數(shù)項級數(shù)的概念與基本性質(zhì)

1、8.1數(shù)項級數(shù)的概念與基本性質(zhì)教學(xué)目的理解級數(shù)的概念和基本性質(zhì)教學(xué)重點級數(shù)的基本性質(zhì)，收斂的必要條件，幾何級數(shù)教學(xué)難點有窮項相加與無窮項相加的差異教學(xué)過程1.導(dǎo)入以前我們學(xué)習(xí)的加法是將有限個數(shù)相加，這種加法易于計算但無法滿足應(yīng)用的需要在許多技術(shù)問題中常要求我們將無窮多個數(shù)相加，這種加法叫做無窮級數(shù)無窮級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具無窮級數(shù)分為常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)，常數(shù)項級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)的特殊情況，是函數(shù)項級數(shù)的基礎(chǔ)2.講授新課2.1常數(shù)項級數(shù)的概念定義8.1 設(shè)給定數(shù)列，我們把形如 （8.1.1）的式子稱為一個無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)其中第項稱為級數(shù)的通項（或一般項）如果級

2、數(shù)中的每一項都是常數(shù)，我們稱此級數(shù)為數(shù)項級數(shù).例如， 等差數(shù)列各項的和 稱為算術(shù)級數(shù)等比數(shù)列各項的和 稱為等比級數(shù)，也稱為幾何級數(shù)級數(shù) =稱為調(diào)和級數(shù) 級數(shù)（8.1.1）的前項和為：，稱為級數(shù)的前項部分和，簡稱部分和2.2常數(shù)項級數(shù)收斂與發(fā)散定義8.2 若級數(shù)(8.1.1)的部分和數(shù)列的極限存在， 即 (常數(shù)) 則稱極限為無窮級數(shù)的和記作此時稱級數(shù)收斂；如果數(shù)列沒有極限，則稱級數(shù)發(fā)散，這時級數(shù)沒有和顯然，當(dāng)級數(shù)收斂時，其部分和是級數(shù)和的近似值，它們之間的差叫做級數(shù)的余項用近似值代替所產(chǎn)生的誤差是這個余項的絕對值，即誤差為例 討論幾何級數(shù)的斂散性，其中，是公比結(jié)論：幾何級數(shù)，當(dāng)時收斂，且；時發(fā)散

3、例2 判別無窮級數(shù)的斂散性例3證明級數(shù)發(fā)散2.3收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)8.1若, ，則級數(shù)性質(zhì)8.2 若收斂，為非零常數(shù)，則級數(shù)也收斂，且有性質(zhì)8.3 若級數(shù)收斂，則.性質(zhì)8.3表明，是級數(shù)收斂的必要條件因此，如果級數(shù)的通項不趨于，則該級數(shù)一定發(fā)散；若該級數(shù)的通項趨于，則該級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散例4 已知級數(shù)為，討論其斂散性注意：性質(zhì)8.3只是級數(shù)收斂的必要條件，并非充分條件例如調(diào)和級數(shù)，但它是發(fā)散的.3.小結(jié)3.1無窮級數(shù)其中叫通項3.2部分和，當(dāng)存在時級數(shù)收斂，否則發(fā)散3.3四條基本性質(zhì)：性質(zhì)1-43.4收斂的必要條件4.布置習(xí)題(略)8.2正項級數(shù)及其審斂法教學(xué)目的理解正項級數(shù)的概念和

4、性質(zhì)教學(xué)重點正項級數(shù)的各種審斂法，幾何級數(shù)與p-級數(shù)教學(xué)難點比較判別法教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)1.1問題級數(shù)就是無窮多項相加嗎?級數(shù)收斂的必要條件?算術(shù)級數(shù)、等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)的斂散性1.2講解作業(yè)2.講授新課級數(shù)的問題，首先是斂散性問題.一般來說，根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義、性質(zhì)只能判別出少數(shù)級數(shù)的斂散性，因此還必須建立其他的判別法.下面將分別給出正項級數(shù)、任意項級數(shù)的斂散性判別法.首先，來研究正項級數(shù)及其斂散性的判別法.2.1正項級數(shù)的定義定義8.3 若數(shù)項級數(shù)的一般項（），則稱數(shù)項級數(shù)為正項級數(shù)正項級數(shù)是很重要的一類數(shù)項級數(shù)，下面我們給出兩種常用的判定正項級數(shù)收斂或發(fā)散的法則，這些法則都給出了級數(shù)

