數(shù)學(xué)論文定積分中的幾何直觀方法與不等式的證明（HU修改）

1、定積分中的幾何直觀方法與不等式的證明（孝感學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖北 孝感 432000）摘要：一些高指數(shù)的不等式，如果借助算術(shù)幾何均值不等式或者通過分解因式再進(jìn)行放縮的話，一般都要分與進(jìn)行討論證明，往往證明起來很麻煩，若借助數(shù)學(xué)分析中的定積分來進(jìn)行證明的話，會(huì)大大簡(jiǎn)化其證明工序，也很簡(jiǎn)單，靈活的選取合適的初等函數(shù)進(jìn)行定積分，再求和會(huì)得到意想不到的效果。關(guān)鍵詞：高指數(shù)；不等式；算術(shù)幾何均值；定積分；數(shù)列1引言文1中給出了一個(gè)不等式： （） （1）田寅生對(duì)（1）進(jìn)行了指數(shù)推廣，其結(jié)果是命題1【2】設(shè)且，則有 （2）文2的證明方法是借助于算術(shù)幾何均值不等式，分與進(jìn)行討論證明，讀者不難看出，不僅過程

2、繁瑣，而且對(duì)其證明思路難以把握。文3 中利用微分中值定理給出了它的另一種證法。 文4借助定積分的方法，給出了一種很自然的證明【4】：命題1的證明【4】 當(dāng)，時(shí)，對(duì)于，有，即，兩邊取積分，得，（3）即得 （4）對(duì)（3）兩邊分別求和，即得 （5）命題1得證。該證明方法簡(jiǎn)單自然，幾何意義直觀。不等式（3）的幾何意義是：如圖1，以為邊的曲邊梯形的面積介于兩個(gè)矩形的面積之間，根據(jù)定積分的幾何意義，即知上面不等式中三部分分別代表了它們的面積。（圖1）在文5中，又把（1）式推廣為：命題2【】已知為等差數(shù)列且，公差，則 （6）其證明方法與文1本質(zhì)上是一樣的。本文將借鑒4中方法，即利用定積分的幾何直觀方法，把有

3、關(guān)結(jié)果作進(jìn)一步的推廣。主要結(jié)果下面借鑒文4中定積分的的方法，把命題2推廣為定理1 設(shè)為等差數(shù)列且，公差，則 （7）為證明定理1，先證明下面的引理引理1設(shè)為等差數(shù)列且，公差，則 （8）證明因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，所以該數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增的正數(shù)列，又因?yàn)?，不妨令，則有即 （9）對(duì)（9）兩端在上取積分，有 （10）即 （11）由（11），即得定理1的證明由引理1可得 （12） 對(duì)（12）式的兩邊同時(shí)求和，得即故有同理，由 （13）對(duì)式（13）的兩邊同時(shí)求和，可得到故定理1得證。引理1的證明中幾何意義十分明顯，參見下面的圖2。（圖2）如果注意到函數(shù)（）是下凸函數(shù)，利用關(guān)于下凸函數(shù)圖像的下列兩條幾何性質(zhì)

4、：性質(zhì)1任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的上方；性質(zhì)2曲線總在它的任一切線的上方。那么可以對(duì)引理1中的不等式（8）進(jìn)一步精細(xì)化，得到定理2設(shè)為等差數(shù)列且，公差，則 （14）證明因?yàn)椋ǎ┦窍峦购瘮?shù)，由上述兩條性質(zhì)，得即得 （15）對(duì)（15）兩端在上積分，得（14）成立。定理2證明的幾何意義，可參考下面圖3。（圖3）推論1當(dāng)，時(shí)，有該結(jié)果顯然比（4）式更為精細(xì)。應(yīng)用例子例1【】 試求的整數(shù)部分解由（1）式，得于是可以判斷，故。例2【】 試求的值，式中解由命題1，可得所以。例3 設(shè)，求不超過的最大整數(shù) 解對(duì)本問題，如果運(yùn)用命題1或命題2將無法計(jì)算，我們運(yùn)用定理1便會(huì)迎刃而解，（），令數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

5、由定理1，可得即 所以。例4 設(shè)，求的近似值（絕對(duì)誤差不超過）解記數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，那，這里，由定理1，得即由絕對(duì)誤差不超過0.06，而14.512-14.454=0.0580.06，故s可以取14.454到14.512任何一個(gè)數(shù)即可，不妨取s=14.49。4其它應(yīng)用在文6中，作者給出了二次根式的一個(gè)不等式：命題3【】 設(shè),則（16）當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0時(shí)，（1）的等號(hào)成立。原證比較簡(jiǎn)短，但我們更關(guān)心的是不等式（16）是如何得到的，換言之，這類不等式具有什么樣的幾何意義？考慮函數(shù)與，則由，得 即 （17）由于不等式（16）與（17）等價(jià)，而不等式（17）具有鮮明的幾何意義，它的

6、左右兩端分別代表兩個(gè)曲邊梯形的面積 （如圖4）（圖4）事實(shí)上，許多重要不等式都具有類似的幾何意義，如不等式 （） （18）就可以利用 （19）來認(rèn)識(shí)其幾何意義。由此可知，通過對(duì)一些簡(jiǎn)單的不等式積分，可能獲得另一個(gè)不是十分明顯的不等式。下面例子選自高等數(shù)學(xué)附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解一書，我們將用利用定積分的幾何直觀方法進(jìn)行新的證明，并改進(jìn)其結(jié)果。命題4【7】設(shè)，證明 （20）文獻(xiàn)7關(guān)于不等式（20）的證明思路是：而，故有，因此由此可知（20）式左側(cè)的不等式成立，至于（20）式右側(cè)的不等式，那是顯然的。另證因?yàn)椋ǎ┦窍峦购瘮?shù)，函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，根據(jù)下凸函數(shù)的幾何性質(zhì)，有（21）當(dāng)，時(shí)，有，將（21

7、）中的換成，得（22）再對(duì)（22）兩端在上積分，立得結(jié)論成立。下面改進(jìn)不等式（20）兩端的常數(shù)，將得到如下更加精細(xì)的結(jié)果：推論2設(shè)，則證明考慮函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，而函數(shù)的兩個(gè)端點(diǎn)、的連線方程為，根據(jù)下凸函數(shù)的幾何性質(zhì)，有（23）將（23）中的換成，得 （24）再對(duì)（24）兩端在上積分，得再結(jié)合命題4所證，故得。參考文獻(xiàn)：1 徐利治，王興華. 數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講m. 北京: 高等教育出版社, 19842 田寅生. 一個(gè)不等式的指數(shù)推廣及應(yīng)用j. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2003（9）3 劉玉璉等. 數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解(第一版) m. 北京: 高等教育出版社, 19964 胡付高. 一個(gè)不等式的簡(jiǎn)證及其幾何直觀j. 中學(xué)數(shù)學(xué),2004（2）5 田寅生. 一個(gè)不等式的推廣、加強(qiáng)及應(yīng)用