電大《數(shù)學(xué)思想與方法》復(fù)習(xí)參考題

1、數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)參考題一、 填空題1、古代數(shù)學(xué)大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理，以幾何原本為代表；一種是長于計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用，以九章算術(shù)為典范。2、在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué)，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的幾何原本3、幾何原本所開創(chuàng)的公理化方法不僅成為一種數(shù)學(xué)陳述模式，而且還被移植到其它學(xué)科，并且促進(jìn)他們的發(fā)展。4、推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的原因主要有兩個(gè)：實(shí)踐的需要，理論的需要；數(shù)學(xué)思想方法的幾次突破就是這兩種需要的結(jié)果。5、變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解析幾何，標(biāo)志是微積分。6、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線。7、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是在一定條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可

2、能不發(fā)生某種結(jié)果。8、等腰三角形的抽象過程，就是把一個(gè)新的特征：兩邊相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強(qiáng)化。9、學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有如下三個(gè)主要階段潛意識階段，明朗化階段，深刻理解階段。10、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的各個(gè)分支相互滲透和相互結(jié)合的趨勢。11、強(qiáng)抽象就是指，通過把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象過程。12、菱形概念的抽象過程就是把一個(gè)新的特征：一組鄰邊相等，加入到平行四邊形概念中去，使平行四邊形概念得到了強(qiáng)化。13、演繹法與歸納法被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。14、所謂類

3、比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法；常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。15、反例反駁的理論依據(jù)是形式邏輯的矛盾律。16、猜想具有兩個(gè)顯著特點(diǎn)：具有一定的科學(xué)性，具有一定的推測性。17、三段論是演繹推理的主要形式。三段論由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成。18、化歸方法是指，把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或較易解決的問題中，最終獲得原問題解答的一種方法。19、在化歸過程中應(yīng)遵循的原則是簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則。20、在計(jì)算機(jī)時(shí)代，計(jì)算方法已成為與理論方法、實(shí)驗(yàn)方法并列的第三種科學(xué)方法。21、算法具有下列特點(diǎn)：有限

4、性，確定性，有效性。22、算法大致可以分為多項(xiàng)式算法和指數(shù)型算法兩大類。23、勻速直線運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是一次函數(shù)。24、所謂數(shù)學(xué)模型方法是利用數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法。25、分類必須遵循的原則是不重復(fù)，無遺漏，標(biāo)準(zhǔn)同一。26、所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題的一種思想方法。27、所謂特殊化是指在研究問題時(shí)，從對象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合的思想方法。28、面對一個(gè)問題，經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個(gè)方面入手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假，并且進(jìn)一步修正或否定此猜想。29、化歸

5、方法的三個(gè)要素是：化歸對象、化歸目標(biāo)、化歸途徑。30、根據(jù)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有潛意識、明朗化、深刻理解三個(gè)階段，可相應(yīng)地將小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)設(shè)計(jì)成多次孕育、初步理解、簡單應(yīng)用三個(gè)階段。31、數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。32、一個(gè)概括過程包括比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分析等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。33、算法的有效性是指如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解。34、數(shù)學(xué)的研究對象大致可以分成兩大類：數(shù)量關(guān)系；空間形式。二、判斷題(只要答“是”或“否”)1、計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)

6、造者。 是2、抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間一定有種屬關(guān)系。否3、一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個(gè)命題都必須給出證明。 否4、九章算術(shù)不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容。否5、既沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。是6、數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒應(yīng)用。否7、在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。是8、如果某一類問題存在算法，并且構(gòu)造出這個(gè)算法，就一定能求出該問題的精確解。否9、對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類。是10、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)隸屬數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，只要貫徹通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則就可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)。

7、否11、由類比法推得的結(jié)論必然正確。否12、有時(shí)特殊情況能與一般情況等價(jià)。是13、完全歸納法實(shí)質(zhì)上屬于演繹推理的范疇。是14、古希臘的柏拉圖曾在他的學(xué)校門口張榜聲明：不懂幾何的人不得入內(nèi)。這是因?yàn)樗膶W(xué)校里所學(xué)習(xí)的課程要用到很多幾何知識。否15、完全歸納法的一般推理形式是：設(shè)s具有性質(zhì)p，因此推斷集合s中的每一個(gè)對象都具有性質(zhì)p。否三、 簡答題1、為什么說幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系？在形式上，它是以少數(shù)原始概念和公設(shè)、公理為基礎(chǔ)，運(yùn)用邏輯規(guī)則將當(dāng)時(shí)所知的幾何學(xué)中的主要命題（定理）全部推演出來，從而形成一個(gè)井然有序的整體。在這個(gè)體系中，除了邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或

