(biāo)為4，B的橫坐標(biāo)為1，A（4，16a），B（1，a），AOB=90，AOD+BOE=90，AOD+DAO=90，BOE=DAO，ADO=OEB=90，ADOOEB，16a2=4，a=，a0，a=；B（1，）；（3）如圖3，設(shè)AC=nBC，由（2）同理可知：A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍，則設(shè)B（m，am2），則A（mn，am2n2），AD=am2n2，過B作BFx軸于F，DEBF，BOFEOD，=，=，DE=am2n，=，OCAE，BC

17、OBAE，=，CO=am2n，DE=CO【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用三角形相似計算二次函數(shù)的解析式、三角形相似的性質(zhì)和判定、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)與解析式的關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)和判定，要注意第三問不能直接應(yīng)用（1）（2）問的結(jié)論，第三問可以根據(jù)第二問中AC=4BC，確定A、B兩點橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用兩點的縱坐標(biāo)和三角形相似列比例式解決問題2、已知函數(shù)y=x2+（m1）x+m（m為常數(shù)）（1）該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是DA.0 B.1 C.2 D.1或2（2）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=（x+1）2的圖象上（3）當(dāng)2m3時，求該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標(biāo)的取值范

18、圍【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其正負(fù)即可得到結(jié)果；（2）將二次函數(shù)解析式配方變形后，判斷其頂點坐標(biāo)是否在已知函數(shù)圖象即可；（3）根據(jù)m的范圍確定出頂點縱坐標(biāo)范圍即可【解答】解：（1）函數(shù)y=x2+（m1）x+m（m為常數(shù)），=（m1）2+4m=（m+1）20，則該函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)是1或2，故選D；（2）y=x2+（m1）x+m=（x）2+，把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，則不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=（x+1）2的圖象上；（3）設(shè)函數(shù)z=，當(dāng)m=1時，z有最小值為0；當(dāng)m1時，z隨m的增大而減?。划?dāng)m1時，z隨m的增大而增大，當(dāng)m=2時，z=

19、；當(dāng)m=3時，z=4，則當(dāng)2m3時，該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)的取值范圍是0z4【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x24x+3與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（1）求直線BC的表達(dá)式；（2）垂直于y軸的直線l與拋物線交于點P（x1，y1），Q（x2，y2），與直線BC交于點N（x3，y3），若x1x2x3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求x1+x2+x3的取值范圍【分析】（1）利用拋物線解析式求得點B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的表達(dá)式即可；（2）由拋物線解析式得到對稱軸和頂點

20、坐標(biāo)，結(jié)合圖形解答【解答】解：（1）由y=x24x+3得到：y=（x3）（x1），C（0，3）所以A（1，0），B（3，0），設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y=kx+b（k0），則，解得，所以直線BC的表達(dá)式為y=x+3；（2）由y=x24x+3得到：y=（x2）21，所以拋物線y=x24x+3的對稱軸是x=2，頂點坐標(biāo)是（2，1）y1=y2，x1+x2=4令y=1，y=x+3，x=4x1x2x3，3x34，即7x1+x2+x38【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點解答（2）題時，利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，降低了解題的難度4、某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于

21、80元，經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y（千克）與每千克售價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價x（元/千克）506070銷售量y（千克）1008060（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)商品每天的總利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式（利潤=收入成本）；（3）試說明（2）中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)題意可以設(shè)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)題意可以寫出W與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)解析式，將其化為頂點式，然后根據(jù)成本每千克40元，

22、規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元，即可得到利潤W隨售價x的變化而變化的情況，以及售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b，得，即y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y=2x+200；（2）由題意可得，W=（x40）（2x+200）=2x2+280x8000，即W與x之間的函數(shù)表達(dá)式是W=2x2+280x8000；（3）W=2x2+280x8000=2（x70）2+1800，40x80，當(dāng)40x70時，W隨x的增大而增大，當(dāng)70x80時，W隨x的增大而減小，當(dāng)x=70時，W取得最大值，此時W=1800，答：當(dāng)40x70時，W隨x的增大而增大，

23、當(dāng)70x80時，W隨x的增大而減小，售價為70元時獲得最大利潤，最大利潤是1800元【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的頂點式解答5、已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M（1，0），且ab（）求拋物線頂點Q的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（）說明直線與拋物線有兩個交點；（）直線與拋物線的另一個交點記為N（）若1a，求線段MN長度的取值范圍；（）求QMN面積的最小值【分析】（）把M點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點坐標(biāo)；（）由直線解析式可先求得

