證券投資基金優(yōu)化方案的初探

1、證券投資基金優(yōu)化方案的初探【摘要】： 近年，由于我國經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，人們對(duì)基金投資的熱情越來越高漲。然而金融危機(jī)后，人們開始冷靜下來，加強(qiáng)了對(duì)基金投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)的考慮。如何才能選擇一個(gè)真正適合自己的基金呢？帶著這個(gè)問題，我們利用自己所能理解的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行了有關(guān)投資基金收益與風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)探討。本文將通過實(shí)證設(shè)計(jì)描述、收益率評(píng)價(jià)對(duì)基金進(jìn)行收益與風(fēng)險(xiǎn)估測，并建立基金組合分析模型和雙目標(biāo)規(guī)劃模型。在建立數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)備階段中，我們首先對(duì)單個(gè)投資基金以及基金組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析；然后對(duì)基金組合的可行域和有效邊界進(jìn)行求解；最后根據(jù)不同的投資者，建立不同的個(gè)人偏好與無差異曲線。在投資基金的風(fēng)險(xiǎn)與收益的研

2、究上，我們首先選取10支基金作為樣本，并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。然后，我們通過基金組合分析法模型，得到了證券組合中風(fēng)險(xiǎn)和收益的定性結(jié)論。同時(shí)，我們也通過建立收益和風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)規(guī)劃模型，采用偏好系數(shù)加權(quán)法轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)來進(jìn)行求解，得到定量的組合數(shù)據(jù)。對(duì)應(yīng)于不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)的取值范圍，則得到不同的基金組合方案。 最后，我們對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的討論與改進(jìn)，并對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了評(píng)價(jià)?！娟P(guān)鍵詞】：投資組合 有效邊界 無差異曲線 偏好系數(shù)加權(quán)法 雙目標(biāo)劃模型【abstract】：in recent years, due to the fast economic development in our country,

3、capital fund investment has become very popular and is increasing rapidly. after the financial crisis, people have calmed down and are evaluating the risks and rewards of capital fund investment. how can we select and pick a capital fund investment that is suitable for you? with the question, we use

4、 our knowledge and understanding from teaching to research on the risks and returns.this article is based on actual design and description to make a comprehensive evaluation on the marginal income of capital fund investment and predicting the risk, thus building up some portfolios of fund investment

5、 for model analysis to obtain both objectives and planning functions.in preparation of building up the teaching model, we firstly evaluate the risks and rewards of a single investment and a certain investment portfolio to seek understanding on the feasibility and the efficiency of the categorized fu

6、nd investment. finally, creating personal favorites and indifference curve based on various investors. based on the research of the risks and rewards of the fund investment, we have selected 10 examples for data processing.after using combined analysis model on the categorized fund investment, we we

7、re able to gain a definite conclusion of the categorized portfolios. at the same time, we also used the model analysis to obtain both objectives and planning functions on the risks and rewards by using a preferential rule system to work the weighted sum and translating it into a firm conclusion, thu

8、s we are able to quantify the categorized data. corresponding to the sampling efficiency grading limits of the risks various different investment portfolios results.finally, the model was further discussed, analyzed and improved. the advantages and disadvantages comparison was made and evaluated. 【k

9、ey words】：investment portfolios efficiency frontier indifference curve special co-efficiency weighting method dual objectives and planning functions 一、引言證券投資基金是一種實(shí)行組合投資、專業(yè)管理、利益共享、風(fēng)險(xiǎn)公擔(dān)的集合投資方式。其中，復(fù)合型基金是介于股票基金和債券基金之間的一種基金，其投資范圍限于股票市場和債券市場。因此，我們可根據(jù)投資者的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好，構(gòu)建復(fù)合基金的投資優(yōu)化方案。我們將根據(jù)不同投資者的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好，構(gòu)建復(fù)合基金的投資組合?；?/p>

10、金組合是以多種基金作為投資對(duì)象，在控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下來達(dá)到投資收益的最大化。在對(duì)投資組合進(jìn)行構(gòu)建分析時(shí)，我們首先采用證券組合分析法，對(duì)所選基金組合的可行域和有效邊界進(jìn)行求解，然后根據(jù)不同投資者的個(gè)人偏好，選出不同的無差異曲線。然后令無差異曲線簇與有效邊界相切，其中無差異曲線簇與有效邊界的切點(diǎn)，即為最滿意的有效組合，這樣我們就可以得到相應(yīng)的定性分析。再根據(jù)所求的無差異曲線，制定相應(yīng)的雙目標(biāo)規(guī)劃模型，得到偏好系數(shù)加權(quán)，將雙目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)，定量地求出不同偏好的投資組合。二、模型假設(shè)與符號(hào)說明2-1模型的假設(shè)與適用條件1. 投資收益由周平均收益率來表示，風(fēng)險(xiǎn)則由未來可能收益率與期望收益率的偏離程度（即