8、前面已經(jīng)證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。另外，幾何原本回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，對社會生活的各個(gè)領(lǐng)域來說，它也是封閉的。所以，幾何原本是一個(gè)比較完整的、相對封閉的演繹體系。2、試對九章算術(shù)思想方法的一個(gè)特點(diǎn)“算法化的內(nèi)容”加以說明。九章算術(shù)在每一章內(nèi)先列舉若干個(gè)實(shí)際問題，并對每個(gè)問題都給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問題的共同解法。以后遇到同類問題，只要按“術(shù)”給出的程序去做就一定能求出問題的答案；書中的“術(shù)”其實(shí)就是算法。3、簡述確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)以及確定性數(shù)學(xué)的局限性。確定性現(xiàn)象的特點(diǎn)是：

9、在一定的條件下，其結(jié)果可以唯一確定。因此確定性現(xiàn)象的條件和結(jié)果之間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預(yù)知結(jié)果如何。隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。對于這類現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，人們常常把研究確定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。用這些分支來定量地描述某些確定性現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)和變化過程，從而確定結(jié)果。但是由于隨機(jī)現(xiàn)象條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來加以定量描述。同時(shí)確定數(shù)學(xué)也無法定量地揭示大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中所蘊(yùn)涵的規(guī)律性。這就是確定數(shù)學(xué)的局限所在。4、簡述計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。（1）用來證明一

10、些數(shù)學(xué)命題；（2）用來預(yù)測某些數(shù)學(xué)問題的可能結(jié)果; （3）用來驗(yàn)證某些數(shù)學(xué)問題的結(jié)果的正確性.。5、簡述數(shù)學(xué)抽象的特征。數(shù)學(xué)抽象有以下幾個(gè)特征。（1）數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性; （2）數(shù)學(xué)抽象具有層次性; （3）數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺;（4）數(shù)學(xué)抽象不僅有概念抽象還有方法抽象。6、簡述化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用?；瘹w方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的功能至少可以歸結(jié)為以下三個(gè)方面：（1）利用化歸方法學(xué)習(xí)新知識；（2）利用化歸方法指導(dǎo)解題；（3）利用化歸原則理清知識結(jié)構(gòu)。7、簡述用mm方法解決實(shí)際問題的基本步驟，并用框圖加以表示。mm方法解題的基本步驟為：（1）從現(xiàn)實(shí)原型抽象概括出數(shù)學(xué)模型。也稱為建模階段。（

11、2）在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學(xué)問題的解。這也是數(shù)學(xué)求解階段。（3）從數(shù)學(xué)模型過渡到現(xiàn)實(shí)原型，即把研究數(shù)學(xué)模型所得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實(shí)原型上去，使實(shí)際問題得到解答。可用框圖表示如下： 8、試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過程。用特殊化解決問題的過程可用框圖表示為： 9、簡述化歸方法的和諧化原則。和諧化是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的主要內(nèi)容之一。美與真在數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)解題中一般是統(tǒng)一的。因此，我們在解題過程中，可根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論以及數(shù)、式、形等的結(jié)構(gòu)特征，利用和諧美去思考問題，獲得解題信息，從而確立解題的總體思路，達(dá)到以美啟真的作用。10、什么是算法的有限性特點(diǎn)？試舉一個(gè)不符合算

12、法有限性特點(diǎn)的例子。算法的有限性是指，一個(gè)算法必須在有限步之內(nèi)終止。以十進(jìn)制小數(shù)的除法這個(gè)算法為例，如取數(shù)2和3作為初始數(shù)據(jù)，則有，無論怎樣延續(xù)這個(gè)過程都不能結(jié)束，同時(shí)也不會出現(xiàn)中斷。因此，除法對于2和3這組數(shù)不符合算法有限性特點(diǎn)。11、簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。猜想能力培養(yǎng)可以貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面。新知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)規(guī)律的尋求、解題思路的探索等都可以作為實(shí)施猜想能力培養(yǎng)的載體。12、簡述特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中有重要的作用： （1）在選擇題時(shí)，我們經(jīng)常選擇特殊值來考察； （2）利用特殊化探求問題的結(jié)論； （3）利用特殊化檢驗(yàn)一般結(jié)果； （4）利用特殊化探索解