24、m的值，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y，可得到關(guān)于x的一元二次方程，再判斷其判別式大于0即可；（）（i）由（）的方程，可求得N點坐標(biāo)，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得MN長度的取值范圍；（ii）設(shè)拋物線對稱軸交直線與點E，則可求得E點坐標(biāo)，利用SQMN=SQEN+SQEM可用a表示出QMN的面積，再整理成關(guān)于a的一元二次方程，利用判別式可得其面積的取值范圍，可求得答案【解答】解：（）拋物線y=ax2+ax+b過點M（1，0），a+a+b=0，即b=2a，y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a（x+）2，拋物線頂點Q的坐標(biāo)為（，）；（）直線y=2x+m經(jīng)過點M（1，0），0=

25、21+m，解得m=2，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0（*）=（a2）24a（2a+2）=9a212a+4，由（）知b=2a，且ab，a0，b0，0，方程（*）有兩個不相等的實數(shù)根，直線與拋物線有兩個交點；（）聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0，即x2+（1）x2+=0，（x1）x（2）=0，解得x=1或x=2，N點坐標(biāo)為（2，6），（i）由勾股定理可得MN2=（2）12+（6）2=+45=20（）2，1a，21，MN2隨的增大而減小，當(dāng)=2時，MN2有最大值245，則MN有最大值7，當(dāng)=1時，MN2有最小值125，則MN有最小值5

26、，線段MN長度的取值范圍為5MN7；（ii）如圖，設(shè)拋物線對稱軸交直線與點E，拋物線對稱軸為x=，E（，3），M（1，0），N（2，6），且a0，設(shè)QMN的面積為S，S=SQEN+SQEM=|（2）1|（3）|=，27a2+（8S54）a+24=0（*），關(guān)于a的方程（*）有實數(shù)根，=（8S54）2427240，即（8S54）2（36）2，a0，S=，8S540，8S5436，即S+，當(dāng)S=+時，由方程（*）可得a=滿足題意，當(dāng)a=，b=時，QMN面積的最小值為+【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、勾股定理、三角形的面積等知識在（1）中由M的坐標(biāo)得

27、到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（2）中聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得N點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在最后一小題中用a表示出QMN的面積是解題的關(guān)鍵本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大6、如圖，已知拋物線y=ax22ax9a與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N（1）直接寫出a的值、點A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若PAD為等腰三角形，求出點P的坐標(biāo)；（3）證明：當(dāng)直線l繞點D旋轉(zhuǎn)時，+均為定值，并求出該定值【分析】（1）由點C

28、的坐標(biāo)為（0，3），可知9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點A和點B的坐標(biāo)，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得CAO=60，依據(jù)AE為BAC的角平分線可求得DAO=30，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點D的坐標(biāo)設(shè)點P的坐標(biāo)為（，a）依據(jù)兩點的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點M和點N的橫坐標(biāo)，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后將AM和A

29、N的長代入化簡即可【解答】解：（1）C（0，3）9a=3，解得：a=令y=0得：ax22 x9a=0，a0，x22 x9=0，解得：x=或x=3點A的坐標(biāo)為（，0），B（3，0）拋物線的對稱軸為x=（2）OA=，OC=3，tanCAO=，CAO=60AE為BAC的平分線，DAO=30DO=AO=1點D的坐標(biāo)為（0，1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（，a）依據(jù)兩點間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a1）2當(dāng)AD=PA時，4=12+a2，方程無解當(dāng)AD=DP時，4=3+（a1）2，解得a=0或a=2（舍去），點P的坐標(biāo)為（，0）當(dāng)AP=DP時，12+a2=3+（a1）2，解得a=4

30、點P的坐標(biāo)為（，4）綜上所述，點P的坐標(biāo)為（，0）或（，4）（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3，將點A的坐標(biāo)代入得：m+3=0，解得：m=，直線AC的解析式為y=x+3設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，點N的坐標(biāo)為（，0）AN=+=將y=x+3與y=kx+1聯(lián)立解得：x=點M的橫坐標(biāo)為過點M作MGx軸，垂足為G則AG=+MAG=60，AGM=90，AM=2AG=+2=+=+=+=【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，分類討論是解答問題（2）的關(guān)鍵，求得點M的坐標(biāo)和點N的坐標(biāo)是

