平面向量教案

1、平面向量教案第一節(jié)：向量的概念及運(yùn)算復(fù)習(xí)目標(biāo)1 理解向量的意義和向量模的概念；2 掌握相等的向量、零向量、平行向量、單位向量等概念；3 掌握向量的加減運(yùn)算及實(shí)數(shù)與向量的乘積的意義及運(yùn)算法則。知識(shí)梳理：1 向量的有關(guān)概念：向量與標(biāo)量：既有方向，又有大小的量叫做向量向量的表示：以點(diǎn)a為起點(diǎn)，點(diǎn)b為終點(diǎn)的向量記做 ，也可以記做向量的模： 向量的大小，即向量的長(zhǎng)度，叫做向量的模，記作（）相等向量：模（長(zhǎng)度）相等且方向相同的向量叫做相等向量負(fù)向量：與長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做的負(fù)向量，記做零向量：始點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量稱(chēng)為零向量，記做，零向量的方向不確定；零向量的負(fù)向量仍是零的向量。單位向量：模為1的向

2、量叫做單位向量，對(duì)于任何一個(gè)給定的非零向量，與同方向的單位向量記做，則2 向量的加減法：平行四邊形法則：把以，為鄰邊地平行四邊形oacb的對(duì)角線叫做和 兩個(gè)向量的和，記做，三角形法則：，（減數(shù)的終點(diǎn)指向被減數(shù)的終點(diǎn)）運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律向量和與差的模的不等式：3實(shí)數(shù)與向量的乘積：對(duì)任意，表示一個(gè)向量，叫做實(shí)數(shù)k與向量的積，且 當(dāng)k0, 與的方向相同，當(dāng)k0則p在線段上;(3) -1則p在線段的延長(zhǎng)線上;(4) -10則p在線段的延長(zhǎng)線上例題選析：1平面內(nèi)給定三個(gè)向量，回答下列問(wèn)題：（1）求滿足的實(shí)數(shù)m,n； （5/9，8/9 ）（2）若，求實(shí)數(shù)k； （-16/13 ）（3）若滿足，且，求 （

3、3，-1）（5，3）2. 在中，已知，g為的重心，用向量表示向量3.已知p1,p2,p三點(diǎn)在同一直線上,p1(-2,3)、p2（0，1）若=2，求點(diǎn)p的坐標(biāo)（答案：（-1，2） ）4設(shè)不共線，點(diǎn)p在ab上，求證：。變一：設(shè)不共線，求證：a、b、p三點(diǎn)共線。說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，此時(shí)p為ab的中點(diǎn)，這是向量的中點(diǎn)公式。變二：設(shè)是不共線的向量,已知向量,若a,b,d三點(diǎn)共線,求k的值分析:使解：, 使得5若是兩個(gè)不共線的非零向量（。（1） 若起點(diǎn)相同，為何值時(shí)，三向量的終點(diǎn)在一直線上？（2） 若且?jiàn)A角為，那么為何值時(shí)，的值最??？備用題：1已知與反向且，求c點(diǎn)的坐標(biāo).2已知：向量,的起點(diǎn)重合. 求證：這三個(gè)向

4、量的終點(diǎn)共線。第3-4節(jié)：向量的數(shù)量積極其應(yīng)用復(fù)習(xí)目標(biāo)1 掌握向量的數(shù)量積的概念及運(yùn)算；2 熟練掌握向量的夾角公式；3 掌握兩個(gè)非零向量垂直和平行的充要條件。知識(shí)梳理1 向量的數(shù)量積的定義：2 幾何意義：3 向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0但是乘法公式成立： ；4 數(shù)量積的坐標(biāo)表示： 若=(x1,y1),=(x2,y2)則=x1x2+y1y2 若=(x1,y1),=(x2,y2)則（呢）若=(x1,y1),=(x2,y2)則5 主要應(yīng)用：（1）|2= , (2)cos= (3) ,

5、 (4) 例題選析例1：判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（5）對(duì)任意向量都成立；（6）對(duì)任意向量，有。2已知向量、滿足=7，=3，求.3已知=(3,4)，與平行，且=10，點(diǎn)a坐標(biāo)為(-1,3)，求b點(diǎn)坐標(biāo).4與夾角為，=5，=(x,-1)，且，求實(shí)數(shù)x.5已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。解：由題意，且與的夾角為，所以，同理可得 而，設(shè)為與的夾角，則 點(diǎn)評(píng)：向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑。6.一條河的兩岸平行，河的寬度為，一艘船從處出發(fā)航行到河的正對(duì)岸處，船的航行速度為，水流速度為. (1)試求的夾角(精確到),及船垂直到