13、題思路。13、什么是類比猜想？并舉一個(gè)例子說明。人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過是用字母代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面都是對應(yīng)相似的。14、什么是歸納猜想？并舉一個(gè)例子說明。人們運(yùn)用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后，發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似等于3.14，于是提出了圓周率是3.14的猜想。后來數(shù)學(xué)家從理論上證明了圓周

14、率的數(shù)值為 ，果然和3.14很接近。 15、簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則的理由。由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識的背后,知識教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法,但如果不是有意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué)知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學(xué)過程達(dá)到思想方法教學(xué)的目的。 四、解答題 1、運(yùn)用方程模型解應(yīng)用題時(shí)，其中最重要的是“設(shè)想問題已經(jīng)解出”、“用兩種不同方式表示同一個(gè)量”、“方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等”這三個(gè)要點(diǎn)。這是為什么？請闡

15、述你的理解。解答：“設(shè)想問題已經(jīng)解出”，即在列式時(shí)將未知量與已知量同等對待。這是列方程中的一個(gè)重要思想，也是它優(yōu)于算術(shù)之處。在算術(shù)列式中，未知量只能列在等號左邊，且系數(shù)必須為1，已知量只能在等號右邊出現(xiàn)。已知量與未知量的地位截然不同，因此列式比較困難。而在方程列式中，已知量與未知量處于同等地位，都可以在等號兩邊出現(xiàn)，于是列式就容易多了?！坝脙煞N不同方式表示同一量”，這是列方程的關(guān)鍵。所謂方程，其實(shí)就是用兩種不同的方法表示同一個(gè)量，并用等號聯(lián)結(jié)起來?！胺匠虃€(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等”，是為了得到確定的解。這里有個(gè)自由度的思想。當(dāng)方程個(gè)數(shù)少于未知量個(gè)數(shù)時(shí)，就會出現(xiàn)不定方程(組)。這時(shí)方程(組)的解一般會

16、有無窮多個(gè)。2、(1)什么是類比推理？(2)寫出類比推理的表示形式。(3)怎樣才能增加由類比得出的結(jié)論的可靠性？解答：(1)類比推理是指，由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。(2)類比推理的表示形式為：a具有性質(zhì)b具有性質(zhì)因此，b也可能具有性質(zhì)。 (3)盡量滿足下列條件可增加類比結(jié)論的可靠性： a與b共同(或相似)的屬性盡可能多些； 這些共同(或相似)的屬性應(yīng)是類比對象a與b的主要屬性； 這些共同(或相似)的屬性應(yīng)包括類比對象的不同方面，并且盡可能是多方面的； 可遷移的屬性d應(yīng)是和屬于同一類型。3、圓周角定理證明思路如下：將圓周角的兩邊所處的位置分成

17、三種情況：角的一邊落在直徑上；角的兩邊在某一直徑的兩側(cè)；角的兩邊在某一直徑的同側(cè)。如上圖所示。先對情況進(jìn)行證明，然后將情況、轉(zhuǎn)化為情況分別進(jìn)行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學(xué)思想方法。解答：該證明中用到下面幾種數(shù)學(xué)思想方法：將圓周角分成三種情況，用到分類方法；先證明角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特殊化方法；將其他兩種情況轉(zhuǎn)化為角恰有角恰有一邊在直徑上的情況，用到化歸方法；通過對所有三種情況的證明，然后得出圓周角定理的結(jié)論，用到完全歸納法； 證明過程中需要進(jìn)行演繹推理，因此用到演繹方法。4、以“認(rèn)識長方形的對邊相等”為內(nèi)容，設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)片斷。(要求：教學(xué)過程要比較具體、合理，且有一定的層次；要有與數(shù)學(xué)知識教學(xué)相聯(lián)系的本課程中所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)內(nèi)容；不少于300字)解答：將教學(xué)過程設(shè)計(jì)成四個(gè)層次：讓學(xué)生說一說：我們周圍有哪些長方形物體？學(xué)生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。要求學(xué)生仔細(xì)觀察：看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過觀察后，會猜想：長方形相對的兩條