數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文秩冪等矩陣的刻畫與冪等矩陣進(jìn)一步研究

1、秩冪等矩陣的刻畫與冪等矩陣的進(jìn)一步研究秩冪等矩陣的刻畫與冪等矩陣進(jìn)一步研究 ( 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系 指導(dǎo)教師: )摘 要:本文主要采用jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法，極小多項式的理論，從矩陣的秩冪等性出發(fā)來研究其冪等性,溝通了矩陣的秩冪等性與冪等性.本文還進(jìn)一步刻畫了秩冪等矩陣與冪等矩陣.關(guān)鍵詞:秩冪等矩陣 冪等矩陣矩陣的秩 jordan標(biāo)準(zhǔn)形極小多項式abstract:in this paper, applying the method of the jordan normal canonical and the minimum multinomial theory，we begin with the

2、 rank-idempotent matrices ,and establish a bridge between rank-idempotent matrices and idempotent matrices .also we further the discusses of idempotent matrices and rank-idempotent matrices . keywords: rank-idempotent matrix idempotent matrix rank of matrix jordan normal canonical minimum multinomia

3、l.44 1.引言為任意數(shù)域,為復(fù)數(shù)域. 表示數(shù)域上所有矩陣組成的集合.表示上的維列向量組成的維線性空間.表示階單位矩陣.,表示的值域, 表示的核子空間.表示的秩.表示的次方冪，在本文總規(guī)定是自然數(shù).特別地，是可逆矩陣時,有意義，且 .定義1. 設(shè)對任意，則稱為次冪等矩陣.注:我們之所以強調(diào)冪等指數(shù)的最小性,是因為存在矩陣,滿足但.例如.為了更細(xì)致的刻畫冪等矩陣,我們定義了次冪等矩陣. 定義2. 設(shè),則稱為冪等矩陣. 若,則簡稱為冪等矩陣.現(xiàn)有文獻(xiàn)1-479-13都是討論滿足條件的矩陣的相關(guān)性質(zhì).這些文獻(xiàn)并未強調(diào)冪等指數(shù)的最小性.為了更廣泛的討論冪等矩陣,我們定義了冪等矩陣.注:定義1與定義2

4、的區(qū)別是在定義1中強調(diào)冪等次數(shù)的最小性,在定義2中只要求矩陣滿足條件 即可.定義3 .設(shè).,滿足則稱為為秩冪等矩陣. 注:在后文的定理2中我們證明了在本質(zhì)上就是故在此處不需再像定義2那樣定義秩冪等矩陣.因為目前文獻(xiàn)對冪等矩陣的定義都是滿足定義2的矩陣.而就簡稱為冪等矩陣.定義3中定義秩冪等矩陣是很自然的,因為只要與的秩相等,就稱其為秩冪等矩陣.定義4. 設(shè)滿足且,則稱為次冪等矩陣.注:這樣定義的矩陣是自身逐次乘方后首次出現(xiàn)與前面的相等的矩陣. 定義5. 設(shè),若存在自然數(shù)使當(dāng)時成立,則稱為冪等矩陣.注:這在粗略的只討論滿足條件的矩陣時是可取的.定義4強調(diào)了冪等次數(shù)的最小性,而且定理5只是討論滿足

5、條件的矩陣.本文將分別對次冪等矩陣與冪等矩陣進(jìn)行討論.定義6. 設(shè)，若存在自然數(shù)使且對有 則稱為次秩冪等矩陣.定義6比定義3更嚴(yán)格.定義3中包含了可逆矩陣,而特別的在定義6中令則本質(zhì)為且也即不包括可逆矩陣. 定義7. 設(shè),次數(shù)最低的,首項系數(shù)為1的,以為根的多項式叫做的極小多項式.記為.關(guān)于冪等矩陣(是指滿足條件的矩陣.這與定義1中的次冪等矩陣不同,與定義2中的冪等矩陣相同,并不強調(diào)冪等次數(shù)的最小性)的刻畫已有不少文獻(xiàn): 1, 2, 3, 4, 7, 9,10,11,12,13.其中文9-13都是從秩的等式去刻畫. 文1-3給出了三冪等矩陣(滿足)的不同形式的等式.命題1 (見文1,()式)設(shè)

