標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算

1、 平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來(lái)表明平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來(lái)表明 資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù) 主要包括有：主要包括有： 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean） 中位數(shù)中位數(shù)（median） 眾數(shù)眾數(shù)（mode） 幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)（geometric mean） 調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean） 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除是指資料中各觀測(cè)值的總和除 以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)平均數(shù)或均數(shù)， 記

2、為。記為。 算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而 采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。 (一一)直接法直接法 主要用于樣本含量主要用于樣本含量n30以下、未經(jīng)分組資以下、未經(jīng)分組資 料平均數(shù)的計(jì)算。料平均數(shù)的計(jì)算。 設(shè)某一資料包含設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：個(gè)觀測(cè)值： x1、x2、xn， 則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算：則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算： 其中，其中，為總和符號(hào)；為總和符號(hào)； 表示從第一個(gè)觀測(cè)值表示從第一個(gè)觀測(cè)值 x1累加到第累加到第n個(gè)觀測(cè)值個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng)。當(dāng) 在意義上已明確時(shí)，在意義上已明確時(shí)， 可簡(jiǎn)寫為可簡(jiǎn)寫為x，（，（3-1）式可改

3、寫為：）式可改寫為： n x n xxx x n i i n 121 n i i x 1 n x x 【例【例3.1】 某種公牛站測(cè)得某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重頭成年公牛的體重 分別為分別為500、520、535、560、585、600、480、 510、505、490（kg），求其平均數(shù)。），求其平均數(shù)。 由于由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285， n=10 得：得： 即即10頭種公牛平均體重為頭種公牛平均體重為528.5 kg。 （二）加權(quán)法（二）加權(quán)法 對(duì)于樣本含量對(duì)于樣本含量 n30 以上且已分組的資料，可以以上且已

4、分組的資料，可以 在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算 公式為：公式為： .5(kg)528 10 5285 n x x f fx f xf fff xfxfxf x k i i k i ii k kk 1 1 21 2211 式中：式中： 第第i組的組中值；組的組中值； 第第i組的次數(shù)；組的次數(shù)； 分組數(shù)分組數(shù) 第第i組的次數(shù)組的次數(shù)fi是權(quán)衡第是權(quán)衡第i組組中值組組中值xi在資料中在資料中 所占比重大小的數(shù)量，因此將所占比重大小的數(shù)量，因此將fi 稱為是稱為是xi的的 “權(quán)權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。，加權(quán)法也由此而得名。 【例【例3.

5、2】 將將100頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩 重（單位：重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，）資料整理成次數(shù)分布表如下， 求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。 i x i f k 表表31 100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表 利用（利用（32）式得：）式得： 即這即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為 45.2kg。 計(jì)算若干個(gè)來(lái)自同一總體的樣本平均數(shù)的計(jì)算若干個(gè)來(lái)自同一總體的樣本平均數(shù)的 平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán) 法計(jì)算。法計(jì)算。 )(2 .45

6、100 4520 kg f fx x 【例【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛某牛群有黑白花奶牛 1500頭，頭， 其平均體重為其平均體重為750 kg ，而另一牛群有黑白花，而另一牛群有黑白花 奶牛奶牛1200頭，平均體重為頭，平均體重為725 kg，如果將這，如果將這 兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多 少？少？ 此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要 計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛 群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)

7、平均數(shù)，即平均數(shù)，即 即兩個(gè)牛群混合后平均體重為即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89 kg。 （三）平均數(shù)的基本性質(zhì)（三）平均數(shù)的基本性質(zhì) 1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零， 即即離均差之和等于零離均差之和等于零。 或簡(jiǎn)寫成或簡(jiǎn)寫成 )(89.738 2700 12007251500750 kg f fx x 0)( 1 xx n i i 0)(xx 2、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小， 即即離均差平方和為最小離均差平方和為最小。 (xi- )2 (xi- a)2 （常數(shù)（常數(shù)a ） 或簡(jiǎn)寫為：或簡(jiǎn)寫為

8、： 幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) 上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。 一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義 用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng) 弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。 僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是 不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值 變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。 全距（極差）全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值是表示資料中各觀測(cè)值 變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)

9、計(jì)量。但是全變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。但是全 距只利用了資料中的最大值和最小值，距只利用了資料中的最大值和最小值， 并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異 程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅 速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以 利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 為為 了了 準(zhǔn)準(zhǔn) 確確 地地 表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異 程度程度 ，人們，人們 首首 先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求 出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，

10、（ ） ，稱，稱 為為離均差離均差。 雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的 性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù) ，離均，離均 差之和差之和 為零，即（為零，即（ ） = 0 ，因，因 而而 不不 能能 用用 離均差之和離均差之和（ ）來(lái)）來(lái) 表表 示示 資料中所有觀測(cè)資料中所有觀測(cè) 值的總偏離程度。值的總偏離程度。 xx xx xx 為了解決離均差有正為了解決離均差有正 、有負(fù)，離均差之、有負(fù)，離均差之 和為零的問(wèn)和為零的問(wèn) 題題 ， 可先求可先求 離離 均均 差的絕差的絕 對(duì)對(duì) 值值 并并 將將 各各 離離 均均 差差

