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1、數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域強(qiáng)化幾何直觀的策略 【摘 要】 教學(xué)中要充分發(fā)揮幾何直觀在分析問(wèn)題過(guò)程中的作用,注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題的過(guò)程,特別是一些可以利用圖形直觀來(lái)描述的問(wèn)題,不必急于給出解決問(wèn)題的方法,而要鼓勵(lì)學(xué)生借助圖形直觀提出猜想或猜測(cè),并盡可能地從中找到解決問(wèn)題的思路或直接利用直觀手段求解,以幫助學(xué)生不斷積累借助圖形直觀進(jìn)行思考的經(jīng)驗(yàn),發(fā)展幾何直觀能力。 【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);幾何直觀 中圖分類號(hào):g623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:a 文章編號(hào):1671-0568 (2014)22-0013-03 幾何直觀是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“十大核心概念”之一,主要指“利用圖形描述和分析問(wèn)題
2、”,其功能和價(jià)值主要體現(xiàn)在“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象,有助于探索解決問(wèn)題的思路,預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué),在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?!睅缀沃庇^不但可以幫助學(xué)生理解和解決幾何問(wèn)題,而且可以用來(lái)描述和分析數(shù)與代數(shù)的問(wèn)題,使數(shù)與代數(shù)中的一些抽象的問(wèn)題直觀化,從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。 當(dāng)前,學(xué)生在解決數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域相關(guān)問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的“幾何直觀”達(dá)到了何種水平?我們以(2011年英國(guó)小學(xué)畢業(yè)sats標(biāo)準(zhǔn)化試卷(a卷)的最后一題)為例作了一次現(xiàn)狀調(diào)查(下題即為測(cè)查時(shí)使用的改編題)。 小強(qiáng)有兩張長(zhǎng)方形的卡紙(如左圖),每張長(zhǎng)36厘米。其中一張被分成了相等
3、的三部分。另一張被分成了相等的四部分。 小強(qiáng)用這兩張紙條拼成了一個(gè)圖形(如右圖)。他拼成的這個(gè)圖形的總長(zhǎng)度是多少?寫出解答過(guò)程。 這一題與我們平時(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生的問(wèn)題有很大不同,主要是它具有較強(qiáng)的情境性、綜合性和開放性。 其較強(qiáng)的情境性主要體現(xiàn)在:它將數(shù)學(xué)操作與數(shù)學(xué)思考相結(jié)合,通過(guò)圖文并茂的形式展現(xiàn)問(wèn)題,問(wèn)題的本身帶有很強(qiáng)的情境性。 其較強(qiáng)的綜合性主要體現(xiàn)在:從知識(shí)角度看,它既考查了等分的知識(shí),又考查了和、差的知識(shí);從能力的角度看,既能考查學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)綜合應(yīng)用的能力,又能考查學(xué)生的觀察力和想象力,特別能夠考查學(xué)生借助幾何直觀來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 其較強(qiáng)的開放性主要體現(xiàn)在:只要具備了等分、和
4、差的知識(shí),就具備了解決這個(gè)問(wèn)題的可能,而且解題的方法可能會(huì)多樣化。 在分析該題的教學(xué)內(nèi)涵和價(jià)值的基礎(chǔ)上,我們將這一題安排在了三到六年級(jí)下冊(cè)的期中測(cè)試卷中,以此考查三到六年級(jí)學(xué)生的幾何直觀能力水平。 【測(cè)查與分析】 一、典型解法列舉 方法一:根據(jù)整數(shù)的倍數(shù)關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。363=12 (厘米),364=9 (厘米),12-9=3 (厘米),36+3=39 (厘米)。 方法二:根據(jù)最小公倍數(shù)的意義來(lái)解決問(wèn)題。3和4的最小公倍數(shù)是12,3612=3(厘米),36+3=39(厘米)。 方法三:根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義來(lái)解決問(wèn)題。36(1+-)=39 (厘米) 在學(xué)生解答中,有用文字說(shuō)明的,也分別計(jì)入相應(yīng)的方法。