6、, 則 命題2 (見文2,推論1) 設(shè), 則 ； ； 注(1.1)式是大家所熟知的結(jié)論.可通過矩陣初等變換的方法證得.其中(1.3)式中不正確.反例:令滿足, 命題3 (見文3,()()式) 設(shè), 則特別地,若則有文 4-5 給出了一般的冪等矩陣(滿足)的等價刻畫.命題4 (見文4定理3.1)設(shè),為正整數(shù)，則 命題5 (見文4推論1)設(shè), 為正整數(shù), 則對任意的自然數(shù)有如果.命題6(見文5()式)設(shè), 則 其中， 利用此命題而易得 以上這些命題都可通過用分塊矩陣初等變換的方法證得. 文6-8主要從矩陣的值域,核子空間與線性空間的關(guān)系來刻畫冪等矩陣.主要結(jié)果如下:命題7 (見文6,命題4,5,7

7、,8)為冪等矩陣,則 (1) ; (2) ; (3) ; (4) .命題8 (見文7,命題9)設(shè)階方陣的秩為,為冪等矩陣,則存在加逆矩陣, 使 .命題9 (見文8,推論1)設(shè)為數(shù)域上的階方陣,則下列命題等價: (1);(2); (3).命題7-9通過線性變換的方法結(jié)合維數(shù)公式可得證.文9首先用兩種不同的方法建立了二階冪等矩陣的表現(xiàn)定理,進(jìn)而對一般冪等矩陣作出刻畫.命題10 (見文9,定理1)是二階矩陣,則是冪等矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)是零矩陣或單位矩陣,或有以上之表現(xiàn) 其中為任意復(fù)數(shù) 且 .命題11 (見文9,定理2)是階冪等矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)存在階矩陣及階(0,1)對角形矩陣，使得.文10利用線性代數(shù)的方

8、法研究秩冪等矩陣的性質(zhì),得到了秩冪等矩陣的一些充要條件,揭示了秩冪等矩陣的值域,核子空間與的聯(lián)系.命題12 (見文10,定理1) 如果,那么下列各條等價:(1) 是秩冪等矩陣; (2) ; (3) , ; (4) , . 這個定理的核心結(jié)果是:,結(jié)果(3),(4)都可由維數(shù)公式易得.而核心結(jié)果由引理9可證. 命題13 (見文10,定理2) 如果,那么下列各條等價:(1) 是秩冪等矩陣; (2) ; (3) ; (4) . 此命題的核心結(jié)果是:.由引理9,及由大空間與子空間的關(guān)系可證得,它本質(zhì)的刻畫了其他結(jié)果.而(4)由命題12中的(3),(4)直接推得.命題14 (見文10,定理1)如果 ,那

9、么下列各條等價:(1) ;(2) 存在可逆方陣,使得 其中,;(3) 存在可逆方陣,使得; (4) 的特征值的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)相等. 此命題由引理9及擴基的方法再加以適當(dāng)?shù)挠嬎愣玫? 命題15 (見文11,定理5) 設(shè)為冪等矩陣的特征值,則,或為次單位根.命題16 (見文11,定理7)設(shè),為的最小多項式,則為冪等矩陣,當(dāng)且僅當(dāng). 文1-5都是從冪等矩陣出發(fā)來研究其秩的等式,同時用矩陣的秩去刻畫矩陣的冪等性.而文10則首次提出了秩冪等矩陣的概念,并給出了一些等價刻畫.我們將從反面著手,從矩陣秩的冪等性出發(fā)來研究矩陣的冪等性.上述文獻(xiàn)大多集中在研究二冪等矩陣與三冪等矩陣(其研究并不強調(diào)冪等次數(shù)