31、解答問題（3）的關(guān)鍵7、我們知道，經(jīng)過原點的拋物線可以用y=ax2+bx（a0）表示，對于這樣的拋物線：（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過點（2，0）和（1，3）時，求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)拋物線的頂點在直線y=2x上時，求b的值；（3）如圖，現(xiàn)有一組這樣的拋物線，它們的頂點A1、A2、，An在直線y=2x上，橫坐標(biāo)依次為1，2，3，n（n為正整數(shù)，且n12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1、B2，Bn，以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn，如果這組拋物線中的某一條經(jīng)過點Dn，求此時滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長【分析】（1）把點（2，0）和（1，3）分別代入y=ax2+bx，得

32、到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出拋物線y=ax2+bx的頂點坐標(biāo)是（，），把頂點坐標(biāo)代入y=2x，得出=2（），即可求出b的值；（3）由于這組拋物線的頂點A1、A2、，An在直線y=2x上，根據(jù)（2）的結(jié)論可知，b=4或b=0當(dāng)b=0時，不合題意舍去；當(dāng)b=4時，拋物線的表達(dá)式為y=ax24x由題意可知，第n條拋物線的頂點為An（n，2n），則Dn（3n，2n），因為以An為頂點的拋物線不可能經(jīng)過點Dn，設(shè)第n+k（k為正整數(shù)）條拋物線經(jīng)過點Dn，此時第n+k條拋物線的頂點坐標(biāo)是An+k（nk，2n+2k），根據(jù)=nk，得出a=，即第n+k條拋物線的表

33、達(dá)式為y=x24x，根據(jù)Dn（3n，2n）在第n+k條拋物線上，得到2n=（3n）24（3n），解得k=n，進(jìn)而求解即可【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點（2，0）和（1，3），解得，拋物線的表達(dá)式為y=3x26x；（2）拋物線y=ax2+bx的頂點坐標(biāo)是（，），且該點在直線y=2x上，=2（），a0，b2=4b，解得b1=4，b2=0；（3）這組拋物線的頂點A1、A2、，An在直線y=2x上，由（2）可知，b=4或b=0當(dāng)b=0時，拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，不合題意，舍去；當(dāng)b=4時，拋物線的表達(dá)式為y=ax24x由題意可知，第n條拋物線的頂點為An（n，2n），則Dn（3n，2n

34、），以An為頂點的拋物線不可能經(jīng)過點Dn，設(shè)第n+k（k為正整數(shù)）條拋物線經(jīng)過點Dn，此時第n+k條拋物線的頂點坐標(biāo)是An+k（nk，2n+2k），=nk，a=，第n+k條拋物線的表達(dá)式為y=x24x，Dn（3n，2n）在第n+k條拋物線上，2n=（3n）24（3n），解得k=n，n，k為正整數(shù)，且n12，n1=5，n2=10當(dāng)n=5時，k=4，n+k=9；當(dāng)n=10時，k=8，n+k=1812（舍去），D5（15，10），正方形的邊長是10【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)等知識，有一定難度設(shè)第n+k（

35、k為正整數(shù)）條拋物線經(jīng)過點Dn，用含n的代數(shù)式表示Dn的坐標(biāo)以及用含n、k的代數(shù)式表示第n+k條拋物線是解題的關(guān)鍵壓軸類型三、多邊形綜合題1、如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連接BP、EQ（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F(xiàn)為AB的中點，OF+OB=9，求PQ的長【分析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明QB=QE，由ASA證明BOQEOP，得出PE=QB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得AE+BE=2OF+2OB=18，設(shè)AE=x，則BE=18x，

36、在RtABE中，根據(jù)勾股定理可得62+x2=（18x）2，BE=10，得到OB=BE=5，設(shè)PE=y，則AP=8y，BP=PE=y，在RtABP中，根據(jù)勾股定理可得62+（8y）2=y2，解得y=，在RtBOP中，根據(jù)勾股定理可得PO=，由PQ=2PO即可求解【解答】（1）證明：PQ垂直平分BE，QB=QE，OB=OE，四邊形ABCD是矩形，ADBC，PEO=QBO，在BOQ與EOP中，BOQEOP（ASA），PE=QB，又ADBC，四邊形BPEQ是平行四邊形，又QB=QE，四邊形BPEQ是菱形；（2）解：O，F(xiàn)分別為PQ，AB的中點，AE+BE=2OF+2OB=18，設(shè)AE=x，則BE=18

