高中物理競賽(運動學(xué))

1、.質(zhì)點的直線運動運動1.勻速直線運動2.勻變速直線運動3.變速運動：運動學(xué)微元法問題：如圖所示，以恒定的速率 vi拉繩子時，物體沿水平面運動的速率v2是多少？設(shè)在t ( t 0)的時間內(nèi)物體由b點運動到c點，繩子與水平面成jaq j 門的夾角由增大到+,繩子拉過的長度為si,物體運動的位移大小為s2o因t 0,物體可看成勻速運動(必要時可看成勻變速度運動) 位移比等于速率比， v平=vffl= s/ t, si與s2有什么關(guān)系? 如果取 acd為等腰三角形，則 bd= si,但si s2cos . 如果取 acd為直角三角形，則 si= s2cos ，但d b si。普通量和小量；等價、同價和

2、高價,物體的速度與位移大小成正比,有限量(普通量)和無限量x 0的區(qū)別.設(shè)有二個小量 xi和x2 ,當(dāng)心1x2和x2為同價無窮小，當(dāng)上x2i , xi和x2為等價無窮小，可互相代替，當(dāng)心1x2(或0) , x2比xi為更高價無窮小。xi普通量，xi在研究一個普通量時，可以忽略小量；在研究一個小量時，可以忽略比它階數(shù)高的小量。如當(dāng) 0時，ab弧與ab弦為等價，(圓周角)和(弦切角)為同價。如圖 oab為等腰三角形，oad為直角三角形，oa=ob=od + bd=od。adadabadsin,tan,即sin tan(等價)。oaodoaoa22i cos 2sin ，比更局價的無否小重。22回到

3、問題 ：因為dd為高價無窮小量，繩子拉過的長度 si=bd=bd,因直角三角形比較方便，常取直角三角形。(v2=vi/cos )例：如圖所示，物體以vi的速率向左作勻速運動，桿繞 o點轉(zhuǎn)動，求(i)桿與物體接觸點 p的速率？(v2= vicos )(2)桿轉(zhuǎn)動的角速度？( =visin /op)i.細(xì)桿m繞o軸以角速度為 勻速轉(zhuǎn)動，并帶動套在桿和固定的 ab鋼絲上 的小環(huán)c滑動,o軸與ab的距離為d,如圖所示.試求小環(huán)與a點距離為x2 d2時，小環(huán)沿鋼絲滑動的速度.（答案：- ）dt很小，所以 也很小，于解:設(shè)t時刻小環(huán)在c位置，經(jīng)t時間（t足夠小），小環(huán)移動 x,由于2.是小環(huán)的速度v= x

4、/ t,根據(jù)圖示關(guān)系，cd=ococx2 d2t cos t coscoscox2(d / “ x2d2d2x cos2x，ocd2 d用微元法求：自由落體運動，在 ti到t2時間內(nèi)的位移。（答案:解：把ti到t2的時間分成n等分，每段為t,則.x2 d2 ,從上面關(guān)系得2 i 2、萬gt2wgti)生上，且看成勻速。 n貝uvi= gt i + g t, si=( gt i + g v2=gt i+2 g t, s2=( gti+2 g vn = gt i+ ng t, sn=( gt i+ ngt) t,t) t,t)s= si+ s2+ sn= ngti tt,t2 (n i)n2gtl

5、。2ti)2g(t2 ti)22i +2 i +2 gt2gti .22t,若vi = gti, si=gti t,v2=gt i+ g t, s2=( gti + g t)3.vn = gt i+ (n-i ) g t,s= si+ s2+ sn=也可用圖象法求解。螞蟻離開巢沿直線爬行sn= gtl +ngti t g(n-1 ) gt2 (n i)n2t t,gtl (t2ti)g(t2 ti)22i +2 i .2-gt2 - gti22，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比，當(dāng)螞蟻爬到距巢中心li=im的a點處時，速度是vi=2cm/s.試問螞蟻從a點爬到距巢中心l2=2m的b點所需的時間

