第六章 控制系統(tǒng)的誤差分析和計算

1、第六章 控制系統(tǒng)的誤差分析和 計算 6.1 穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念 6.2 輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差 6.3 干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差 6.4 減少系統(tǒng)誤差的途徑 6.5 動態(tài)誤差系數(shù) 6.1 穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念 對一個控制系統(tǒng)的要求是穩(wěn)定、準確、快速.誤差問題即是控制 系統(tǒng)的準確度問題.過渡過程完成后的誤差稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài) 誤差是系統(tǒng)在過渡過程完成后控制準確度的一種度量. 機電控制系統(tǒng)中元件的不完善,如靜摩擦、間隙以及放大器的零點 漂移、元件老化或變質(zhì)都會造成誤差.本章側(cè)重說明另一類誤差, 即由于系統(tǒng)不能很好跟蹤輸入信號,或者由于擾動作用而引起的穩(wěn) 態(tài)誤差,即系統(tǒng)原理性誤差. 對于一

2、個實際的控制系統(tǒng),由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入作用的類型 (給定量或擾動量)、輸入函數(shù)的形式(階躍、斜坡或拋物線)不同, 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致或相當, 也不可能在任何形式的擾動作用下都能準確地恢復(fù)到原平衡位置. 這類由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差稱為 原理性穩(wěn)態(tài)誤差. 此外,控制系統(tǒng)中不可避免地存在摩擦、間隙、不靈敏區(qū)等非 線性因素,都會造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差.這類由于非線性因素所引起 的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差稱為結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差. 本章只討論原理性穩(wěn)態(tài)誤差,不討論結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差. 控制系統(tǒng)的方塊圖如圖6-1所示.實線部分與實際系統(tǒng)有對應(yīng)關(guān)系, 而虛線部分則是為了說明概

3、念額外畫出的. 誤差定義為控制系統(tǒng)希望的輸出量與實際的輸出量之差,記做e(t), 誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量被稱為穩(wěn)態(tài)誤差,或稱為靜態(tài)誤差,記作ess.輸 入信號和反饋信號比較后的信號(t)也能反映系統(tǒng)誤差的大小,稱 之為偏差.應(yīng)該指出,系統(tǒng)的誤差信號e(t)與偏差信號(t),在一般情況 下并不相同(見圖6-1). 控制系統(tǒng)的誤差信號的象函數(shù)是 (6-1) 而 偏差信號的象函數(shù)是 (6-2) 考慮Xi(s)與Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得 (6-3) 及 (6-4) 比較(6-3)和(6-4)兩式,求得誤差信號與偏差信號之間的關(guān)系為 sXsXssE oi )( sYsXs i )

4、( sHsY sX sX sX s o I oI 1 sXsX sH sE oi 1 sXsX sH s sH oi 11 sH s sE 對于實際使用的控制系統(tǒng)來說,H(s)往往是一個常數(shù),因此通常誤差 信號與偏差信號之間存在簡單的比例關(guān)系,求出穩(wěn)態(tài)偏差就得到穩(wěn) 態(tài)誤差.對于單位反饋系統(tǒng)H(s)=1來說,偏差信號與誤差信號相同, 可直接用偏差信號表示系統(tǒng)的誤差信號.這樣,為了求穩(wěn)態(tài)誤差,求 出穩(wěn)態(tài)偏差即可. 6.2 輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差 單位反饋控制系統(tǒng) )(sG sX o sX i )(sE 圖6-2 單位反饋系統(tǒng) )( )(1 1 )(sX sG sE i 6.2.1 誤

5、差傳遞函數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差誤差傳遞函數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差 根據(jù)終值定理 這就是求取輸入引起的單位反饋系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方法.需要注意的 是,終值定理只有對有終值的變量有意義.如果系統(tǒng)本身不穩(wěn)定,用 終值定理求出的值是虛假的.故在求取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差之前,通常應(yīng) 首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性. )( )(1 1 lim)(lim)(lim 00 sX sG sssEtee i sst ss 輸入引起的系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為 )(1 1 )( )( sGsX sE i 則 )(sG sX o sX i )(s )(sH )(sY 圖6-3 非單位反饋系統(tǒng) 非單位反饋控制系統(tǒng) 輸入引起的系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)為: )( )()(1 1

