平面一般力系150330

1、平面一般力系平面一般力系 平面一般力系平面一般力系 平面一般力系平面一般力系 各力作用線在同一平面內(nèi)各力作用線在同一平面內(nèi) 一一 實例實例 平面一般力系向一點簡化平面一般力系向一點簡化 三三 基本問題基本問題 二二 平面一般力系：平面一般力系： 4-1 4-1 工程中的平面一般力系問題工程中的平面一般力系問題 簡化簡化 平衡平衡 四四 研究方法研究方法 平面匯交力系平面匯交力系 平面力偶系平面力偶系 A B C P M FAx FAy FC 平面一般力系平面一般力系 () BB MMFd F 作用在剛體上的力F 可以平行移到剛體內(nèi)任一點，但 必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原力F 對平移點

2、的矩. 4-2 力線平移定理 力線平移定理力線平移定理 = = 平面一般力系平面一般力系 一、平面一般力系向作用面內(nèi)一點簡化 4-3 平面一般力系向一點簡化 主矢與主矩 1111 () O MM FFF 2222 () O MM FFF () nnnOn MM FFF . . . . . . 平面一般力系平面一般力系 Rii F FF () OiOi MMM F 4-3 平面一般力系向一點簡化 主矢與主矩 平面匯交力系的合成 平面力偶系的合成 合力合力 合力偶合力偶 平面一般力系平面一般力系 主矢與簡化中心無關(guān)，而主矩一般與簡化中心有關(guān). . Ri F F主矢 二、主矢與主矩的定義 力線平移定

3、理將平面一般力系分解為兩個力系： 平面匯交力系和平面力偶系 () OOi MM F 主矩 4-3 平面一般力系向一點簡化 主矢與主矩 = 平面一般力系平面一般力系 Rxixixx FF FF Ryiyiyy FF FF 主矢的計算 主矢大小 22 R ()() ixiy FFF 方向 主矢的計算方法與匯交力系的計算方法相同 主矢的計算：幾何法、解析法 解析法 主矢作用點：簡化中心 4-3 平面一般力系向一點簡化 主矢與主矩 R R cos(, ) ix F F Fi R R cos(, ) iy F F Fj 平面一般力系平面一般力系 主矩的計算 主矩的計算方法與力矩和平面力偶系的計算方法相同

4、. 主矩的計算 平面一般力系向一點簡化，得到力對簡化點的力矩和. 4-3 平面一般力系向一點簡化 主矢與主矩 () OOi MM F 主矩大小 平面一般力系平面一般力系 三、固定端約束 4-3 平面一般力系向一點簡化 主矢與主矩 平面一般力系平面一般力系 三、平面固定端約束 4-3 平面一般力系向一點簡化 主矢與主矩 = or 平面一般力系平面一般力系 第四章 平面一般力系 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 平面一般力系平面一般力系 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 一、簡化結(jié)果的分析 = 平面一般力系平面一般力系 = R 0 0 O F M = RO MF d 其中 1. 當 結(jié)果為主矢

5、 2. 當 結(jié)果為主矢 ？ R 0,0 O FM R 0,0 O FM 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 R O M d F RR F F = = 一、簡化結(jié)果分析 平面一般力系平面一般力系 3.當 若為O1點，如何? 結(jié)果為力偶 4.當 結(jié)果為平衡 R 0,0 O FM R 0,0 O FM 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 = = = 平面一般力系平面一般力系 主矢主矩最后結(jié)果說明 合力 合力 合力作用線過簡化中心 合力作用線距簡化中心 合力偶 平衡 與簡化中心的位置無關(guān) 與簡化中心的位置無關(guān) 小結(jié) R 0 F R 0 F 0 O M 0 O M 0 O M 0 O M 4-4 簡化結(jié)

6、果的分析 合力矩定理 RO M F 平面一般力系平面一般力系 平面任意力系的合力對于點O之矩等于原力系對簡化中心 O的主矩，即： R () OO MMF )(F OO MM R ()() OO MMFF 原力系對簡化中心O的主矩，又等于原力系中各力對簡 化中心O之矩的代數(shù)和，即 即：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等 于力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和于力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和 于是，便有 二、合力矩定理 平面一般力系平面一般力系 二、合力矩定理 平面一般力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩等于力系 中各力對同一點的矩的代數(shù)和，此為合力矩定理合力