6、為多少？（答案：75s）解法i：將蟻巢中心定為坐標(biāo)原點o,oa連線即為x軸正方向，則坐標(biāo)x處螞蟻的速度可表示為vx勻速運動.5.將ab連線分成n等份，每等份x（l2 li）.當(dāng)n很大時，每小段的運動可看成是每小段對應(yīng)的速度為 vili% ltli5v2li xvnli%li (n i)viv2xvn(lix) (lix)(li 3 x)xnx(n i),；li li vi2x n(lilivi2l2 )(l2 li)(li2li vil2 )-2 l2 2livi75 s解法2:各種圖象的意義？因螞蟻在任一位置時的速度v vili -, x_ i i即- x , i/v-x的圖象如圖所不。v

7、m li1 l2(一-)(l2 li)2 .2螞蟻運動的時間t為如圖梯形的面積，t= v1 v1l1 l2 l1 =75s.2 2v1 l1二.運動的合成與分解1.相對運動4 .某汽艇以恒定的速率沿著河逆流航行，在某一地點丟失一個救生圈，經(jīng)過t時間才發(fā)現(xiàn)丟失，汽艇立即調(diào)頭航行，并在丟失點下游s距離處追上救生圈，則水流的速度大小 為.(答案：s/2 t)以地為參照物，水速為v1,船速為v2,船調(diào)頭后追上救生圈的時間為t ,對船(v2+ v1)t =( v2-v1)+ v1(t + t)t ,得 t =t,所以 v1 = s/2 t.或以水為參照物，則救生圈靜止，t =t,所以v1 = s/2 t

8、5 .在空間某點，向三維空間的各個方向以大小相同的速度vo射出很多的小球，問(1)這些小球在空間下落時會不會相碰?(2)經(jīng)t時間這些小球中離得最遠的二個小球間的距離是多少？(答案：不會相碰；2vot)解(1)選取在小球射出的同時開始點作自由下落作參照系，則小球都以v0的速度作勻速直線運動，小球始終在以拋出點為圓心的球面上，所以小球不會相碰.(2)這些小球中離得最遠的二個小球間的距離等于球面的直徑，即d=2 vot.6 . 一只氣球以10m/s的速度勻速上升，某時刻在氣球正下方距氣球為10m的地方有一個石子以vo的初速度豎直上拋(取g=10m/s 2),石子要擊中氣球，則vo應(yīng)滿足什么條件？(答

9、案：vo 10(1 v2)m/s)解法1:設(shè)氣球的速度為v,開始相距為h,當(dāng)石子與氣球的速度相等時追上，石子要擊中氣球，否則石子不能擊中氣球，速度相等時所用的時間t=( vo-v)/a-(1), ：一,1 c則好擊中時的位移關(guān)系為 vot- 2gt 22= vt+ h-(2)解得石子的初速度至少vov 2gh10(12)m/s.解法2:以氣球為參照物，則初速度vi = vo-v,未速度v2=0,所以(vo-v)2=2 gh,解得石子的初速度至少vovj2gh10 (12) m/s.2.物體系的相關(guān)速度： 桿、繩上各點在同一時刻具有相同的沿桿、繩的分速度(即兩質(zhì)點間的距離的改變只取決于沿它們連線

10、方向分運動，而它們相對方們位改變只取決于垂直連線方向的分運動)。求下列各圖中vi和v2的關(guān)系.答案依次是：a:vi=v2cos ;b:vi=v2cos ;c:vicos = v2cos ;d:v2=vtan7.如圖所示，ab桿的a端以勻速v沿水平地面向右運動，在運動時桿恒與一半圓周相切，半圓周的半徑為r,當(dāng)桿與水平線的交角為時，求此時：(1)桿上與半圓周相切點 c的速度大小。(2)桿轉(zhuǎn)動的角速度。(3)桿上ac中點的速度大小。(4)桿與半圓周相切的切點的速度大小。答案：(1) vcos ; (2) tan sin r22 sin(3) ; vios ; (4) vtan sin ,4解：把a的