11、 絕對(duì)絕對(duì) 值值 之之 和和 除以除以 觀觀 測(cè)測(cè) 值值 個(gè)個(gè) 數(shù)數(shù) n 求求 得得 平平 均均 絕絕 對(duì)對(duì) 離差，即離差，即 | |/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料 中各觀測(cè)值的變異程度中各觀測(cè)值的變異程度 ，但由于平均絕對(duì)，但由于平均絕對(duì) 離差包含絕對(duì)值符號(hào)離差包含絕對(duì)值符號(hào) ，使用很不方便，在，使用很不方便，在 統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。 xx 我們還可以采用將離均差平方的辦法來(lái)解決我們還可以采用將離均差平方的辦法來(lái)解決 離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題。離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題。 先將各先將各 個(gè)離個(gè)離 均差平方，即均差平方

12、，即 ( )2 ，再求，再求 離離 均差平方和均差平方和 ， 即即 ，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱平方和平方和，記為，記為 SS； 由由 于于 離差平方和離差平方和 常常 隨隨 樣樣 本本 大大 小小 而而 改改 變變 ，為，為 了了 消消 除除 樣樣 本大小本大小 的的 影影 響響 ， 用平方用平方 和和 除除 以以 樣樣 本本 大大 小，小， 即即 ，求出離均差，求出離均差 平方和的平均數(shù)平方和的平均數(shù) ； xx 2 )(xx nxx/)( 2 為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú) 偏偏 估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均

13、 數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度，而用自由度 n-1， 于是，我們于是，我們 采采 用統(tǒng)計(jì)量用統(tǒng)計(jì)量 表示資料的表示資料的 變異程度。變異程度。 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 稱稱 為為 均均 方方 （ mean square縮寫為縮寫為MS）,又稱又稱樣本方差樣本方差， 記為記為S2，即，即 S2= 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 相應(yīng)的總體參數(shù)叫相應(yīng)的總體參數(shù)叫 總體方差總體方差 ，記，記 為為2。對(duì)于有限總體而言，。對(duì)于有限總體而言，2的計(jì)算的計(jì)算 公式為：公式為： Nxx/)( 22 由于由于 樣本方差樣本方差 帶有原觀測(cè)單位的帶有原觀測(cè)單

14、位的 平平 方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值 的變異程度而不作其它分析時(shí)的變異程度而不作其它分析時(shí) ， 常需要常需要 與平均數(shù)配合使用與平均數(shù)配合使用 ，這，這 時(shí)應(yīng)時(shí)應(yīng) 將平方單位將平方單位 還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng) 計(jì)學(xué)上把樣本方差計(jì)學(xué)上把樣本方差 S2 的平方根叫做的平方根叫做樣本樣本 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn) 差差，記為，記為S，即：，即： 1 )( 2 n xx S 由于由于 所以上式可改寫為：所以上式可改寫為： )2()( 22 2 xxxxxx 22 2xnxxx 2 2 2 )( )( 2 n x n n x x

15、n x x 2 2 )( 1 2 )( 2 n x S n x 相應(yīng)的總體參數(shù)叫相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為，記為 。對(duì)于有限總體而言，。對(duì)于有限總體而言，的計(jì)算公式為：的計(jì)算公式為： 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)估計(jì) 總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差。 Nx/)( 2 二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法 （一）直接法（一）直接法 對(duì)于未分組或小樣本資料對(duì)于未分組或小樣本資料 ， 可直可直 接利用（接利用（311）或（）或（3-12）式來(lái)計(jì)算）式來(lái)計(jì)算 標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差。 【例【例3.9】 計(jì)算計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量： 450， 45

16、0， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。）的標(biāo)準(zhǔn)差。 此例此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：，經(jīng)計(jì)算得：x=5400， x2=2955000，代入（，代入（312）式得：）式得： 即即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 為為 65.828g。 828.65 110 10/54002955000 1 /)( 2 22 n nxx S （二）加權(quán)法（二）加權(quán)法 對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可 利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì) 算公式

17、為：算公式為： 式中，式中，f為各組次數(shù)；為各組次數(shù)；x為各組的組中值；為各組的組中值；f = n為總次數(shù)。為總次數(shù)。 1 /)( 1 )( 222 f ffxfx f xxf S 【例【例3.10】 利用某純系蛋雞利用某純系蛋雞200枚蛋重資料枚蛋重資料 的次數(shù)分布表（見表的次數(shù)分布表（見表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。 將表將表3-4中的中的f、fx、 代入（代入（314）式）式 得：得： 即某即某 純純 系系 蛋蛋 雞雞200枚枚 蛋蛋 重的標(biāo)準(zhǔn)差為重的標(biāo)準(zhǔn)差為 3.5524g。 5524. 3 1200 200/1.1070511.575507 1 /)( 2 22 f ffxfx

18、 S 2 fx 表表34 某純系蛋雞某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布枚蛋重資料次數(shù)分布 及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表 三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性 （一）（一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響，標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響， 如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。 （二）（二）在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各觀測(cè)值加上或減去一在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各觀測(cè)值加上或減去一 個(gè)常數(shù)，其數(shù)值不變。個(gè)常數(shù)，其數(shù)值不變。 （三）（三）當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù)當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù)a，則所，則所 得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差的得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或倍或1/a倍。倍。 （四）（四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料 中約有中約有68.26%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo) 準(zhǔn)差（準(zhǔn)差（ S）范圍內(nèi)；約有）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測(cè)值的觀測(cè)值 在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（ 2S）范圍內(nèi)；）范圍內(nèi)； 約有約有99.73%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn) 差（差（ 3S） 范范 圍內(nèi)。也就是說(shuō)全距近似地圍內(nèi)。也就是說(shuō)全距近似地 等于等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距/6）來(lái)粗略估計(jì)）來(lái)粗略估計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)