11、標(biāo)準(zhǔn)差）來反映。2. 不考慮投資基金時(shí)帶來的一系列費(fèi)用（如基金轉(zhuǎn)換費(fèi)等）。3. 投資者只能按照市場價(jià)格買入或賣出基金，且此買賣行為對(duì)基金價(jià)格不造成影響。4. 假設(shè)資金足夠充裕，對(duì)投資者的投資行為不造成限制。2-2符號(hào)說明w: 投資者擁有的全部資金i: 基金組合的總收益r: 基金組合的總風(fēng)險(xiǎn)：供投資者選擇的基金：基金的收益率：基金的平均收益率：購買基金的風(fēng)險(xiǎn)損失率：投資于基金的比例：投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)：基金組合的凈收益三、模型準(zhǔn)備3-1單個(gè)投資基金的收益和風(fēng)險(xiǎn)3-1-1.基金的收益基金的收益主要由收益率來體現(xiàn)，收益率的計(jì)算公式如下：收益率=投資期限一般以“年”作單位。在股票投資中，其收益率可轉(zhuǎn)化

12、為以下計(jì)算公式：由于在通常情況下，收益率是一個(gè)受多種因素影響的隨機(jī)變量，因此我們假設(shè)收益率服從某種概率分布。不同收益率所對(duì)應(yīng)的概率如下表所示：表3-1 不同收益率對(duì)應(yīng)的概率收益率概率收益率數(shù)學(xué)期望的公式如下：現(xiàn)實(shí)中，投資者一般通過歷史數(shù)據(jù)來估計(jì)期望收益率，假設(shè)證券的月或年實(shí)際收益率為（t=1，2，3，n），那么估計(jì)期望收益率的計(jì)算公式為：3-1-2.風(fēng)險(xiǎn)及其度量任何投資行為都存在風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)際收益率總會(huì)與期望收益率有偏差。期望收益率是指可能實(shí)際值與預(yù)測值的平均偏差達(dá)到最小的點(diǎn)估計(jì)值?？赡苁找媛试椒稚?，它們與期望收益率的偏差程度就越大，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也就越大。因此風(fēng)險(xiǎn)的大小由可能收益率與期望收益率

13、的偏離程度來反映，而這種偏離程度則由收益率的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行度量。其標(biāo)準(zhǔn)差的平方（即方差）可表示為：上式中：可能收益率發(fā)生的概率；標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)證券的月或年實(shí)際收益率為（t=1，2，3，n），那么方差的公式也可為：通過求出方差，再求出其算術(shù)平方根，即可求出標(biāo)準(zhǔn)差。3-2投資基金組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)單一基金的收益率和風(fēng)險(xiǎn)可用期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差來表示，而基金組合是由多個(gè)單一基金組成，每個(gè)基金均占一定的比例。因此，基金組合也可看作一個(gè)整體，其收益率和風(fēng)險(xiǎn)也可用期望收益率和方差來表示。3-2-1.基金組合（含兩支）的收益和風(fēng)險(xiǎn)設(shè)某投資者將其資金w分別以比例、投資于基金m、n（）來構(gòu)成一個(gè)基金組合t。到期時(shí)，基金m

14、、n的收益率分別為、，則基金組合t的收益率為：其中當(dāng)投資比例k為負(fù)數(shù)時(shí)，則表示該組合賣空了基金m，并將投資者所有資金w買入基金n。由于，所以。又因?yàn)?、?duì)于投資者而言為未知數(shù)，所以、為隨機(jī)變量，我們可以以期望值和方差對(duì)其分布進(jìn)行簡化描述?；鸾M合t的期望收益率和收益率的方差為：上式中：相關(guān)系數(shù)； 協(xié)方差，記為cov(m,n)。選擇不同的組合比例，可以得到基金m、n的不同組合，從而得到不同的期望收益率和方差。投資者可以因此根據(jù)自己的對(duì)收益率和方差（風(fēng)險(xiǎn)）的偏好，選擇最滿意的組合。3-2-2基金組合（含多支）的收益和風(fēng)險(xiǎn)設(shè)投資者分別將資金w以比例、投資于、支基金。若存在賣空，則比例系數(shù)可為負(fù)數(shù)。與上