6、 )()( sX sHsG sYsXs i i 根據(jù)終值定理)( )()(1 1 lim)(lim)(lim 00 sX sHsG ssst i sst ss 穩(wěn)態(tài)偏差 )( )()(1 1 )( 1 lim 0 sX sHsGsH se i s ss 穩(wěn)態(tài)誤差 一般情況下,H為常值,故這時: H e ss ss 例6-1 某反饋控制系統(tǒng)如圖6-4,當xi(t)=1(t)時,求穩(wěn)態(tài)誤差. 解:該系統(tǒng)為一階慣性系統(tǒng),系統(tǒng)穩(wěn)定.誤差傳遞函數(shù)為: 10 10 1 1 )(1 1 )( s s s sGsX sE i 而 s sX i 1 )( 則 0 1 10 lim)( 10 lim 00 ss

7、s ssX s s se s i s ss 6.2.2 靜態(tài)誤差系數(shù)靜態(tài)誤差系數(shù) 設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為: 系統(tǒng)的類型系統(tǒng)的類型 當 時，使系統(tǒng)穩(wěn)定是相當困難的。因此除航天控制系統(tǒng)外， 型及型以上的系統(tǒng)幾乎不用。 2 (1)靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp 當系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號r(t)=1(t)時, )0()0(1 11 )()(1 1 lim 0 HGssHsG s s ss 其中， ,定義為系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)。 0)0()(lim 0 HGsHsGK s p u對于0型系統(tǒng) u對于型或高于型以上系統(tǒng) K sTsTsT sssK K n m s p ) 1() 1)(1( ) 1() 1)(1( l

8、im 21 21 0 KK p ss 1 1 1 1 ) 1() 1)(1( ) 1() 1)(1( lim 21 21 0 sTsTsTs sssK K n m s p 0 ss (2) 靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv 當系統(tǒng)的輸入為單位斜坡信號時r(t)=t1(t)，即 ，則有 其中 ,定義為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)。 2 1 )( s sR KsHssGssHsG s s s ss 1 )()(lim 11 )()(1 1 lim 0 2 0 )()(lim 0 sHssGK s u對于0型系統(tǒng)： u對于型系統(tǒng)： u對于型或型 以上系統(tǒng)： K sTsTsT sssK sK ss n m s 1 0 )

9、 1() 1)(1( ) 1() 1)(1( lim 21 21 0 KK K sTsTsTs sssK sK ss n m s 11 ) 1() 1)(1( ) 1() 1)(1( lim 21 21 0 0 ) 1() 1)(1( ) 1() 1)(1( lim 21 21 0 ss n m s sTsTsTs sssK sK (3)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka 當系統(tǒng)輸入為單位加速度信號時，即 則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為 其中， ,定義為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。 3 2 1 )(),( 1 2 1 )( s sRtttr a s s ss KsHsGsssHsG s 1 )()(lim 11 )()(1

10、 1 lim 2 0 3 0 )()(lim 2 0 sHsGsK s a 對于0型系統(tǒng)，Ka=0，ss=； 對于型系統(tǒng)，Ka=0， ss=； 對于型系統(tǒng)，Ka=K， ss= ； 對于型或型以上系統(tǒng)，Ka=， ss=0 。 KKa 11 所以,0型和型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下都不能跟蹤加速度輸入信號.具有單位反 饋的型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下是能跟蹤加速度輸入信號的.但帶有一定的位置 誤差.高于型系統(tǒng)由于穩(wěn)定性差, 故不實用. 小小 結(jié)結(jié) (1)位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入是階躍、斜坡、 勻加速度輸入時所引起的輸出位置上的誤差. (2)表6-1概括了0型、I型和II型系統(tǒng)在各種輸入量作用下的穩(wěn)態(tài)偏

11、 差.在對角線上,穩(wěn)態(tài)偏差為無窮大;在對角線下,則穩(wěn)態(tài)偏差為零. (3)靜態(tài)誤差系數(shù)Kp,Kv,Ka分別是0型、I型、II型系統(tǒng)的開環(huán)靜態(tài)放 大倍數(shù),而v=0,1,2則表示系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目. (4)對于單位反饋控制系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)誤差等于穩(wěn)態(tài)偏差. (5)對于非單位反饋控制系統(tǒng),先求出穩(wěn)態(tài)偏差ss后,再按下式求出 穩(wěn)態(tài)誤差 0H e ss ss 表6-1 各種類型的穩(wěn)態(tài)偏差 p K1 1 v K 1 a K 1 系統(tǒng) 類型 單位 階躍 單位 斜坡 單位 加速度 0型系統(tǒng) 型系統(tǒng)0 型系統(tǒng)00 綜上所述,0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤斜坡輸入.在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下, 具有單位反饋的I型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入,但