11、速度分解成沿桿的速度vi vcos ,和垂直桿方向速度 v2 vsin 。(1)沿同一桿的速度相等，所以桿上與半圓周相切點c的速度大小vc vi vcos o(2) a點對c點的轉(zhuǎn)動速度為v2 vsin所以桿轉(zhuǎn)動的角速度為出一也一-tanac r cot rsin(3 ) v ac,v2.22(y)v、cos2 sin4(4)在相同時間內(nèi)，桿轉(zhuǎn)過的角度與切點轉(zhuǎn)過的角度相同，所以切點轉(zhuǎn)動的角速度也v tan sin , r桿與半圓周相切的切點的速度大小vcr vtan sin8.如圖所示，桿oa長為r,可繞過o點的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，其端 點a系著一跨過定滑輪 b、c的不可伸長的輕繩，繩的另

12、一端系一物塊m ,滑輪的半徑可忽略，b在o的正上方，ob之間的距離為 h。某一時刻，當(dāng)繩的ba段與ob之間的夾角為物塊m的速率vm。解：var,va沿繩ba的分量vm va cos由正弦定理知sin oabhsinr時，桿的角速度為,求此時由圖看出 oab 2由以上各式得vmh sin3.運動的合成與分解：在船渡中，v船地 v船水 v水地。推廣v甲丙v甲乙 v乙丙9.當(dāng)騎自行車的人向正東方向以5m/s的速度行駛時，感覺風(fēng)從正北方向吹來，當(dāng)騎自行車的人的速度增加到10m/s時，感覺風(fēng)從正東北方向吹來.求風(fēng)對地的速度及的方向.（答案：5 22 m/s ,方向正東南）v風(fēng)對地=v風(fēng)對人+ v人對地，

13、得v風(fēng)對地=5 j2 m/s ,方向正東南10.如圖所示，質(zhì)點pi以vi的速度由a向b作勻速直線運動，同時質(zhì)點p2以v2的速度由b向c作勻速直線運動，ab=l, 何時刻t,p1、p2的間距d最短，為多少?abc=，且為銳角，試確定（答案：tl (v1 v2 cos )lv2 sin22v1v22v1v2 cos,v： v2 2v1v2 cos解:以a為參照物,vba=vb地+ v地a。b相對a的運動方向和速度的大小如圖所示.則b相對a的速度為v vv12 v 2v1v2 cos有正弦定理sin=-sin, cos 1 sin2vv1 v2 cos當(dāng)b運動到d時（ad垂直ab）p1、p2的間距d

14、最短，d lsinlv2sin2v2 2 v1v2 cos,li cos所需的時間t3vv1 v2 cosl(v) v2 cos )2v12v22v1v2 cos11. 一半徑為r的半圓柱體沿水平方向向右以速率為圓柱體上擱置一根豎直桿，桿與半圓柱體接觸為點p,此桿只能沿豎直方向運動 ，如圖所示 求當(dāng)op與柱心的連線與豎直方向的夾角為時，豎直桿運動的速度和加速度.2（答案：vtan ; a v-）rcos解：（1）取半圓柱體作為參照系.在此參照系中 切線方向，v桿地的方向豎直向上，因為v桿地v桿柱a明起地v做勻速運動.在半p點做圓周運動，v桿柱的方向沿著圓上p點的矢量圖如圖a所示.得v桿地=丫1

15、2門。也可用微元法求.（2）有 a桿地a桿柱 a柱地,因a柱地=0,所1以a桿地二a桿柱，而a桿地的方向豎直向下，又a桿柱可分解成切線方向2v桿柱 ant問題：若2v桿柱 anr22，所以彳導(dǎo)至u a桿地rcos圓柱體的加速度為anat和法線方向an,矢量圖如圖b所示,2v3.cos r cos,貝u a桿地=? a桿地 a桿柱 a柱地 an at a柱地，2v2, at an tanrcosa桿地的方向仍在豎直方向上。三.拋體運動1.豎直上拋運動：v= vo-gt,s= vot-gt2/2.如初速vo=20m/s 豎直向上拋出，取g=10m/s 2.求經(jīng)t=3s物體的位移.可用分段解，也可用