10、的最小性,即滿足定義2的矩陣).而我們將研究一般的次冪等矩陣與更為一般的冪等矩陣, 秩冪等矩陣與次秩冪等矩陣以及它們之間的聯(lián)系. 由于在后文中我們證明了矩陣的秩的性質(zhì)與數(shù)域是無關(guān)的.所以我們采用jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法與極小多項式的理論來研究.這是與上述文獻(xiàn)中的方法不同的. 我們主要的工作有以下幾個方面. 的本質(zhì).文10利用引理9證明,給出了其等價刻畫.而我們用jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的方法來研究,進(jìn)一步指出本質(zhì)上就是,也即只需研究的情況就可以了.在此基礎(chǔ)上找到過渡到的充要條件,溝通了秩冪等矩陣與次冪等矩陣. 由于,但與有所不同.為此本文進(jìn)一步刻畫次秩冪等矩陣的特征.過渡到的充要條件.此外本文還指

11、出了所討論的這幾個方面之間的關(guān)系.2.引理引理1. 矩陣是次冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)與相似的矩陣是次冪等矩陣. 證明: 設(shè)且().與相似, 則存在 ,使得 且.否則 ,由 得 這與 矛盾.同理可證.(因為相似關(guān)系是等價關(guān)系,具有自反性.) 引理2. 矩陣為秩冪等矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)與相似的矩陣的矩陣是次秩冪等矩陣.證明: 1）設(shè),且與相似, 則存在 使得 .所以 則 , 所以故.2）往證 否則 .， 由1）的證明過程知 定理1. 矩陣的冪等性與秩冪等性不隨數(shù)域的改變而改變. 證明: 設(shè)為任意數(shù)域,為復(fù)數(shù)域.1) 設(shè)在上的秩為,則存在 , 使得 又 故故在上的秩也為.2) 設(shè)在上的秩為,則在的秩也為.否則,在

12、的秩為,由1)中的證明知在上的秩為,這與假設(shè)矛盾.3) 矩陣的冪等性不隨數(shù)域的改變而改變.證明顯然.(因為矩陣方冪實質(zhì)是矩陣中元素的運算,數(shù)的四則運算與數(shù)域無關(guān))綜合1),2),3)知,矩陣冪等性與秩冪性不隨數(shù)域的改變而變. 引理3. 12 設(shè),則存在可逆方陣 ,使得 其中 , 且 .注: 因為復(fù)數(shù)域是最大的數(shù)域,所以對,我們可以將其轉(zhuǎn)化為上去研究.因為的秩冪等性與冪等性不隨數(shù)域的改變面改變.而且在相似條件下具有不變性.由引理3 知任意數(shù)域上的矩陣都與復(fù)數(shù)域上的一個jordan標(biāo)準(zhǔn)形相似.故任意數(shù)域上的矩陣的秩冪等與冪等的有關(guān)性質(zhì)都可歸結(jié)到復(fù)數(shù)域與其相似的jordan標(biāo)準(zhǔn)矩陣上去研究.引理4.

13、設(shè)且滿足(2.1),(2.2),(2.3)則 . 證明: 對數(shù)學(xué)歸納法.往證(2.4)式成立.即當(dāng) 時,. . .假設(shè) 則 ， .時, .時, .所以 (2.4) 式成立.下面證 (2.5) 成立. .因為 ,所以 ,任意,即(2.5)式成立. 注: 在此總約定的jordan標(biāo)準(zhǔn)形為上述形式,即將jordan 塊分為兩類,前個為特征值為零的jordan 塊,后面的個特征值非零的jordan 塊.在后文的證明中沿用此記號. 引理5. (見文2,引理1)設(shè) 是階若當(dāng)塊,則其中,當(dāng)時,.引理6. 與對角矩陣相似的充要條件為,的不變因子沒有重根.引理7. 與對角矩陣相似的充要條件為,的最小多項式?jīng)]有重