12、具有一定的誤差.這個 穩(wěn)態(tài)偏差ss反比于系統(tǒng)開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù).在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,II 型或高于II型的系統(tǒng)其穩(wěn)態(tài)偏差為零,因而能準確地跟蹤斜坡輸入. 類似地,0型和I型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下都不能跟蹤加速度輸入信號.具 有單位反饋的II型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下是能夠跟蹤加速度輸入信號 的.但有一定的位置誤差. 例6-2 設(shè)有二階振蕩系統(tǒng),其方塊圖如圖6-6所示.試求系統(tǒng)在單位階躍,單位恒速和 單位恒加速輸入時的靜態(tài)誤差. 解:該系統(tǒng)為二階振蕩系統(tǒng),系統(tǒng)穩(wěn)定. 由于是單位反饋系統(tǒng),偏差即是誤差.另外,該系統(tǒng)為I型系統(tǒng), 1 2 1 2 2 )( 2 ss ss sG n n n n 單位階躍:0 ss e

13、 單位斜坡: nv ss KK e 211 單位加速度: ss e 上述結(jié)論是在階躍、斜坡等典型輸入信號作用下得到的,但它有普遍的實用意義. 這是因為控制系統(tǒng)輸入信號的變化往往是比較緩慢的,可把輸入信號在時間t=0附 近展開成泰勒級數(shù),這樣,可把控制信號看成幾個典型信號之和,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可 看成是上述典型信號分別作用下的誤差總和. 0 ! n n n ax n ax tx 解:首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由開環(huán)傳遞函數(shù)知,閉環(huán)特征方程為 根據(jù)勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定. 例:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示,求當輸入信號r(t)=2t+t2時,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess. 020201 . 0)( 23 ssssD 第二步,

14、求穩(wěn)態(tài)誤差ess. 因為系統(tǒng)為型系統(tǒng),根據(jù)線性系統(tǒng)的奇次性和疊加性,有 時，ttr2)( 1 0 1 ss e 時， 2 2 )(ttr 20 a K1 . 0 2 2 a ss K e 故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=ess1+ess2=0.1. 6.3 干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差 )()()()(0)()()( 00 sHsXsHsXsYsXs i sHsGsG sG sN sX o 21 2 1 所以干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差為: sN sHsGsG sG sHs 21 2 1 )()( 干擾引起的偏差為: 根據(jù)終值定理,干擾引起穩(wěn)態(tài)偏差為: 則干擾引起穩(wěn)態(tài)誤差為: sN sHsGsG sHs

15、G s 12 2 )(1 )( sst st ss 0 limlim 0H e ss ss 例6-3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-8所示,當輸入信號xi(t)=1(t),干擾N(t)=1(t)時,求系統(tǒng)總的 穩(wěn)態(tài)誤差ess. 解:第一步要判別穩(wěn)定性.由于是一階系統(tǒng),所以只要參數(shù)K1,K2大于零,系統(tǒng)就穩(wěn)定. 第二步,求E(s).因為是單位反饋,穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差相等.先求輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤 差 0 1 1 1 lim 2 1 0 1 s s K K se s ss 再求干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差 1 2 1 2 0 2 11 1 - lim Ks s K K s K se s ss 所以,總誤差為 11 21 1

16、1 -0 KK eee ssssss 例6-4 某直流伺服電動機調(diào)速系統(tǒng)如圖6-9所示,試求擾動力矩N(s)引起的穩(wěn)態(tài)誤 差. 解:首先應(yīng)選擇合適的G1(s)使系統(tǒng)穩(wěn)定.Kc是測速負反饋系數(shù),這是一個非單位反 饋的控制系統(tǒng),先求擾動作用下的穩(wěn)態(tài)偏差,再求穩(wěn)態(tài)誤差ess. 設(shè)G1(s)=1,系統(tǒng)是一階的,因此穩(wěn)定.圖6-9中,R是電動機電樞電阻,CM為力矩系 數(shù),N是擾動力矩,干擾作用為一個常值階躍干擾,故穩(wěn)態(tài)偏差為 Mc c M M c M c s ss C NR KKK KK sC NR sT KKK sT KK s 21 2 21 2 0 1 1 1 1 - lim 則穩(wěn)態(tài)誤差為 Mcc