16、s=vot-gt2/2直接求解（15m,方向向下）12.在地面上的同一點分別以v1和v2的初速度先后豎直向上拋出兩個可視作質(zhì)點的小球，第二個小球拋出后經(jīng)過t時間與第一個小球相遇，改變兩球拋出的時間間隔，便可改變t的值，已知-22v1v2,則t的最大值為.（忽略空氣阻力）（答案：v2 ； v1 ）1 o1解法 1: h1v1（tt） 2 g（t t）2, h2 v2 t -g t2 ,相碰條件 hi h2得 gt2 2（g t v1）t 2（v2 v1） t 0要使方程有解：2（g t v1）2 4 g 2（v2 v1）t 0-22-22v2, v2 v1v2 , v2v1解得 t ，取t gg

17、解法2：因v1v2,所以第二小球一定在上升時與第一小球相碰，在使t最大,則高度h應(yīng)為最大：人 v2 t 2g t2,解得 t v2 v2 v1 ,取 t v2、v2 v1 2g2gg2.平拋運動水平方向勻速運動：vx=v 0 ,x= vot豎直方向自由落體運動：vy= gt ,y= gt213.如圖所示，從高h處的同一點先后平拋兩球 1和2.球1直接經(jīng)豎直擋板 的頂端落到水平地面 b點，球2與地面的a點碰撞后經(jīng)豎直擋板的頂 端,第二次落到水平地面 b點設(shè)球2與地面的碰撞是彈性碰撞，求豎直3擋板的圖度h.（答案：h 3h）4解:因球2與地面的碰撞是彈性碰撞，所以彈起后的運動與原來的運動對稱，它的

18、運動時間為t2=3t1,它們的水平初速 v1=3v2,所以當(dāng)水平位移相等時，它們的運動時間為3倍關(guān)系，兩球飛抵擋板的時間是t2 =3 t1，設(shè)球2第一次著地到飛躍擋板頂端的時間為t,因小球的上升和下落的運動是對稱的，所以它們的時間關(guān)系為2h / g t 3y2(h h)/gt 3/麗h)/ g q；2h /g對球2下落得產(chǎn)” t,解得h ：h.3.斜拋運動（拋射角為水平方向： vx=v0cos,初速為vo）豎直方向： vy=vosin,x= vocos t,12,y= v0sin t- - gt2,物體運動到最高點的時間:vosinti g射高：y2 _._2 vo sin2g射程： x v0

19、 cos2t2 _曳四二，當(dāng)=45 g時x最大。14. 一物體以v0的初速從a點開始以恒定的加速度作曲線運動，經(jīng)1s運動到b點，再經(jīng)1s運動到c點。已知ab=3m , bc= 73m , ab bc,求初速度大小vo和加速度大小a。(答案：vo v2t m/s; a 23 m/s2,)解：物體與加速度垂直方向是勻速運動，在相等時間內(nèi)的位 移相等。作直角三角形，ac的中點p與b的連線應(yīng)是加速度反方向, 如圖所示。apcos300在a到b的過程，設(shè)x方向的初速為vx,則vxco 1.5 m/s設(shè)y方向的初速為vy,加速度大小為a, ac 23 m1 o在a到b的過程 ab sin 600 vyt

20、gt221 o在a到c的過程 ac sin 300 vy 2t g(2t)22解得加速度大小a 273 m/s2,vy i*3 m/s ,所以v0收vj15.如圖所示，一倉庫高25m,寬40m.今在倉庫前l(fā)、高5m的a點處拋 出一石塊過屋頂，問l為多少時所需的初速vo可最小.(答案：14.6m )解:當(dāng)vo最小時，拋物線必經(jīng)過屋頂邊緣的 b、c兩點，物體經(jīng)過16.421 m/s=4 .58m/s 。b點時的速度也必最小，所以把坐標(biāo)的原點移到 b點，建立水平方向為x軸，豎直方向為y軸.因斜 拋物體的射程bc一定，所以當(dāng)vb的方向與水平方向成=45 o角時,vb最小.2 一事vo sin 22由x