15、述兩種投資基金所組成的組合情形一樣，基金組合的收益率等于每支基金的收益率的加權(quán)平均。設(shè)的收益率為，則基金組合t=(、)的收益率為：由此可推導(dǎo)得基金組合t的期望收益率和方差為:上式中：基金組合t的方差；和的相關(guān)系數(shù)。3-3.基金組合（含兩支）的可行域和有效邊界3-3-1基金組合的可行域若用期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差來描述一支基金，則可以建立以收益率為縱坐標(biāo)、標(biāo)準(zhǔn)差為橫坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)均可表示基金。相應(yīng)地，由于基金組合隨組合比例的變化而變化，所以其軌跡為經(jīng)過m和n的組合線，該組合線描述了在該坐標(biāo)系中基金m、n所有可能的組合。由上述公式可得由m、n組成的基金組合t的組合線方程：若給定

16、基金m、n的期望收益率和方差，則組合線的不同形狀由基金m、n的不同關(guān)聯(lián)性決定。其存在的情況如下：若兩者完全正相關(guān)，則=1,方程可變?yōu)?若不允許賣空，則與是線性關(guān)系， 與也是線性關(guān)系，可推出與也是線性關(guān)系。因此得到的基金m、n的組合線為一條連接兩點(diǎn)的直線。圖3-1 =1時(shí)的組合線若兩者完全負(fù)相關(guān)，則=-1 這時(shí)，與是分段線性關(guān)系，如下圖所示：圖3-2 =-1時(shí)的組合線由圖像可得，在此情況下，令為0則可得到一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合，其中, 由于，所以須同時(shí)買入基金m和n，就可得到無風(fēng)險(xiǎn)的收益率： 一般情況下，任意兩支基金之間并不完全相關(guān)，即-1 1，這時(shí)的組合線為一條圓錐曲線。隨著的變化，圖像分別呈現(xiàn)不同的

17、曲線形狀，如下圖所示：圖3-3 不同相關(guān)系數(shù)的組合線3-4基金組合（含多支）的可行域和有效邊界一般地，當(dāng)有多支基金構(gòu)成一個(gè)基金組合時(shí)，其可行域是所有基金通過組合構(gòu)成的一個(gè)區(qū)域，其形狀如下圖所示：圖3-4不允許賣空時(shí)組合的可行域 圖3-5允許賣空時(shí)組合的可行域 相應(yīng)地，可行域的求解公式如下： 因此，可行域的形狀不但由單支基金的和以及每支基金收益率之間的相互關(guān)系決定，還由投資組合中各基金所占的資金比例決定。(2)基金組合的有效邊界在實(shí)際中，投資者都盡可能地追求收益而迴避風(fēng)險(xiǎn)。這種心理現(xiàn)象可由以下原則來描述：（1）若兩種基金組合具有相同的風(fēng)險(xiǎn)和不同的期望收益率，即， 。假設(shè)，則投資者選擇期望收益率高

18、的組合為m。（2）若兩種基金組合具有相同的期望收益率和不同的風(fēng)險(xiǎn)，即， 。假設(shè)，則投資者選擇方差較小的組合為n。以上所述的基金組合選擇原則，我們可稱為投資者的共同偏好原則。根據(jù)共同偏好原則，我們可以將所有被投資者都認(rèn)為差的組合排除，余下部分則可稱為“有效證券組合”。由于有效組合不僅僅為單一基金，所以我們可將可行域的上部分，稱之為“有效邊界”。圖3-6 有效邊界如圖所示，a點(diǎn)是上邊界和下邊界的交匯點(diǎn)。由于這一點(diǎn)所表示的組合方差最?。达L(fēng)險(xiǎn)最?。虼宋覀兛煞Q之為“最小方差組合”。3-5個(gè)人偏好與無差異曲線 無差異曲線是對(duì)一個(gè)特定的投資者而言，根據(jù)他對(duì)期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)的偏好態(tài)度，按照期望收益率對(duì)風(fēng)