17、ss ss C NR KKK K K e 21 2 1 當時， Mc ss C NR KK e 1 1 可見，反饋系數(shù)越大，則誤差越??；干擾量越小，則誤差越??；擾動作用點 與偏差信號間的放大倍數(shù)越大，則誤差越小 為了進一步減少誤差，可讓 ,稱為比例加積分控制. 選擇，使系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕量，同時，其穩(wěn)態(tài)偏差為 s K sG 3 1 1 0 s K 1 1 1 1 - lim 321 2 0 sC NR sT KKK sT KK s M M c M c s ss ）（ 因而穩(wěn)態(tài)誤差ss. 從物理意義上看，在擾動作用點與偏差信號之間加上積分環(huán)節(jié)就等于加入靜 態(tài)放大倍數(shù)為無窮大的環(huán)節(jié)，因此靜態(tài)誤差

18、為. 0 s K 1 1 1 1 - lim 321 2 0 sC NR sT KKK sT KK s M M c M c s ss ）（ 一般而言，如果反饋控制系統(tǒng)對前向通道的擾動是一個階躍函數(shù)，則只要保證 系統(tǒng)穩(wěn)定，并且在擾動作用點前有一個積分器，就可以消除階躍擾動引起的穩(wěn) 態(tài)誤差圖-所示為穩(wěn)定系統(tǒng)，（）和（）中不包含純微分 環(huán)節(jié)，根據(jù)題意可表達為 0limlim 1 1 1 21 2 00 21 2 21 2 s a sHsGsGs ssG ssN sN sX se sHsGsGs ssG sHsGsG s sG sN sX s a sN tatn s o s ss o 同理,如果反饋控

19、制系統(tǒng)對前向通道的擾動是一個斜坡函數(shù),那么只要保證系統(tǒng) 穩(wěn)定,并且在擾動作用點前有兩個積分器,就可以消除斜坡擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差. 圖6-11所示為穩(wěn)定系統(tǒng),G1(s)和H(s)中不包含純微分環(huán)節(jié),根據(jù)題意可表達為: 0limlim 1 1 1 2 21 2 2 2 00 21 2 2 2 21 2 2 2 s a sHsGsGs sGs ssN sN sX se sHsGsGs sGs sHsGsG s sG sN sX s a sN tattn s o s ss o 作為對比,如果將積分器1/s置于干擾點之后,如圖6-12所示. 當沒有積分器1/s時, 01 lim 11 1 1 1 1 1

20、 1 1 0 1 1 1 G a ssEe sGs a s a sG sN sG sE sGsN sE s a sN tatn s 當 設(shè)置積分器1/s時, 0 lim 11 1 1 1 1 1 2 0 2 2 2 G a ssEe sGss a s a sGs sN sGs sE sGs sG s s sN sE s a sN tatn s 對比兩種情況可以看出,將積分器1/s置于干擾點之后對消除階躍擾動N引起的穩(wěn) 態(tài)誤差沒有什么好處. 另外需要注意,當擾動作用點在前向通道時,通過環(huán)節(jié)的調(diào)整可以減少其影響.例 如,前面提到的保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,在擾動作用點前設(shè)置積分器或在擾動作 用點前加大

21、放大器增益,可使擾動影響減少;但當擾動作用點在反饋通道時,則很 難使擾動影響減少. sN sHsGK sX sHsGKsN sX o o 1 1 1 1 sN sHsGK sHsGK sX sHsGK sHsGK sN sX o o 1 1 擾動作用點在前向通道 擾動作用點在反饋通道 6.4 減小系統(tǒng)誤差的途徑減小系統(tǒng)誤差的途徑 (1)反饋通道的精度對于減小系統(tǒng)誤差是至關(guān)重要的.反饋通道元部 件的精度要高,避免在反饋通道引入干擾. (2)在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,對于輸入引起的誤差,可通過增大系 統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)和提高系統(tǒng)型次減小之;對于干擾引起的誤差,可 通過在系統(tǒng)前向通道干擾點前加積分器和增大

