數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域強化幾何直觀的策略.doc

1、數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域強化幾何直觀的策略 【摘 要】 教學(xué)中要充分發(fā)揮幾何直觀在分析問題過程中的作用，注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題的過程，特別是一些可以利用圖形直觀來描述的問題，不必急于給出解決問題的方法，而要鼓勵學(xué)生借助圖形直觀提出猜想或猜測，并盡可能地從中找到解決問題的思路或直接利用直觀手段求解，以幫助學(xué)生不斷積累借助圖形直觀進行思考的經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀能力。 【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何直觀 中圖分類號：g623.5 文獻標識碼：a 文章編號：1671-0568 （2014）22-0013-03 幾何直觀是數(shù)學(xué)課程標準提出的“十大核心概念”之一，主要指“利用圖形描述和分析問題

2、”，其功能和價值主要體現(xiàn)在“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！睅缀沃庇^不但可以幫助學(xué)生理解和解決幾何問題，而且可以用來描述和分析數(shù)與代數(shù)的問題，使數(shù)與代數(shù)中的一些抽象的問題直觀化，從而達到化繁為簡的目的。 當(dāng)前，學(xué)生在解決數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域相關(guān)問題時表現(xiàn)出來的“幾何直觀”達到了何種水平？我們以（2011年英國小學(xué)畢業(yè)sats標準化試卷（a卷）的最后一題）為例作了一次現(xiàn)狀調(diào)查（下題即為測查時使用的改編題）。 小強有兩張長方形的卡紙（如左圖），每張長36厘米。其中一張被分成了相等

3、的三部分。另一張被分成了相等的四部分。 小強用這兩張紙條拼成了一個圖形（如右圖）。他拼成的這個圖形的總長度是多少？寫出解答過程。 這一題與我們平時呈現(xiàn)給學(xué)生的問題有很大不同，主要是它具有較強的情境性、綜合性和開放性。 其較強的情境性主要體現(xiàn)在：它將數(shù)學(xué)操作與數(shù)學(xué)思考相結(jié)合，通過圖文并茂的形式展現(xiàn)問題，問題的本身帶有很強的情境性。 其較強的綜合性主要體現(xiàn)在：從知識角度看，它既考查了等分的知識，又考查了和、差的知識；從能力的角度看，既能考查學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用的能力，又能考查學(xué)生的觀察力和想象力，特別能夠考查學(xué)生借助幾何直觀來解決實際問題的能力。 其較強的開放性主要體現(xiàn)在：只要具備了等分、和

4、差的知識，就具備了解決這個問題的可能，而且解題的方法可能會多樣化。 在分析該題的教學(xué)內(nèi)涵和價值的基礎(chǔ)上，我們將這一題安排在了三到六年級下冊的期中測試卷中，以此考查三到六年級學(xué)生的幾何直觀能力水平。 【測查與分析】 一、典型解法列舉 方法一：根據(jù)整數(shù)的倍數(shù)關(guān)系來解決問題。363=12 （厘米），364=9 （厘米），12-9=3 （厘米），36+3=39 （厘米）。 方法二：根據(jù)最小公倍數(shù)的意義來解決問題。3和4的最小公倍數(shù)是12，3612=3（厘米），36+3=39（厘米）。 方法三：根據(jù)分數(shù)的意義來解決問題。36（1+-）=39 （厘米） 在學(xué)生解答中，有用文字說明的，也分別計入相應(yīng)的方法。

5、 二、測試結(jié)果統(tǒng)計 我們在各年級中隨機抽取一個班級本題的正確率和各種典型方法進行量化統(tǒng)計，其結(jié)果如下表。 三、測試結(jié)果分析 1.學(xué)生借助幾何直觀解決問題的能力有待提高。 從抽樣調(diào)查的223名學(xué)生中，能夠正確解答的僅126人，占56.5%。還有近一半的學(xué)生不能夠借助幾何直觀來解決問題。其主要原因是看不懂圖意，不明白問題的所求。也就是說，當(dāng)前小學(xué)中高年級學(xué)生借助幾何直觀來解決問題的能力有待進一步提高。 2.借助幾何直觀解決問題的正確率隨年級增長而不斷提升。 三年級學(xué)生因受知識基礎(chǔ)和能力水平的限制（僅解決兩步計算是實際問題），正確率不足20%。四年級學(xué)生盡管沒有最小公倍數(shù)的知識基礎(chǔ)，但其抽象思維能力

6、和分析問題的能力高于三年級學(xué)生，所以正確率大大高于三年級。五、六年級隨著知識的拓展和思維水平的提升，正確率隨之攀升。 3.幾何直觀水平影響著解決問題方法多樣性。 五、六年級學(xué)生出現(xiàn)了多樣的算法，其原因有二：一是知識的拓展使得解決問題的方法出現(xiàn)了多元；二是幾何直觀水平的提升促使學(xué)生對所要解決的問題的理解和分析能力增強，可以從不同角度來看圖解決問題。 【反思與建議】 本次測試題就是借助幾何直觀來解決數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的問題，本次測試盡管內(nèi)容僅限于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，測試范圍僅限于一所學(xué)校，但從測試的結(jié)果也可以看出學(xué)生的幾何直觀水平有待進一步提升。由此，我們認為幾何直觀的培養(yǎng)不僅僅只關(guān)注圖形與幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，而