21、 ,所以vb g bjg水平方向 x= vbcos t , 豎直方向 y= vbsin t- 2 gt2-.兩式消去t得y=x-x2/4o-(3),將a點的坐標(biāo)(-l,-2o)代入(3)得l=14.6m.如圖所示，一人從離地平面高為h處以速率vo斜向上拋出一個石子求拋射角為多少時，水平射程最遠？最遠射程為多少？(答案：sin 1 ,v。=;xmax.2vo2 2gh2“no 2gh g )解法1 :射程最大時，45 (45 )根據(jù)斜拋運動規(guī)律：x= v ocos t，1，cy=- h = vosin t-gt 22x把上述二式消去得fv2t222(gt2/2 h)2或x2(v0t)2122(2

22、 gt h)v2t2 g41,422t(vo gh)t h當(dāng)t2b2a_22vo 2gh時，x2有極值，即x有極值。把t代入式得xmax2vo . vo 2gh-o再把t代入式，得1v0sin一 。2v0 2gh解法2：用x=v0cos1t,y= v0sin t-gt2,兩式中消去2 洱_x_ 荷2x2vot22(gt /2 h)v2t212,42 21,或 gt (gh vo)t4/u 22、(h x)0,有0求得.x的最大值vo . vo 2gh x=解法3:設(shè)發(fā)射角為，水平方向為x= v0cost,豎直方向為 y=v0sin t-1 gt2,有運動方程消去時間得x tan22gsv0-2

23、2(stan h) cos2gx222vo cos2gs，當(dāng) y=- h時,x= s,2ssin令 =tan -1 h，貝uvo2 =sgs2cos 2h cos22gsssin 2 hcos2s的最大值s=2u2,s h sin(2vo . v2 2gh，當(dāng) sin(2 - )=1, s最大, )hg解法4:把斜拋運動分解成 vo方向的勻速運動和豎直方向的自 由落體運動，其位移矢量圖如圖所示。22122則由圖可得x(vot)(- gt h)。以下解法與解法1相同。解法5:初速vo、末速v和增加的速度gt有如圖的關(guān)系，這個矢量 11三角形的面積s= 2 vxgt = g(vxt),式中vxt就

24、是石子的水平射程，所以當(dāng)s最大時，石子的水平射程也最大，而三角形面積又可表示為s= 2 vovsin .因v0和v= jv2 2gh的大小都是定值，所11以當(dāng)=90 0時,s有取大值,s -vov - gs. 22因此最大射程s=vxt= 72史. g點間的距離。答案：(1)說明：不同的解法，有不同的表達式，根據(jù)三角函數(shù)可證明結(jié)果一樣。17.如圖所示，彈性小球從高為 h處自由下落，落到與水平面成 角的長斜面上，碰撞后以同樣的速率反彈回來。求：(1)每相鄰兩點第一點和第二點、第二點和第三點 第n點和第(n+1 )間的距離。(2)當(dāng)小球與斜面發(fā)生碰撞前瞬間，斜面以 v的速度豎直向上作勻速直線運動，

25、求第一點和第4sin2、xn n 1 n 8hsin , x12 (. 2gh v)g解：(1)取沿斜面向下為x軸，垂直斜面方向為y軸。2gh ,方向與y軸對稱,貝uvx1=v0sin ,ax= gsin ,vy1=v0cos,ay=-gcos ,t12v0 cos2v0g cosg所以第一點與第二點間的距離x12v0 sin11-t1- g sin2第二次碰撞時刻的速度vx2= v0sin+ gsint1=3 v0sinti2vy2=v0cos -gcos tl=- v0cos小球與斜面第一次碰撞前后的速度大小v024v0 sin8h sin 。碰后，vy大不變，每相鄰兩次碰撞時間間隔不變,