22、放大倍數(shù)減小之. (3)對于既要求穩(wěn)態(tài)誤差小,又要求良好的動態(tài)性能的系統(tǒng).單靠加 大開環(huán)放大倍數(shù)或串入積分環(huán)節(jié)往往不能同時滿足要求,這時可采 用復(fù)合控制的方法,或稱順饋的辦法來對誤差進行補償.補償?shù)姆绞?可分成按干擾補償和按輸入補償兩種. 順饋又稱前饋,它是從系統(tǒng)輸入端,通過設(shè)置順饋通道而引進順饋信 號,將之加到系統(tǒng)某個中間環(huán)節(jié),以補償擾動信號對系統(tǒng)輸出的影響, 或減小系統(tǒng)響應(yīng)控制信號的誤差. 順饋的缺點是在使用時需要對系統(tǒng)有精確的了解,只有了解了系統(tǒng) 模型才能有針對性的給出預(yù)測補償.但在實際工程中,并不是所有的 對象都是可得到精確模型的,而且大多數(shù)控制對象在運行的同時自 身的結(jié)構(gòu)也在發(fā)生變化

23、.所以僅用順饋并不能達到良好的控制品質(zhì). 這時就需要加入反饋,反饋的特點是根據(jù)偏差來決定控制輸入,不管 對象的模型如何,也不管外界的干擾如何,只要有偏差,就根據(jù)偏差進 行糾正,可以有效的消除穩(wěn)態(tài)誤差.解決順饋不能控制的不可測干擾. 當干擾直接可測量時,那么可利用這個信息進行補償.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如 下圖所示. Gn(s)為補償器的傳遞函數(shù). 輸出對干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)為: 令 則干擾對輸出的影響可消除， 得到對于干擾全補償?shù)臈l件為: sGsG sGsGsGsG sN sX no 21 212 1 0 212 sGsGsGsG n sG sGn 1 1 1. 按干擾補償 (1)從結(jié)構(gòu)圖可看出,實際上是利用

24、雙通道原理使擾動信號經(jīng)兩條通 道到達相加點時正好大小相等,方向相反.從而實現(xiàn)了干擾的全補償. (2)但在實際的系統(tǒng)中,有時 是難以實現(xiàn)的.因為一般 物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母的階數(shù)總比分子的階數(shù)高.一般采取近似 的補償,以減小給定或擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差. sG sGn 1 1 sG sG sGsGsE r r 1 0)()(10)( 這樣， ，應(yīng)使為使 2. 按輸入補償(應(yīng)用順饋減小輸入引起的誤差) 按下面推導(dǎo)確定Gr(s),使系統(tǒng)滿足輸入信號作用,誤差得到全補償. 即應(yīng)用順饋控制實現(xiàn)輸出信號對輸入信號的完全復(fù)現(xiàn). sX sG sGsG sX sG sG sGsXsE sX sG sG sGsX i

25、 r iri iro 1 1 1 1 1 1 從上面分析可以看出,按輸入補償?shù)霓k法,實際上相當于將輸入信號 先經(jīng)過一個環(huán)節(jié),進行一個“整形”,然后再加給系統(tǒng)回路使系統(tǒng)既 能滿足動態(tài)性能的要求,又能保證高穩(wěn)態(tài)精度. 110 100 1 100 21 ss sG ss sG， 6.5 動態(tài)誤差系數(shù)動態(tài)誤差系數(shù) 穩(wěn)態(tài)誤差相同的系統(tǒng)其誤差隨時間的變化常常并不相同, 系統(tǒng)誤差隨時間的變化動態(tài)誤差 靜態(tài)位置、靜態(tài)速度和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)均相同,穩(wěn)態(tài)誤差相 等;但時間常數(shù)、阻尼比有差別,則過渡過程將不同,其誤差隨時間 的變化也不相同. 研究動態(tài)誤差系數(shù)就可能提供一些關(guān)于誤差隨時間變化的信息, 即系統(tǒng)在給定輸入作用下達到穩(wěn)態(tài)誤差以前的變化規(guī)律. 對于單位反饋系統(tǒng),輸入引起的誤差傳遞函數(shù)在s=0的鄰域展開成臺 勞級數(shù),并近似地取