37、x，在RtABE中，62+x2=（18x）2，解得x=8，BE=18x=10，OB=BE=5，設(shè)PE=y，則AP=8y，BP=PE=y，在RtABP中，62+（8y）2=y2，解得y=，在RtBOP中，PO=，PQ=2PO=【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度2、如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分別是線段AC、BC上的點，且四邊形PEFD為矩形（）若PCD是等腰三角形時，求AP的長；（）若AP=，求CF的長【分析】（）先求出AC，再分三種情況討論計算即可得出結(jié)論；（）方法1、先判斷

38、出OC=ED，OC=PF，進(jìn)而得出OC=OP=OF，即可得出OCF=OFC，OCP=OPC，最后判斷出ADPCDF，得出比例式即可得出結(jié)論方法2、先判斷出CEF=FDC，得出點E，C，F(xiàn)，D四點共圓，再判斷出點P也在此圓上，即可得出DAP=DCF，此后同方法1即可得出結(jié)論【解答】解：（）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，ADC=90，DC=AB=6，AC=10，要使PCD是等腰三角形，當(dāng)CP=CD時，AP=ACCP=106=4，當(dāng)PD=PC時，PDC=PCD，PCD+PAD=PDC+PDA=90，PAD=PDA，PD=PA，PA=PC，AP=AC=5，當(dāng)DP=DC時，如圖1，過點D作DQA

39、C于Q，則PQ=CQ，SADC=ADDC=ACDQ，DQ=，CQ=，PC=2CQ=，AP=ACPC=10=；所以，若PCD是等腰三角形時，AP=4或5或；（）方法1、如圖2，連接PF，DE，記PF與DE的交點為O，連接OC，四邊形ABCD和PEFD是矩形，ADC=PDF=90，ADP+PDC=PDC+CDF，ADP=CDF，BCD=90，OE=OD，OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，OC=PF，OP=OF=PF，OC=OP=OF，OCF=OFC，OCP=OPC，OPC+OFC+PCF=180，2OCP+2OCF=180，PCF=90，PCD+FCD=90，在RtADC中，PCD+PAD

40、=90，PAD=FCD，ADPCDF，AP=，CF=方法2、如圖，四邊形ABCD和DPEF是矩形，ADC=PDF=90，ADP=CDF，DGF+CDF=90，EGC+CDF=90，CEF+CGE=90，CDF=FEC，點E，C，F(xiàn)，D四點共圓，四邊形DPEF是矩形，點P也在此圓上，PE=DF，ACB=DCF，ADBC，ACB=DAP，DAP=DCF，ADP=CDF，ADPCDF，AP=，CF=【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解（）的關(guān)鍵是分三種情況討論計算，解（）的關(guān)鍵是判斷出ADPCDF，是一道中考常考題壓軸類型四、圓綜合

41、題如圖，AB是O的直徑，AB=4，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作CEOB，交O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AFPC于點F，連接CB（1）求證：CB是ECP的平分線；（2）求證：CF=CE；（3）當(dāng)=時，求劣弧的長度（結(jié)果保留）【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；（2）欲證明CF=CE，只要證明ACFACE即可；（3）作BMPF于M則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，求出tanBCM的值即可解決問題；【解答】（1）證明：OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切線，CEAB，OCP

42、=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，BC平分PCE（2）證明：連接ACAB是直徑，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，F(xiàn)=AEC=90，AC=AC，ACFACE，CF=CE（3）解：作BMPF于M則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，BMCPMB，=，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，的長=【點評】本題考查切線的性質(zhì)、角平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型2、如圖，AB是O的直徑，=，AB=2，連接AC（1）求證：CAB=45；（2）若直線l為O的切線，C是切點，在直線l上取一點D，使BD=AB，BD所在的直線與AC所在的直線相交于點E，連接AD試探究AE與AD之間的是數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由【分析】（1）由AB是O的直徑知ACB=90，由=即AC=BC可得答案；（2）分ABD為銳角和鈍角兩種情況，作BFl于點F，證四邊形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，結(jié)合BD=AB知BDF=30