26、2v0g所以第二點與第三點間的距離x233v0 sin t1-g sin2ti28hsin同理，第n點與第n+1點間的距離xn n i n 8hsin 。(2)因 x1224vo sin,當(dāng)斜面向上作勻速運動時，以斜面為參照物,小于與斜面碰撞時的速度v = v0+ v,所以x124sin ,、24 sin(v0 v)( 2ghgg 2v)。四.圓周運動1.質(zhì)點的勻速圓周運動(1)線速度度v 3,(2)角速度(4)線速度和角速度的關(guān)系v,(3)角加速度 r,(5)角速度與時間的關(guān)系t,(6)角度與時間和關(guān)系0t2,(7)向心加速度(改變速度萬向)an2rv,(8)切向加速度(改變速度大小) at

27、 質(zhì)點的加速度(法向和切向的合成vtl r t)a an at .18.2 vr一質(zhì)點以半徑為r,線速度為v作勻速圓周運動，求證質(zhì)點的向心加速度vs解:根據(jù)相似三角形，得,vr兩邊同除t,得a ,t r t當(dāng)t 0時，0, v的方向與va方向垂直，即加速度的方向指向19.圓心，-s就是線速度，所以得到向心加速度大小 tan2問題：an對非勻速圓周運動適用嗎？r賽車在公路的平直段上以盡可能大的加速度行駛10.5m/s,那么該賽車在半徑為 30m的環(huán)形公路段中 公路的半徑為多少時，賽車的速度就不可能增大到超過,在0.1s時間內(nèi)速度由 10.0m/s加大到,達到同樣的結(jié)果需要多少時間？當(dāng)環(huán)行10m/

28、s?設(shè)公路的平面是水平的am=( v2-vi )/ t1=5m/s 2(答案：0.14s;20m )解:合力產(chǎn)生的最大加速度20.21.作圓周運動時at半徑最小時：atv一 , an t0，所以am2v1anr，則 at jam (2=20m. r)2,v0.14s, at如圖所示，半徑為的圓輪在半徑為r的固定圓柱上滾動，已知半徑為的圓輪的輪心的速率恒為v,求當(dāng)圓輪在固定圓柱的最高點的如圖時刻 (1)圓輪上p點的加速度.(2)圓輪與圓柱接觸點的加速度.答案：(1)rv2rv2;ap r(r r) (r r)解:(1) p點相對o轉(zhuǎn)動，有ap對地ap又to a。對地，p點相對地的速度多大？由vp

29、地 vpo v。地.無相對滑動時，vp地=0, ap地0, vpo大小等于 22vv十而ap又to= ，方向向上；ao對地=，方向向下.rr rrv2,所以p點的速度度 apx寸地 = ap又to-ao對地=方向向上.r(r r)(2)接觸點p運動的線速度v =一r，接觸點的加速度apr r如圖所示，利用定滑輪繩索拉物體，已知拉繩索的速率不變。求如圖時刻：物體離定滑輪的水平距離為滑輪的豎直距離為h時物體的加速度。h2 2(答案：a v2)s解:設(shè)物體的速度為v ,繩與水平夾角為v恒定s、物體離定2rv2sh則cos , ,tan 一 ,物體的速度 v = v/cos , s2 h2s此時刻物體

30、可看成相對繞滑輪（圓心）半徑為物體的加速度沿水平方向。因圓心作勻速運動,動的加速度，物體的加速度可分解成垂直繩子 速度的方向水平。2 一 2s h 、速度丫切=丫12門 的轉(zhuǎn)動,物體對地的加速度等于物體對圓心作圓周運at切向加速度和沿繩子an法向加速度，其合加法向加速度：an2vr2所以物體的加速度:注意：若拉繩子的加速為v2 tan2h2 s2_2,2anv tancos.22cos - h s cosa，則物體的加速度多大?h2 2fv s物體沿繩子方向相對地的加速度2地=2+ an ,2 r2所以物體的加速度：a合an-上sa cossh2-a a o3sa合不是a和a的合成，為什么？（