14、根.引理8. , 則. 引理6-8證明祥見文12.引理9.(見文10,引理3) (forbenius)如果,那么.3.主要結(jié)果及證明3.1 秩冪等的刻畫定理2. 設(shè)為任意數(shù)域,滿足(2.1)(2.2)(2.3),則下列命題等價:(1) ; (2) 引理3,(2.2) 中, ; (3) 證明: 由引理2,引理3知 , .由 得 則必有 , .否則存在 使得 , 則由引理4中(2.4)式可知又由引理8知 所以 由引理4中(2.5)知 由得 .這與式矛盾.故 ,.成立.由 , 知 則由引理4中(2.5)式可知,又由引理1可得. 由引理8知所以 .此定理說明秩冪等矩陣與2秩冪等矩陣在本質(zhì)上是一樣的.故

15、在下面只要需討論2秩冪等矩陣的情況即可.在引理2,引理3,定理1中已證明矩陣的秩在相似條件下不變而且與數(shù)域無關(guān),所有的數(shù)域都是復(fù)數(shù)域的子域,所以我們可以用復(fù)數(shù)域上的jordan標(biāo)準(zhǔn)形來研究.由上述的證明可知在(2.1)(2.2)(2.3)的所設(shè)下,的秩由的秩決定,而的秩由其零特征值的jordan塊的階數(shù)決定,即由決定(因為任意乘方后不改變秩),由此得到的充要條件為(3.1.2).而文10借助引理9來證明,因而未指出對的本質(zhì)作用. 定理3. 則下列命題等價:(1) 其中 ，;(2) ; (3) 引理3,(2.2)中 , 且存在, 使得 .證明: 反證法,假設(shè)存在, 使得 .由引理4,(2.4)知

16、若 , 則若 , 則因為，故總有而對任意的 都有, .所以 故 這與(1)矛盾.所以 , .往證存在 ,使得 .否則 .由引理4,(2.4)知, , 又 由引理4,(2.5)知, . 所以 .這與 矛盾.往證 因為 由引理4,(2.4)知.所以 即 又由引理1得.往證 同理的證明.注：由定理1可知, ,本質(zhì)上說就是，歸結(jié)為jordan 標(biāo)準(zhǔn)形就是定理2中的（2）,即零特征值是jordan最多是一階的.事實上，卻存在著，, .本定理就找到了一般的次秩冪等矩陣的等價刻畫. ,在本質(zhì)上就是歸結(jié)為jordan形為定理3中的（3）.即零特征值的jordan塊有階的,且最高階為階的。其實旨為冪零塊,冪零次

17、數(shù)為,其乘方后的為引理4中所示.的秩完全由這些冪零塊的階數(shù)決定. 這樣我們可以對任意數(shù)域上的矩陣按秩冪等次數(shù)進(jìn)行分類。即分別取這樣矩陣可分為類.這是由零特征值的jordan塊的階數(shù)決定的.即，與，當(dāng)且僅當(dāng)時與是同一類的.可以證明這樣的分類是可行的,滿足分類的原則,即不重不漏.3.2 秩冪等矩陣與冪等矩陣 定理4. 滿足(2.1)(2.2)(2.3), ,則為次冪等矩陣的充要條件是且為次單位根,且存在 使得,其中. 證明: , 由定理2知 .其中 .又 , . .所以 .往證 其中.否則,存在, 使得.設(shè)為的特征值,屬于的特征向量為 , 則, 由知即 .若,則這與已知(存在 ,使得,其中)矛盾.

18、,設(shè)為的特征值,屬于的特征向量為 , 則,即 由 得即 .所以或為次單位根.往證存在 , 使得,.否則,對任意,若存在，其中, 使得.則由充分性的證明知.這與已知矛盾.又為的零化多項式,且無重根.設(shè)為的極小多項式,則所以 也無重根.由引理7知, 可對角化.所以,.注: 冪等矩陣一定是秩冪等矩陣,但秩冪等矩陣不一定是冪等矩陣,此定理給出了秩冪等矩陣過渡到次冪等矩陣的充要條件. 特別地, 時,則 可逆矩陣 使得 其中為的秩, 且. 時, , 則存在可逆矩陣,使得 其中 為的秩,且.因為相似關(guān)系是等價關(guān)系,也即是經(jīng)過一系列的初等變換而得的,所以我們就從本質(zhì)上刻畫了2次冪等矩陣與3次冪等矩陣.這是與文