7、矩定理. 各力對同一點的矩可以用這些力的分量（x軸和y軸） 對同一點的矩代數(shù)和. ROOOi MMM FF 11 11 1111 1Oyx Mx Fy FyFy F 22222Oyx Mx Fy F ()() Oiiiyiix Mx Fy F F 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 平面一般力系平面一般力系 主矢、主矩的計算 主矢大小 方向 主矢作用點：簡化中心 主矩大小 Rxixixx FF FF Ryiyiyy FF FF 22 R ()() ixiy FFF R R cos(, ) ix F F Fi R R cos(, ) iy F F Fj () OOiiiyiix MMx Fy F

8、 F 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 平面一般力系平面一般力系 例：求圖所示力例：求圖所示力F 對對A 點之矩。點之矩。 解：將力解：將力F 分解兩垂直的力分解兩垂直的力 Fx 、Fy ，由合力矩定理可得，由合力矩定理可得 AAA ()()()cossin xy MFMFMFFbFa 例例 4-1 平面一般力系平面一般力系 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 長度單位為m. 試求力系 向O點簡化的結(jié)果以及力系最終簡化結(jié)果. 3 2kN,4kN m,FM 已知作用在物體上的力 30 , 1 1kN,F 2 1kN,F 解： （1）力系向O點簡化的結(jié)果 32 cos x FFF 3 2kN1k

9、N2.73kN 2 13 cos y FFF 1 1kN-2kN2kN 2 x軸分量 y軸分量 例例 4-2 平面一般力系平面一般力系 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 2.73kN x F 2kN y F x軸分量 y軸分量 合力 22 R ()() xy FFF 22 (2.73kN)( 2kN)3.39kN 方向 2.73 cos0.805 3.39 36.2 2 cos0.590 3.39 平面一般力系平面一般力系 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 合力 R 3.39kNF 方向 36.2 主矩MO 123 ()1m3m2m sin30 OO MMFFFM F 1 1m 1kN-3

10、m 1kN+2m2kN4kN m 2 2kN m 平面一般力系平面一般力系 4-4 簡化結(jié)果的分析 合力矩定理 合力 R 3.39kNF 方向36.2 主矩()2kN m OO MM F （2）力系最終簡化結(jié)果 R 0 F 0 O M由于 最終簡化結(jié)果為 R F R 2kN m 0.59m 3.39kN O M d F 平面一般力系平面一般力系 練習練習 已知已知:力F的大小及其與鉛垂線間的 夾角j及長度a、b、c。 解： 求求： 力F對點O的矩。 1、按力矩的定義求解 MO(F) = Fd = F(bsinj acosj +c cosj) = Fbsinj F(a c)cosj 2、用合力矩

11、定理求解 MO(F) = MO(Fx) + MO(Fy) = Fbsinj F(a c)cosj 平面一般力系平面一般力系 物體在平面一般力系的作用下平衡的充分和必要條 件是：力系的主矢和力系對任意點的主矩都等于零. 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 一、平面一般力系的平衡條件 主矢和力系對任意點的主矩分別為 R 0 0 O M F 即 22 R ()()() xyOOi FFFMM F 平面一般力系平面一般力系 平面任意力系平衡的解析條件 （1）各力在兩個任選坐標軸上投影的代數(shù)和 分別等于零. （2）各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零. 平面任意力系的平衡方程 22 R ()()(

12、) xyOOi FFFMM F 0 0 0 x y o F F M 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 平面一般力系平面一般力系 例4-3 水平外伸梁， 均布載荷q=20kN/m，F(xiàn)1=20kN， 力偶矩M=16kNm，a=0.8m，求A、B點的約束反力. 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 解：（1）以梁為研究對象，畫出受力圖 分布載荷q的合力為F2， 作用在OA的中點. （2）列平衡方程 0 x F 0 Ax F 0 y F 1 0 AyB qaFFF 約束反力FAy，F(xiàn)B （a） （b） 平面一般力系平面一般力系 0 A M F （2）列平面一般力系平衡方程 由（c）式解得

13、1 2 2 B Mqa FF a 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 1 20 2 B a MqaFaFa 16kN m20kN / m0.8m 220kN12kN 0.8m2 （c） 平面一般力系平面一般力系 0 A M F 由（c）式解得 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 0 Ax F 1 0 AyB qaFFF0 y F 0 x F 1 20 2 B a MqaFaFa 12kN B F （b） （a） （c） 由（b）式解得 1AyB FFqaF 20kN / m0.8m20kN12kN = 24kN 平面一般力系平面一般力系 例4-4 懸臂吊車橫梁AB長l=2.5m，重