7、且要在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域加以培養(yǎng)與強化。但不管結(jié)合怎樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在教學(xué)時都應(yīng)把握以下幾點： 一、要重視讀圖訓(xùn)練 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于受學(xué)生的知識經(jīng)驗和思維水平的限制，經(jīng)常會遇到一些很難用語言解釋清楚的概念或性質(zhì)，這時，圖形直觀往往會成為有效的表達工具。直觀的背景材料和幾何形象能為學(xué)生創(chuàng)造自主思考的機會。如果學(xué)生連基本的圖形都看不懂，就談不上用圖來解決問題，更不可能實現(xiàn)幾何直觀的形成。本題測試的結(jié)果就能反映出學(xué)生在讀圖能力方面的確有所欠缺。 在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，除了類似測試題的解決問題之外，大多數(shù)概念、性質(zhì)、法則等數(shù)學(xué)事實也都可以利用幾何圖形來表示。在教學(xué)這些概念時，應(yīng)注重呈現(xiàn)幾何直觀圖形，幫助學(xué)生理解概

8、念、探究性質(zhì)、明確算理、建構(gòu)算法。 二、要重視畫圖訓(xùn)練 一般來說，純文字形式的問題相對比較抽象，如果能把抽象的問題以直觀圖示的方式表達出來，學(xué)生就可能主動發(fā)現(xiàn)條件和問題之間的聯(lián)系，找到解決問題的方法。因此，教給學(xué)生用直觀圖示描述問題的方法，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要前提。教學(xué)時，要注意三點。 1.誘發(fā)學(xué)生畫圖描述問題的主觀愿望。當(dāng)學(xué)生在解決問題的過程中遇到困難時，可以引導(dǎo)思考：“問題難在哪里，怎樣整理條件和問題？”以誘發(fā)學(xué)生畫圖描述問題的心理需要。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“解決問題的策略畫圖”的例1，教學(xué)時，先讓學(xué)生讀題，說說條件和問題，再讓學(xué)生嘗試解決，在學(xué)生感到無從下手時，引導(dǎo)學(xué)生畫圖來試一試。

9、2.教給學(xué)生一些必要的畫示意圖的技能。通過教師示范并逐步放手讓學(xué)生獨立畫圖，形成必要的技能。還是以畫圖的策略為例。本節(jié)課要注重解決好兩個問題：一是想到采用畫圖的策略，并體會畫圖策略的價值；二是能夠畫出示意圖，幫助分析問題和解決問題。相對而言，后一個問題難度更大。為突破這一難點，在新知教學(xué)前，教師作一鋪墊：給出一個長5厘米、寬3厘米的長方形，讓學(xué)生完成“把長增加2厘米，畫出增加的部分”、“把長減少2厘米，畫出減少的部分”。通過這樣的問題，學(xué)生逐步掌握了畫示意圖的方法。當(dāng)學(xué)生再解決較難問題時就能夠?qū)栴}分解，從而順利畫出“示意圖”。 3.注意培養(yǎng)畫圖描述問題的習(xí)慣。完成解題后，要注意引導(dǎo)學(xué)生回顧解

10、決問題的過程，并通過比較和交流，幫助學(xué)生深刻體會直觀圖示在分析和解決問題過程中的作用。 三、要重視用借助幾何直觀分析問題的訓(xùn)練 問題解決的主要環(huán)節(jié)有：描述和表征問題分析和解決問題。如果說讀圖和畫圖是“利用幾何圖形描述數(shù)學(xué)問題”，那么“借助幾何圖形分析問題”是形成解決問題思路的重要環(huán)節(jié)。 借助幾何圖形描述和表征數(shù)學(xué)問題，能加強學(xué)生對問題情境信息及其關(guān)系的理解，幫助學(xué)生從整體上把握問題，提示問題的突破口，從而獲得正確的解題思路。但是，加強幾何直觀教學(xué)并不是只要求學(xué)生會讀圖、畫圖，還要充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題過程中的作用，鼓勵學(xué)生借助幾何直觀進行比較、分析和想象，進而洞察數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。 再如，畫圖的策略一課，在學(xué)生借助圖形完整表征問題的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生交流解決問題的思路，即根據(jù)示意圖能夠分析其中的數(shù)量關(guān)系，從而確定先算什么、再算什么。 教學(xué)中要充分發(fā)揮幾何直觀在分析問題過程中的作用，注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題的過程，特別是一些可以利用圖形直觀來描述的問題，不必急于給出解決問題的方法，而要鼓勵學(xué)生借助圖形直觀提出猜想或猜測，并盡可能地從中找到解決問題的思路或直接利用直觀手段求解，以幫助學(xué)生不斷積累借助圖形直觀進行思考的經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