5、 二、測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì) 我們?cè)诟髂昙?jí)中隨機(jī)抽取一個(gè)班級(jí)本題的正確率和各種典型方法進(jìn)行量化統(tǒng)計(jì),其結(jié)果如下表。 三、測(cè)試結(jié)果分析 1.學(xué)生借助幾何直觀解決問(wèn)題的能力有待提高。 從抽樣調(diào)查的223名學(xué)生中,能夠正確解答的僅126人,占56.5%。還有近一半的學(xué)生不能夠借助幾何直觀來(lái)解決問(wèn)題。其主要原因是看不懂圖意,不明白問(wèn)題的所求。也就是說(shuō),當(dāng)前小學(xué)中高年級(jí)學(xué)生借助幾何直觀來(lái)解決問(wèn)題的能力有待進(jìn)一步提高。 2.借助幾何直觀解決問(wèn)題的正確率隨年級(jí)增長(zhǎng)而不斷提升。 三年級(jí)學(xué)生因受知識(shí)基礎(chǔ)和能力水平的限制(僅解決兩步計(jì)算是實(shí)際問(wèn)題),正確率不足20%。四年級(jí)學(xué)生盡管沒(méi)有最小公倍數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ),但其抽象思維能力
6、和分析問(wèn)題的能力高于三年級(jí)學(xué)生,所以正確率大大高于三年級(jí)。五、六年級(jí)隨著知識(shí)的拓展和思維水平的提升,正確率隨之攀升。 3.幾何直觀水平影響著解決問(wèn)題方法多樣性。 五、六年級(jí)學(xué)生出現(xiàn)了多樣的算法,其原因有二:一是知識(shí)的拓展使得解決問(wèn)題的方法出現(xiàn)了多元;二是幾何直觀水平的提升促使學(xué)生對(duì)所要解決的問(wèn)題的理解和分析能力增強(qiáng),可以從不同角度來(lái)看圖解決問(wèn)題。 【反思與建議】 本次測(cè)試題就是借助幾何直觀來(lái)解決數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的問(wèn)題,本次測(cè)試盡管內(nèi)容僅限于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域,測(cè)試范圍僅限于一所學(xué)校,但從測(cè)試的結(jié)果也可以看出學(xué)生的幾何直觀水平有待進(jìn)一步提升。由此,我們認(rèn)為幾何直觀的培養(yǎng)不僅僅只關(guān)注圖形與幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí),而
7、且要在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域加以培養(yǎng)與強(qiáng)化。但不管結(jié)合怎樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容,在教學(xué)時(shí)都應(yīng)把握以下幾點(diǎn): 一、要重視讀圖訓(xùn)練 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,由于受學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制,經(jīng)常會(huì)遇到一些很難用語(yǔ)言解釋清楚的概念或性質(zhì),這時(shí),圖形直觀往往會(huì)成為有效的表達(dá)工具。直觀的背景材料和幾何形象能為學(xué)生創(chuàng)造自主思考的機(jī)會(huì)。如果學(xué)生連基本的圖形都看不懂,就談不上用圖來(lái)解決問(wèn)題,更不可能實(shí)現(xiàn)幾何直觀的形成。本題測(cè)試的結(jié)果就能反映出學(xué)生在讀圖能力方面的確有所欠缺。 在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域,除了類似測(cè)試題的解決問(wèn)題之外,大多數(shù)概念、性質(zhì)、法則等數(shù)學(xué)事實(shí)也都可以利用幾何圖形來(lái)表示。在教學(xué)這些概念時(shí),應(yīng)注重呈現(xiàn)幾何直觀圖形,幫助學(xué)生理解概