14、量P=1.2kN，拉 桿CB傾斜角=30，質(zhì)量不計，載荷F=7.5kN . 求a=2m時， 拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力. 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 解：（1）選橫梁AB為研究對象 BC為二力桿，畫受力圖 （2）列平衡方程 0 x F T cos0 Ax FF 0 y F T sin0 Ay FPFF ()0 A M F T sin0 2 l FlPF a （b） （a） （c） 平面一般力系平面一般力系 T T T 0,cos0 0,sin0 ()0,sin0.50 xAx yAy A FFF FFPFF MFll PF a F 由式（c）解得 T 1 () sin2 l F

15、PF a l 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 13.2kN （b） （a） （c） 將FT值代入式（a）得 T 3 cos13.2kN11.43kN 2 Ax FF 將FT值代入式（b）得 T sin Ay FPFF = 2.1kN 平面一般力系平面一般力系 T 13.2kNF 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 11.43kN Ax F2.1kN Ay F 計算得FAx，F(xiàn)Ay皆為正值，表示假 設(shè)的指向與實際的指向相同. 從上面的計算可以看出，桿CB所 承受的拉力和鉸鏈A的約束反力，是隨 載荷的位置不同而改變的，因此應(yīng)當 根據(jù)這些力的最大值來進行設(shè)計結(jié)構(gòu). （4）分析討論 平

16、面一般力系平面一般力系 在本例中如寫出對A、B兩點的力矩方程和對x軸的投 影方程，同樣可以求解. 即 T T 0,cos0 ()0,sin0.50 ()0,0.5()0 xAx A BAy FFF MFll PF a MPlFlaFl F F 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 （f） （e） （d） 同樣求出 T 13.2kN,11.43kN,2.1kN AxAy FFF 平面一般力系平面一般力系 如寫出對A、B、C三點的力矩方程，同樣也可求解. T ()0,sin0 2 ()0,()0 2 ()0,tan0 2 A BAy CAx l MFlPF a l MPFlFla l MFlP

17、F a F F F 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程 從上面的分析可以看出，平面一般力系平衡方程除了 前面所表示的基本形式外，還有其他形式，即還有二力矩 式和三力矩式. 應(yīng)該注意，不論選用哪一組形式的平衡方程，對于同 一個平面力系來說，最多只能列出三個獨立的方程，因而 只能求出三個未知量. 平面一般力系平面一般力系 平面任意力系平衡方程的三種形式平面任意力系平衡方程的三種形式 基本式基本式 0 0 0 FM F F A y x 二矩式二矩式 0 0 0 FM FM F B A x AB 連線不得與投影軸垂直連線不得與投影軸垂直 三矩式三矩式 0 0 0 FM FM FM C B A 三

18、個取矩點，不得共線三個取矩點，不得共線 CBA, 平面一般力系平面一般力系 支架的橫梁支架的橫梁AB與斜桿與斜桿 DC彼此以鉸鏈彼此以鉸鏈C連接，并各連接，并各 以鉸鏈以鉸鏈A，D連接于鉛直墻連接于鉛直墻 上 。 如 圖 所 示 。 已 知 桿上 。 如 圖 所 示 。 已 知 桿 AC=CB；桿；桿DC與水平線成與水平線成 45o角；載荷角；載荷F=10 kN，作用，作用 于于B處。設(shè)梁和桿的重量忽處。設(shè)梁和桿的重量忽 略不計，求鉸鏈略不計，求鉸鏈A的約束力的約束力 和桿和桿DC所受的力。所受的力。 練習練習 平面一般力系平面一般力系 45 0245 cos, 0 045 sin, 0 04

19、5 cos, 0 lFlFM FFFF FFF CA CAyy CAxx F 解：解： 平面一般力系平面一般力系 kN 36.22 22 R AyAxA FFF kN 1045 sin kN 20245 cos kN 28.28 45 cos 2 FFFF FFF F F CAy CAx C 45 平面一般力系平面一般力系 平面平行力系的方程為兩個，有兩種形式 各力不得與投影軸垂直 A、B連線不得 與各力平行 4-6 平面平行力系的平衡方程 一、平面平行力系的平衡方程 各力作用線都在同一平面內(nèi)且互相平行的力系 不是兩個獨立的方程不是兩個獨立的方程 0 x F 0000 0 x F 123 co