19、9-11所不同的.在此定理中，我們可以類似的找到秩冪等過渡到冪等矩陣(不強調(diào)冪等次數(shù)的最小性)的充要條件.可表述為下面的定理.定理5. 滿足(2.1)(2.2)(2.3) 且,則為冪等矩陣的充要條件為為次單位根,.證明同理定理4.定理4與定理5的區(qū)別是定理4給出了秩冪等矩陣到次冪等矩陣的充要條件.而定理5給出了秩冪等矩陣到冪等矩陣的充要條件.前者的條件更為嚴(yán)格.因為次冪等矩陣強調(diào)了冪等次數(shù)的最小性,而冪等矩陣并不強調(diào)冪等到次數(shù)的最小性而只是廣泛的滿足條件的矩陣.這兩個定理說明次冪等矩陣與冪等矩陣的刻畫是有差別的.定理6. 設(shè) 且滿足(2.1)(2.2)(2.3)且為次秩冪等矩陣,則為次冪等矩陣

20、的充要條件為且為次單位根,且存在,使得對任意的都有. 證明： 1)由引理3知存在 , 使得因為由定理4知,.由引理4可知故 為次單位根，則，所以即 所以 .2) 因為為次秩冪等矩陣,則有,否則, 其中這與為次冪等矩陣矛盾.3) 因為存在,使得對任意的都有,故,.否則 存在 滿足使得 .設(shè)的特征值為,屬于的特征向量為則 .由得 .若 則 為次單位根. 這與已知中 存在,使得對任意的都有 矛盾.綜合1),2),3)可得為次冪等矩陣.4）設(shè)的特征值為,屬于的特征向量為則 .因為所以 .令 其中 ,因為 所以 又因為 ,由定理3知所以.由知, 故為 次單位根.5）往證.否則,存在 則 所以 則, 由引

21、理1知 這與已知矛盾.故，成立.6）往證存在,使得對任意的都有.否則對任意 存在使得 則由充分性中1)的證明知()這與為次冪等矩陣矛盾.定理7. 設(shè)且滿足(2.1)(2.2)(2.3)且為次秩冪等矩陣,則 的充要條件為且為次單位根，.注：比較定理5，在前提條件的限定下的充要條件為且為 次單位根,.因為在下可保證其實質(zhì)上就是要求可對角化而在定理7，只要求,（其中）就可以了，也即只要非零特征值的jordan塊最多是一階的這是因為在條件的限定下就保證了（其中這樣就不需要限定也即不需要一定可對角化但定理5與定理7又是有聯(lián)系的,特別的時定理7就是定理5的內(nèi)容.文11給出了一個冪等矩陣的必要條件是的特征值

22、是0或次單位根.我們可以證明這個條件不是充分的.例如令 其特征值為其中為2次單位根.但.與文11中的結(jié)果相比,此定理給出了秩冪等到冪等的一個充要條件.事實上,若放棄秩冪等的大前提,我們用類似的方法可以找到矩陣為冪等的一個充要條件.推論1:設(shè)滿足(2.1) (2.2)(2.3),則為冪等矩陣(滿足定義5)的充要條件其特征值為0或次單位根,且與7相比,我們找到了判定冪等矩陣(滿足定義5)的一個充要條件.結(jié)束語本文主要從矩陣的秩的冪等性，冪等性以及兩者之間的關(guān)系三個方面來討論，前人的討論大都討論冪等矩陣秩的等式與不等式冪等矩陣線性組合的冪等性等方面。本文的不同就是從反面出發(fā)，矩陣的秩的冪等性出發(fā)來研究冪等矩陣本文所采用的方法主要是jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法與極小多項式的理論.進(jìn)一步給出了矩陣秩冪等性與冪等性的刻畫，其中每個定理的內(nèi)容都是新穎的.主要包括的本質(zhì)就是.過渡到次冪等矩陣的充要條件,找出了秩冪等矩陣與次冪等矩陣的聯(lián)系. 進(jìn)一步刻畫次秩冪等矩陣的特征. 過渡到的充要條件.還可以對冪等矩陣的分類進(jìn)行討論.本文