8、念、探究性質(zhì)、明確算理、建構(gòu)算法。 二、要重視畫圖訓(xùn)練 一般來(lái)說(shuō),純文字形式的問(wèn)題相對(duì)比較抽象,如果能把抽象的問(wèn)題以直觀圖示的方式表達(dá)出來(lái),學(xué)生就可能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)條件和問(wèn)題之間的聯(lián)系,找到解決問(wèn)題的方法。因此,教給學(xué)生用直觀圖示描述問(wèn)題的方法,是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要前提。教學(xué)時(shí),要注意三點(diǎn)。 1.誘發(fā)學(xué)生畫圖描述問(wèn)題的主觀愿望。當(dāng)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中遇到困難時(shí),可以引導(dǎo)思考:“問(wèn)題難在哪里,怎樣整理?xiàng)l件和問(wèn)題?”以誘發(fā)學(xué)生畫圖描述問(wèn)題的心理需要。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“解決問(wèn)題的策略畫圖”的例1,教學(xué)時(shí),先讓學(xué)生讀題,說(shuō)說(shuō)條件和問(wèn)題,再讓學(xué)生嘗試解決,在學(xué)生感到無(wú)從下手時(shí),引導(dǎo)學(xué)生畫圖來(lái)試一試。
9、2.教給學(xué)生一些必要的畫示意圖的技能。通過(guò)教師示范并逐步放手讓學(xué)生獨(dú)立畫圖,形成必要的技能。還是以畫圖的策略為例。本節(jié)課要注重解決好兩個(gè)問(wèn)題:一是想到采用畫圖的策略,并體會(huì)畫圖策略的價(jià)值;二是能夠畫出示意圖,幫助分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。相對(duì)而言,后一個(gè)問(wèn)題難度更大。為突破這一難點(diǎn),在新知教學(xué)前,教師作一鋪墊:給出一個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形,讓學(xué)生完成“把長(zhǎng)增加2厘米,畫出增加的部分”、“把長(zhǎng)減少2厘米,畫出減少的部分”。通過(guò)這樣的問(wèn)題,學(xué)生逐步掌握了畫示意圖的方法。當(dāng)學(xué)生再解決較難問(wèn)題時(shí)就能夠?qū)?wèn)題分解,從而順利畫出“示意圖”。 3.注意培養(yǎng)畫圖描述問(wèn)題的習(xí)慣。完成解題后,要注意引導(dǎo)學(xué)生回顧解
10、決問(wèn)題的過(guò)程,并通過(guò)比較和交流,幫助學(xué)生深刻體會(huì)直觀圖示在分析和解決問(wèn)題過(guò)程中的作用。 三、要重視用借助幾何直觀分析問(wèn)題的訓(xùn)練 問(wèn)題解決的主要環(huán)節(jié)有:描述和表征問(wèn)題分析和解決問(wèn)題。如果說(shuō)讀圖和畫圖是“利用幾何圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題”,那么“借助幾何圖形分析問(wèn)題”是形成解決問(wèn)題思路的重要環(huán)節(jié)。 借助幾何圖形描述和表征數(shù)學(xué)問(wèn)題,能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境信息及其關(guān)系的理解,幫助學(xué)生從整體上把握問(wèn)題,提示問(wèn)題的突破口,從而獲得正確的解題思路。但是,加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)并不是只要求學(xué)生會(huì)讀圖、畫圖,還要充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題過(guò)程中的作用,鼓勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行比較、分析和想象,進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。 再如,畫圖的策略一課,在學(xué)生借助圖形完整表征問(wèn)題的基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生交流解決問(wèn)題的思路,即根據(jù)示意圖能夠分析其中的數(shù)量關(guān)系,從而確定先算什么、再算什么。 教學(xué)中要充分發(fā)揮幾何直觀在分析問(wèn)題過(guò)程中的作用,注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題的過(guò)程,特別是一些可以利用圖形直觀來(lái)描述的問(wèn)題,不必急于給出解決問(wèn)題的方法,而要鼓勵(lì)學(xué)生借助圖形直觀提出猜想或猜測(cè),并盡可能地從中找到解決問(wèn)題的思路或直接利用直觀手段求解,以幫助學(xué)生不斷積累借助圖形直觀進(jìn)行思考的經(jīng)驗(yàn),發(fā)展幾何直觀
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