20、scoscos0FFF 123 sinsinsin0FFF0 y F 0 0 y A F M 0 0 A B M M 平面一般力系平面一般力系 第四章 平面一般力系 4-7 靜定與靜不定問題 平面一般力系平面一般力系 4-7 靜定與靜不定問題 靜定問題靜不定問題 平面一般力系平面一般力系 靜定問題 靜不定問題 靜定問題 ：當系統(tǒng)中的未知量數(shù)目等于獨立平衡方 程的數(shù)目時，則所有未知數(shù)都能由平衡方程求出. 靜不定問題 ：結(jié)構(gòu)的未知量的數(shù)目多于平衡方程的數(shù) 目，未知量就不能全部由平衡方程求出未知量就不能全部由平衡方程求出. 4-7 靜定與靜不定問題 平面一般力系平面一般力系 一、物體系 二、物體系的

21、平衡 工程結(jié)構(gòu)和機構(gòu)都是由許多物體通過約束按一定連接 而成的系統(tǒng). 整個物體系平衡時，該物體系中的每個物體也必然處 于平衡狀態(tài). 將物體系中所有單個物體的獨立平衡方程數(shù)相加得到 的物體系獨立平衡方程的數(shù)目等于未知量的總數(shù)，為靜定 問題. 物體系獨立平衡方程的數(shù)目少于未知量的總數(shù)，為靜 不定問題. 4-8 物體系的平衡 平面一般力系平面一般力系 （1）先判斷系統(tǒng)是否是靜定系統(tǒng) 例4-8 由直角彎桿AEC和直桿CB組成的構(gòu)架，不計各桿 自重. 已知q、a、 、M=2qa2 及 =45，試求固定 端A的約束反力及反力偶. 2Fqa 4-8 物體系的平衡 解： 六個獨立平衡方程六個未知量 靜靜 定定

22、系系 統(tǒng)統(tǒng) （2）分析，選取研究對象 如以整體為研究對象，三個平衡方 程，四個未知數(shù)，不能求解. 如取AC桿為研究對象，三個平衡 方程，五個未知數(shù)，也不能求解. 如取CB桿為研究對象，三個平衡方程，三個未知數(shù)， 可以求解. 因此，取CB桿為研究對象. 平面一般力系平面一般力系 4-8 物體系的平衡 （3）CB桿為研究對象 對C點寫力矩方程，求出FB 0 C M 0 B FaM 2 2 2 B Mqa Fqa aa FB求出后，以整體為研究對象， 求另外三個約束反力. 平面一般力系平面一般力系 4-8 物體系的平衡 （4）整體研究對象 1 1 63 2 Fqaqa 分布載荷的合力 整體受力圖 1

23、1 62 33 ADAEaa 作用位置 平面一般力系平面一般力系 平衡方程 0 x F 2 Ax Fqa 4-8 物體系的平衡 1 cos450 Ax FFF （ ） sin450 AyB FFF 0 y F Ay Fqa （ ） 平面一般力系平面一般力系 1 23sincos60 AB MMFaFaFaFa 3223 22 6 22 A MMqaaqaa qa aqaa 負號表示A處反力 偶的轉(zhuǎn)向與原假設(shè)相反. 2 3qa 4-8 物體系的平衡 0 A M F 平面一般力系平面一般力系 （5）分析討論 4-8 物體系的平衡 要注意運用解題技巧，本例只求A處反力，可以恰當 地選取對象，盡量用較

24、少的平衡方程求得所需求的未知力. 平面一般力系平面一般力系 例4-9 已知梁AB和BC在B點鉸接，C為固定端. 若 M=20kNm，q=15kN/m，試求A、B、C三點的約束反力. 4-8 物體系的平衡 解：（1）判斷物體系是否屬于靜定系統(tǒng) 六個獨立平衡方程六個未知量 （2）AB梁為研究對象 0 A M F 1 320 B FF 1 30kNFBE q 其中 1 2 20kN 3 B FF 解得 系統(tǒng)靜定 平面一般力系平面一般力系 4-8 物體系的平衡 1 2 = 20kN 3 B FF 解得 1 30 A FF 0 B M F 10kN A F （3）BC梁為研究對象 2 21.50 BC FFMM 0 C M F 平面一般力系平面一般力系 4-8 物體系的平衡 2 21.50 BC FFMM 0 C M F 解得 2 21.5=82.5kN CB MFMF 2 15kNFBD q 其中 2 20.50 CyC FFMM 0 B M F = 35kN Cy F 0 x F 0 Cx F 平面一般力系平面一般力系 （4）分析討論 假如，