6、達(dá)對(duì)岸所用的時(shí)間(精確到); (2)要使船到達(dá)對(duì)岸所用時(shí)間最少, 的夾角應(yīng)為多少?解(1)依題意,要使船到達(dá)對(duì)岸,就要使的合速度的方向正好垂直于對(duì)岸,所以,的夾角滿足,故的夾角；船垂直到達(dá)對(duì)岸所用的時(shí)間.（2）設(shè)的夾角為（如圖），在豎直方向上的分速度的和為，而船到達(dá)對(duì)岸時(shí)，在豎直方向上行駛的路程為，從而所ab用的時(shí)間為，顯然，當(dāng)時(shí)，最小，即船頭始終向著對(duì)岸時(shí)，所用的時(shí)間最少，為.思維點(diǎn)拔 理解物理意義，用向量的知識(shí)解決.備用題：1. 已知在abc中，則o為abc的（ d ）a內(nèi)心b外心c重心d垂心分析：；同理：。故選（d）2.已知向量和的夾角為120,且|=2,|=5,求(2-)3平面內(nèi)有向量

7、點(diǎn)x為直線op上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)x滿足（1）的條件和結(jié)論時(shí)，求的值。4已知向量滿足，求證：是正三角形。5. 在abc中，若，則等于 附：平面向量的應(yīng)用:向量是新課程新增內(nèi)容，具體代數(shù)與幾何形式的雙重身份，它有著極其豐富的實(shí)際背景，用向量證明幾何中有關(guān)平行、共線和垂直的命題，用向量計(jì)算角度和距離，用向量表示點(diǎn)的軌跡，以及用向量處理三角恒等變形，證明不等式，求解函數(shù)的最值，較之傳統(tǒng)方法更為簡(jiǎn)捷。作為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)新的知識(shí)“交匯點(diǎn)”，向量與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、不等式的綜合題成為各類(lèi)考試中考查的一個(gè)新熱點(diǎn)。例1（2005年上海市高考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象與軸

8、分別相交于點(diǎn)a、b，（分別是與軸正半軸同方向的單位向量），函數(shù)。（1） 求的值；（2）當(dāng)滿足時(shí)，求函數(shù)的最小值。分析：向量的方向向量實(shí)際上它是繼直線的斜率、傾斜角以后的第三個(gè)表示直線方向的等重要概念。要學(xué)會(huì)并善于運(yùn)用它來(lái)求解.解：（1）由已知得 于是 （2）由 由于，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立，時(shí)的最小值是3.2、平面向量與不等式的交匯例2（2005年浙江省高考試題）已知向量，|1，對(duì)任意tr，恒有|t|，則（ ） (a) (b) () (c) () (d) ()()解：對(duì)任意tr，恒有|t|，故兩邊平方得：又上式對(duì)任意tr，恒成立，即有：故當(dāng)時(shí)，上式成立，本題應(yīng)選c。例3(2005年江西省高考試題

9、)在oab中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)oab的面積達(dá)最大值時(shí)，（ d ） a b c d 由三角形面積公解式：又 應(yīng)選（d）.3、向量與三角的交匯向量與三角的交匯就是當(dāng)今高考命題的一個(gè)熱點(diǎn). 它常常包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的交匯、向量與解三角形的交匯、向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的交匯等幾個(gè)方面.例4（2005年山東省高考試題）已知向量和，且求的值.解: =由已知,得又 評(píng)注：本題是以向量的模為背景，結(jié)合三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值等有關(guān)知識(shí)進(jìn)行考查。例5（2005年天津市高考試題）在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)a (0，1)和點(diǎn)b (3，4)，若點(diǎn)c在aob的平分線上且| | = 2，則 _。解：設(shè)，則

10、的終邊在第2象限，即且，又由 ，得所以：，得：.4、向量與解析幾何的交匯以解幾為知識(shí)為載體，以向量為工具，以考查圓錐曲線性質(zhì)和向量有關(guān)公式、性質(zhì)及應(yīng)用為目標(biāo)的平面向量與解析幾何的交匯試題是近幾年高考試題的一個(gè)熱點(diǎn).例6（2005年全國(guó)卷文科試題）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)f的直線交橢圓于a、b兩點(diǎn)，與共線。（）求離心率（）設(shè)m為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。（i）略解：離心率e=.（ii）證明：（1）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得 在橢圓上，即由（1）知 又，代入得 故為定值，定值為1.例7（2005年福建省高考試題）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線c的右焦點(diǎn)為（2

11、，0），右頂點(diǎn)為 （1）求雙曲線c的方程； （2）若直線與雙曲線c恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)a和b，且（其中o為原點(diǎn)）.求k的取值范圍.分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，可以設(shè)法得到關(guān)于的不等式，通過(guò)解不等式求出的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔⒈硎緸榱硪粋€(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出的范圍。解：（）略解：雙曲線c的方程為（）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即 設(shè)，則 而 解得 由、得 故k的取值范圍為本題通過(guò)平面向量的數(shù)量積與解析幾何的交匯知識(shí)點(diǎn)，形成一求解參數(shù)k的取值范圍的綜合題，它既考查了平面向量的概念和運(yùn)算，也考查了解析幾何中的有關(guān)直線與圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題。.5、平面向量與平面幾何的交匯平面向量與平面幾何的交匯試題，既考查平面向