5、收斂的充分條件2.2比較判別法定理8.1（比較判別法） 設(shè)和是兩個正項級數(shù)，若（為大于零的常數(shù)）則（1）當(dāng)收斂時，也收斂；（2）當(dāng)發(fā)散時，也發(fā)散注意：定理8.1告訴我們：只需與已知斂散性的正項級數(shù)作比較，便可判定正項級數(shù)的斂散性通常我們選用幾何級數(shù)和下面的級數(shù)作為判定正項級數(shù)斂散性的比較對象級數(shù)（常數(shù)）稱為級數(shù)，級數(shù)當(dāng)時發(fā)散，當(dāng)時收斂（證明從略）調(diào)和級數(shù)即為時的情形例5 判定下列級數(shù)的斂散性：(1) ；(2) 2.3比值判別法比較審斂法是通過與某個已知斂散性的級數(shù)比較對應(yīng)項的大小，來判斷給定級數(shù)的斂散性，但有時不易找到作為比較對象的已知級數(shù)，這就提出了一個問題，能否從級數(shù)本身直接判別級數(shù)的收斂

6、性呢？達(dá)朗貝爾找到了比值審斂法定理8.2（比值判別法，又稱達(dá)朗貝爾判別法）若正項級數(shù)（）的后項與前項之比值的極限等于，即，則（1）時，級數(shù)收斂；（2）（或）時，級數(shù)發(fā)散；（3）時，不能判斷級數(shù)的斂散性例6 判別下列級數(shù)的斂散性：(1) ； (2).課堂練習(xí) 利用比較判別法，判斷下列級數(shù)的斂散性： ； 利用比值判別法，判斷下列級數(shù)的斂散性： ；3.小結(jié)正項級數(shù)的概念；比較審斂法、比值審斂法4.布置習(xí)題(略)8.3任意項級數(shù)及其審斂法教學(xué)目的理解變號級數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)重點交錯級數(shù)的審斂法，絕對收斂與條件收斂教學(xué)難點絕對收斂與條件收斂教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)正項級數(shù)比較審斂法、比值審斂法2.講授新課2

7、.1絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)設(shè)為任意實數(shù)，則級數(shù)稱為任意項級數(shù)為了判定任意項級數(shù)的收斂性，通常先考察其各項的絕對值組成的正項級數(shù)的收斂性定理8.3 若絕對值級數(shù)收斂，則級數(shù)必定收斂注：由于總是正項級數(shù)，因此定理8.3 使得一大類級數(shù)的收斂性問題轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的收斂性問題定義8.4 若級數(shù)收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂若級數(shù)發(fā)散，而級數(shù)收斂，則稱級數(shù)為條件收斂例7判斷級數(shù)（為任意常數(shù)）的斂散性注意：定理8.3的逆定理并不成立即絕對收斂的級數(shù)一定收斂，但收斂級數(shù)卻不一定絕對收斂2.2交錯級數(shù)及其審斂法定義8.5 若級數(shù)的各項符號正負(fù)相間，即，或 ，則稱此級數(shù)為交錯級數(shù)，其中（） 由于級數(shù)，所以下面只討

8、論的斂散性定理8.4（萊布尼茲判別法） 若交錯級數(shù)，滿足條件：（1），；（2），則級數(shù)收斂，且其和例8判斷級數(shù)的斂散性解此交錯級數(shù)，滿足（1）（）（2）由萊布尼茲判別法知，級數(shù)收斂又由于，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)是條件收斂此例也說明，定理8.3的逆定理不成立3.小結(jié)任意項級數(shù)的m判別法絕對收斂與條件收斂交錯級數(shù)與萊布尼茨判別法 (另提行)4.布置習(xí)題(略)第6章7份 第7章3份 第8章6份 第9章4份8.4冪級數(shù)及其收斂性教學(xué)目的理解冪級數(shù)的概念；求簡單冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間教學(xué)重點冪級數(shù)的收斂性教學(xué)難點冪級數(shù)的收斂性教學(xué)過程1.導(dǎo)入 上一節(jié)學(xué)習(xí)了常數(shù)項級數(shù)的概念及斂散性的判別方法，常數(shù)項

9、級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)的特例，那么什么是函數(shù)項級數(shù)呢？2.講授新課2.1函數(shù)項級數(shù)的概念若給定一個定義在區(qū)間上的函數(shù)列，則由此函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式（8.2.1）稱為定義在上的函數(shù)項級數(shù)，稱為一般項或通項對每一確定的點，都對應(yīng)一個數(shù)項級數(shù)（8.2.2）若數(shù)項級數(shù)（8.2.2）收斂，則稱為函數(shù)項級數(shù)（8.2.1）的收斂點若數(shù)項級數(shù)（8.2.2）發(fā)散，則稱為函數(shù)項級數(shù)（8.2.1）的發(fā)散點函數(shù)項級數(shù)（8.2.1）的收斂點的全體稱為它的收斂域，發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域?qū)τ谑諗坑騼?nèi)的任意一個數(shù)，函數(shù)項級數(shù)成為一個收斂域內(nèi)的數(shù)項級數(shù)，因此，有一個確定的和這樣，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是關(guān)于的函數(shù)，通常稱為函數(shù)