19、險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)囊?，得到的一系列滿意程度相同的（無差異）證券組合在均值方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）坐標(biāo)系中所形成的曲線，如圖3-7。一般無差異曲線的特征：1)無差異曲線是一條向右下方傾斜的線，斜率是負(fù)的。 2）由于通常假定效用函數(shù)是連續(xù)的，所以在同一個(gè)坐標(biāo)平面上的任何兩條無差異曲線之間，可以有無數(shù)條無差異曲線。同一條曲線代表相同的效用，不同的曲線代表不同的效用。 3）無差異曲線不能相交。否則無差異曲線的定義會(huì)和它的第二特征發(fā)生矛盾。 4）無差異曲線凸向原點(diǎn)。 這就是說，無差異曲線的斜率的絕對(duì)值是遞減的。圖3-7對(duì)于某投資者，若任意給定一個(gè)基金組合，基于他對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的考慮，可得到幾個(gè)滿意程度相同的（無差異）基金組合，

20、而這些組合恰好在-坐標(biāo)系上形成一條曲線。為了簡化計(jì)算過程，我們把原無差異曲線的橫坐標(biāo)（1/（ir）轉(zhuǎn)化為其倒數(shù)，得到如圖3-8的無差異曲線。圖3-8投資者的無差異曲線因此，我們的無差異曲線具有以下新特點(diǎn)：1）無差異曲線的形狀為由左至右向上彎曲的平滑曲線。因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)越高，基金收益率一般越大；2）對(duì)于同一投資者而言，同一條無差異曲線上的組合給投資者帶來的滿意程度相同（如圖3-8所示，曲線經(jīng)過的組合a、b無差異）；不同無差異曲線上的組合給投資者帶來的滿意程度不同，且無差異曲線所在位置越高，曲線上的基金組合則越理想。（如圖3-8所示，組合c比組合a、b、d更理想）；3）基金組合給投資者帶來的滿意程度隨無

21、差異曲線位置的增高而增大；4）無差異曲線向上彎曲的程度越小，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的能力越強(qiáng)。 四、模型建立與求解4、模型建立與求解4-1實(shí)證設(shè)計(jì)描述4-1-1樣本基金的選取與數(shù)據(jù)處理實(shí)證研究對(duì)象為契約型-開放式-股票型基金。我們選擇了10支運(yùn)行時(shí)間較長，數(shù)據(jù)信息充分，具有可比性的基金，即：銀華銳進(jìn)、富國天豐、東方穩(wěn)健回報(bào) 、嘉實(shí)主題精選、華商盛世成長、華富債a、華富債b、國聯(lián)安增利a、博時(shí)信用債券ab、華商收益增強(qiáng)a 。我們首先收集所選取的10支基金最近一周的數(shù)據(jù)，然后再計(jì)算出這10支基金最近一周的期望收益率與收益率標(biāo)準(zhǔn)差，如表4-1所示：表4-1 10支股票型開放式基金的周收益率計(jì)算基金代碼基金簡

22、稱基金凈值最近一周期望收益率%收益率標(biāo)準(zhǔn)差%150019銀華銳進(jìn)1.16102.931.65161010富國天豐1.08900.650.64400009東方穩(wěn)健回報(bào)1.10800.271.69070010嘉實(shí)主題精選1.37101.181.52630002華商盛世成長1.88721.321.57410004華富債a1.16520.321.48410005華富債b1.16430.321.67253020國聯(lián)安增利a1.14101.970.23050011博時(shí)信用債券ab1.07700.191.68630003華商收益增強(qiáng)a1.14001.061.544-1-2基準(zhǔn)組合的選取實(shí)證研究方法采用的是單

23、因素模型，需要確立一個(gè)業(yè)績研究的基準(zhǔn)市場組合。從投資者的利益出發(fā)，選擇單一市場指數(shù)更有利于其投資基金的收益與市場收益的比較。因此，實(shí)證研究的基準(zhǔn)組合采用上證綜合指數(shù)作為基準(zhǔn)。其中，上證指數(shù)基準(zhǔn)組合的周收益率的計(jì)算公式如下：基準(zhǔn)組合周收益率=（周末收盤指數(shù)- 周初收盤指數(shù)）/ 周初收盤指數(shù)4-1-3無風(fēng)險(xiǎn)利率的計(jì)算由于我國銀行儲(chǔ)蓄占居民金融資產(chǎn)的比例較大，因此采用銀行定期存款年利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率。2010年我國銀行定期存款年利率為2.25%，因?yàn)?010年央行規(guī)定取消征收利息稅，所以無風(fēng)險(xiǎn)利率即為2010年的銀行定期存款年利率，并按照一年52周折算為周利率。4-2模型的建立與求解4-2-1模型一