31、a不影響an,但要影響at,a合的方向仍水平方向）。2.剛體的轉(zhuǎn)動、瞬時軸剛體上各點相對某一點的角速度都相等。（2）瞬時軸是指某時刻的速度為零，確定方法：任意兩點的速度方向垂直的直線的交點，它與某點的距離 r=v/（3）瞬時軸的速度為零，加速度不為零。如圖所示，小球在地上無滑動的滾動，求a、用速度的合成（或用 a點為瞬時軸）求解:b、c的速度大小加速度的大小?va=0; vb=行v ;vc=2 v。o點作勻速運動，對地的加速度等于對o點的加速度，都為aa22. 一輛汽車沿水平公路以速度 v無滑動地運動，如果車輪的半徑為 從車輪邊緣拋出的水滴上升的最大高度（離地）。2(或用rr,求a點軸 a軸地

32、）222(答案：當(dāng)匕 r , ym -g g2v2g2r ;當(dāng) j r , ym=2 r)解:設(shè)水滴拋出時速度方向與水平面成g角,根據(jù)速度的合成（或瞬時軸），水滴的速度v = 2 rcos =2 vcos其高度:2(2v cos sin )2-2rcos22g2v21 2 cos 221 2 cos 22r(1 2 cos 2 ) _當(dāng) cos2ym2r2g2v 2 一cos 2 r cos 2 r2g22v2 a r.因cos2 1,所以當(dāng)22當(dāng)匚r ,即r4g2v3.曲線運動的曲離半徑：g2v2g2 vr22即于、r時，ym22r g v r 2gr時,ym=2 r (是 ymr2g2v2

33、2v22v2gr的最小值）如當(dāng)圓柱體在水平地面上滾動時 ：b點運動的曲離半徑&r ,因vb=瓜,an叵2，所以曲離半徑2r23.求拋物線y ax2曲率半徑與x關(guān)系。解：因平拋運動的軌跡為拋物線,度為v0 ,則平拋運動的水平位移為拋運動的軌跡為y gyx2。比較2vo2vb2、,2ran（答案:如圖3所示。2 2.3/2(1 4a x )2a設(shè)平拋運動的初速一一一 1xv0t,豎直局度為y 2 gt2,平或g 2avo3時平拋運動的軌跡與拋物線g-2- x2 和 y ax2 ,當(dāng) a 2vo2 ,y ax的軌跡相同。g12， 2vo根據(jù)機械能守恒定律，物體在任一點（把y ax2和g 2avo3代

34、入上式得v v0 y1p點）時的速度大小:vo2 2gy。在p點物體的法向加速度：an gcos所以拋物線y ax2曲率半徑與x關(guān)系:/ 2 24a xvog 一v2 van2拋物線y ax頂點（x=0 ）的曲率半徑:2av03v3v2av。31(1/ 24a x2a2)3/2也可直接求頂點的曲率半徑:2 v0go2a1o2a24.有一只狐貍以不變的速度 vi沿直線ab逃跑，一獵犬以不變的速 率v2追擊，其運動方向始終對準(zhǔn)狐貍 .某時刻狐貍在f處，獵犬在 處,fd ab,且fd=l（如圖所示）求此時獵犬的加速度大小.2（答案：a詈平）r l解:獵犬作恒速率的曲線運動，設(shè)在t（很短）時間內(nèi)，則可

35、看成是勻速圓周運動，設(shè)半徑為r, 則獵犬的加速度大小a絲,r在t的時間內(nèi)獵犬通過的路程s2=v2 t,狐貍通過的路程s1=v1 t,2i , 一 v2 t vi t 一v2lv2 viv2有相似三角形七十，得r二一,所以獵犬的加速度大小 a .r lv1r l五.綜合題例25.百貸大樓一、二樓間有一部正在向上運動的自動扶梯，某人以速度v沿梯向上跑，數(shù)得梯子有n1級,到二樓后他又反過來以速度為 級.（答案:v沿梯下跑，數(shù)得梯子有n2級,那么該自動扶梯的梯子實際2n1n2 ）nin226.解:因人相對扶梯的速度不變n 1t1，n2 t2v v梯，所以扶梯的級數(shù)與時間成正比，n = t = s/ v