10、項級數(shù)的和函數(shù)，記作其中是收斂域內(nèi)的任意一點將函數(shù)項級數(shù)的前項和記作，則在收斂域上有函數(shù)項級數(shù)中最簡單、最重要的一類，就是我們下面要討論的冪級數(shù)2.2冪級數(shù)及其收斂性定義8.6 形如（8.2.3）的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中，稱為冪級數(shù)的系數(shù)對冪級數(shù)，我們首先要考慮的也是它的收斂性問題，首先介紹如下定理定理8.5若，其中，是冪級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)，則(1)當(dāng)時，冪級數(shù)在任何處收斂；(2)當(dāng)時，冪級數(shù)僅在收斂；(3)當(dāng)為不等于的常數(shù)時，冪級數(shù)在內(nèi)收斂，在內(nèi)發(fā)散時，令，并規(guī)定：時，；，稱為冪級數(shù)的收斂半徑；區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間 為正常數(shù)時，冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點處可能收斂，也可能發(fā)散；時，冪級數(shù)發(fā)散如

11、果收斂半徑為正數(shù)，那么在求冪級數(shù)收斂域時，要注意考察端點處的斂散性，所得收斂域有四種：、，它們通常都稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.例1求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間例2 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間例3 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間練一練求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間：(1)； (2)3.小結(jié)冪級數(shù)的概念；收斂半徑，收斂區(qū)間注意討論端點；4.布置習(xí)題(略)8.5冪級數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的理解冪級數(shù)的性質(zhì)，會冪級數(shù)的主要運算.教學(xué)重點冪級數(shù)的4條性質(zhì)(包括在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和逐項積分).教學(xué)難點收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和逐項積分.教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)1.1冪級數(shù)的概念.1.2收斂半徑，收斂區(qū)間討論端點.2.講授新課2.1冪級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)8.4

12、 若冪級數(shù)與的收斂半徑分別為和，則的收斂半徑等于和中的較小的一個性質(zhì)8.5 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為（），則其和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)性質(zhì)8.6 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為（），則其和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項求導(dǎo)公式：，其中，且逐項求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑性質(zhì)8.7 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為（），則其和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可積，且有逐項積分公式：，其中，且逐項積分后所得的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑2.2利用性質(zhì)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間和和函數(shù)例4 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)解，收斂半徑，又時，所得的級數(shù)發(fā)散，因此收斂區(qū)間為設(shè)和函數(shù)，由性質(zhì)8.7，兩邊對求導(dǎo)得，課堂練習(xí)：求冪級數(shù)的和函數(shù)解設(shè)和函數(shù)為，即兩端求

13、導(dǎo)，并注意到可得上式兩端從0到x積分，得 ， .由于又當(dāng)時，收斂，所以 =求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)的和 解略3.小結(jié)冪級數(shù)的性質(zhì)，特別是逐項微分和逐項積分性質(zhì).4.布置習(xí)題(略)8.6函數(shù)展開成冪級數(shù)教學(xué)目的函數(shù)能展開為冪級數(shù)的條件；泰勒級數(shù)的概念5個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式及它們的收斂區(qū)間；將簡單的初等函數(shù)展開為的冪級數(shù)教學(xué)重點函數(shù)展開成泰勒級數(shù)；間接展開法.教學(xué)難點函數(shù)展開成泰勒級數(shù).教學(xué)過程1.導(dǎo)入前面討論了冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)的求法，但在實際問題中往往會提出相反的問題：對于已知函數(shù)，能否用冪級數(shù)來表示? 下面將討論這個問題2.講授新課2.1泰勒級數(shù)泰勒展開式若函數(shù)在點的某一鄰

14、域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對此鄰域內(nèi)任意有 . （8.3.1）稱(8.3.1)為的泰勒展開式或泰勒公式，其中在，之間，且稱為的階泰勒余項 (8.3.2) 在泰勒展開式中，當(dāng)時，記，公式（8.3.1）成為 (8.3.3)稱(8.3.3)為的麥克勞林展開式泰勒級數(shù) 若在點的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，此時我們可讓多項式（8.3.1）的項數(shù)趨于無窮而構(gòu)成冪級數(shù) （8.3.4）冪級數(shù)（8.3.4）稱為函數(shù)的泰勒級數(shù)定理8.設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是的泰勒公式中的余項當(dāng)時的極限為零.即（）在（8.3.4）式中，若，可得（8.3.5）級數(shù)（8.3.5）稱為函數(shù)的麥克勞林級數(shù)函數(shù)的麥克勞林級數(shù)是的冪級數(shù)，若能展開成的冪級數(shù)，則展開式是唯一的，就是的麥克勞林級數(shù)2.2函數(shù)展開成冪級數(shù)直接展開法利用麥克勞林公式將展開成的冪級數(shù)，其步驟如下：求出的各階導(dǎo)數(shù)，如果在處的某階導(dǎo)數(shù)不存在，則不能展開成冪級數(shù)；求出函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值：，；寫出函數(shù)的冪級數(shù)并求出收斂半徑；考察時，余項的極限（在與之間）是否為零.如果為零，則級數(shù)（8.3.6）收斂，且和函數(shù)就是即如果極限不為