24、：基金組合分析模型（定性分析）4-2-1-1建立有效邊界和可行域根據(jù)模型準(zhǔn)備中所推導(dǎo)的基金組合的可行域和有效邊界中關(guān)于組合線的公式如下:其中：基金組合投資的期望收益率；:單支基金的收益率；:第i支基金的所占比例；:第i支的收益率風(fēng)險(xiǎn)；：第i支基金和第j支基金的相關(guān)系數(shù)。根據(jù)以上公式，我們代入數(shù)據(jù)，得出上述10支基金所形成的可行域的圖形（圖中的拐點(diǎn)處的數(shù)字為基金的代碼）。如下圖：圖4-1 不允許賣空時(shí)的10支基金所形成的可行域圖4-2 允許賣空時(shí)的可行域由模型準(zhǔn)備所推導(dǎo)的有效邊界圖像如下圖所示:圖4-3 有效邊界4-2-1-2再次討論投資者的偏好問題對(duì)于某一投資者，無差異曲線簇與有效邊界的切點(diǎn)所

25、表示的組合是其最滿意的有效組合。由圖4-4可得，根據(jù)無差異曲線特點(diǎn)可知，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)能力與投資者相比較低，因此前者的切點(diǎn)（最滿意點(diǎn)）比后者的更低一些，即圖4-4中的最優(yōu)解1，最優(yōu)解2。圖4-4 投資者不同保守程度的最滿意點(diǎn)4-2-2模型二:雙目標(biāo)規(guī)劃模型（定量分析）4-2-2-1模型建立假設(shè)投資者的投資總金額為定值，依據(jù)以上評(píng)價(jià)，可確定對(duì)某一支基金進(jìn)行投資，使得其收益最大、風(fēng)險(xiǎn)最小。因此，該問題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)雙目標(biāo)規(guī)劃問題，其中該問題的決策變量就是各支基金投資額占總投資額的比例，即投資于基金的比例。對(duì)于規(guī)劃問題，核心是要找出目標(biāo)函數(shù)及其約束條件。4-2-2-1-1目標(biāo)函數(shù)的建立投資組合的總收益

26、i等于各支基金的投資收益總和與投資總資金的差值，即：其中: w: 投資者擁有的全部資金：基金的平均收益率：投資于基金的比例投資組合的總風(fēng)險(xiǎn)r等于各只基金的風(fēng)險(xiǎn)損失的總和，即：其中：購買基金的風(fēng)險(xiǎn)損失率4-2-2-1-2約束條件的求解該問題的約束條件就是要求所有基金的投資額占總投資比例之和等于1， 且，即：通過上面對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的求解，可建立如下的雙目標(biāo)規(guī)劃模型：4-2-2-1-3目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化運(yùn)用偏好系數(shù)加權(quán)法, 將模型中的兩個(gè)目標(biāo)分別賦予比例和1-，來分別表示投資者賦予總收益和總體投資風(fēng)險(xiǎn)的比例數(shù)，則以上雙目標(biāo)規(guī)劃就變?yōu)槿缦碌膯文繕?biāo)規(guī)劃：比例數(shù)和1-分別體現(xiàn)投資者對(duì)總收益和總體投資風(fēng)險(xiǎn)

27、兩者的重視程度, 的取值范圍為0,1, 數(shù)值越小, 則表示投資者越重視總體風(fēng)險(xiǎn)的大小。當(dāng)=0時(shí)，則表示投資者絕對(duì)重視風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)=1時(shí)，則表示投資者無視投資風(fēng)險(xiǎn), 只追求總投資收益。因此，簡化以上模型得： 由化簡后的模型可得：該模型是一個(gè)含有參數(shù)的線性規(guī)劃模型，因此要對(duì)該規(guī)劃模型進(jìn)行參數(shù)分析，即分析投資者在不同偏好下的凈收益下，得出最優(yōu)值關(guān)于偏好系數(shù)的函數(shù)關(guān)系。4-2-2-2模型的求解運(yùn)用參數(shù)規(guī)劃技術(shù)，求出最佳凈收益io /w與偏好系數(shù)的關(guān)系如下所示： 然后依據(jù)以上偏好系數(shù)的范圍，求出幾個(gè)有效基金組合，如表5-2所示：表5-2不同范圍的10基金的有效基金組合投 資 比 例 代碼 / 簡稱00.636290.636351150019銀華銳進(jìn)00.22720.03850