36、-(1),s/口- 2n1n2-(3).彳#n=v v梯n1 n2在高為h處有一木球a由靜止開始下落，由于空氣阻力的作用，下落的加速度大小為 g/10,同時在a正下方的地面上有一鐵球 b以vo的初速度豎直上拋（空氣對鐵球的阻力可以忽略不計，鐵球的加速度大小為g）要使a和b在空中相撞,v0應(yīng)滿足什么關(guān)系？（答案：v09、1- hg ) . 5解:相碰時位移關(guān)系v0t-1 gt 2+ 1 at2= h-（1） 22v。較大時,a和b在空中一定能相撞，當(dāng)v。較小時，b在下落過程中與 a相碰，v。最小的臨界條件速度相等，即-（vo-gt尸at-（2）,式中ag代入（2）式得t101ovo9g把a 和t

37、魯,代入,得v0j-hg，即要使a和b在空中相撞 . 5voeh-27.車廂底的高度為h處有一小球，當(dāng)車廂以速度度大小為a作勻減速另解：使（1）式有解 0來求解。如圖所示，水平方向以vo速度向右運動的車廂，車廂內(nèi)的桌面上離度直線運動時，小球以v。的速度水平離開車廂。求小球落到車廂底 上距桌面邊緣a點的距離（車廂底足夠長）。28.（答案：當(dāng)勁生時s ah;當(dāng)2解：小球在空中運動的時間2 包時，以車廂為參照物, g g2h v0當(dāng)j時，則s. g g2 v0 vt - 2a巴時，s v0 g2ht2hg距桌面邊緣a點的距離s2 vo_2a如圖所示，直桿ab擱在半徑為r的固定圓環(huán)上作平動，速度恒為

38、求當(dāng)桿運動到如圖位置時，桿與環(huán)的交點m的速度和加速度.（答案：vm 一；am地sin1at2 2於.v0v。rsin解:設(shè)m點相對桿的速度為v,則m點對地的速度vm是v和v的合成：vm地vm桿v桿地， 如左圖所示.得vm （也可用微元法解）。 sinm點對地的加速度 am地 am桿 a桿地因ab作勻速運動，a桿地=0,則am地am桿因m點對地作圓周運動所以 am地am桿an at即am地的方向沿桿向左（因環(huán)對桿作減速運動 ，矢量關(guān)系如右圖所示.222因an 也 v 2，得m對地的加速度am地工 v 3 .r rsinsin r sin29 .有兩艘船在大海中航行，a船航向正東，船速每小時15公

39、里,b船航向正北，船速每小時20公里，a船正午通過某一普浦一士一燈塔,b船下午2時通過同一燈塔.問:什么時候a、b兩船相 專 距最近？最近距離是多少？公中“海j口（答案：下午1.28ha、b兩船相距最近；24km ）加飛方解:以a為參照系,vba vb海 v海a vb海 （va海）所以vba= j202 152 =25km/h,方向為北偏西370.我們從正午開始考慮，b船以vba航彳t，顯然b船使到c點時（ac bc）時二船相距最近.b船 從b點使到d點（即燈塔）的時間為2小時.bd= vbat=50km, ab= bdcos37 0=40km,最近品巨離 ac=absin37 0=24km.b到c的時間t -bc ab 8s 37 竺一竺=1.28h,即下午1.28ha、b兩船相距最近.vab vba2530 .如圖所示，一小球以速度v0水平投射到光滑的斜面上，斜面與水平 面的夾角為，小球與斜面的碰撞是彈性碰撞，求小球第一次與斜面碰撞點到第二次與斜面碰撞點間的距離s（空氣阻力不計）.公2v02迎tan（答案：-sin （1 tan2 ） g解法1:將初速度v0和重力加速度g分解成平行與斜面方向 vx=v0cos