七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽講座第1講_走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界

1、第一講走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界從蠻荒時代的結(jié)繩計數(shù)到現(xiàn)代通訊和信息時代神奇的數(shù)學(xué)，人類任何時候都受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響, 數(shù)學(xué)科學(xué)是人類長期以來研究數(shù)、量的關(guān)系和空間形式而形成的龐大科學(xué)體系.走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將一起走進(jìn)嶄新的“代數(shù)”世界，持續(xù)擴(kuò)充的數(shù)系、奇妙的字母表示數(shù)、 威力巨大的方程、不等式模型、運(yùn)動變化的函數(shù)觀點(diǎn)；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將一起走進(jìn)豐富的“圖形”世界，拼剪、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)，在操作與實(shí) 驗活動中，發(fā)現(xiàn)這些圖形的奇妙的性質(zhì)，用它們設(shè)計精美的圖案；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將暢游在無邊的“數(shù)據(jù)”世界，從圖表中獲取信息，并選擇合適的圖表來 表達(dá)數(shù)據(jù)和信息；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，它將

2、開闊我們的視野，它提醒我們有無形的靈魂，它改變我們的思維方式，它 滌盡我們的蒙昧與無知.諾貝爾獎獲得者、著名物理學(xué)家楊振寧說：“我贊美數(shù)學(xué)的優(yōu)美和力量，它有戰(zhàn)術(shù)的機(jī)巧與靈活，又有戰(zhàn)略上的雄才遠(yuǎn)慮，而且，奇跡的奇跡，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本結(jié)構(gòu).”例題【例1 我們平常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如 2639=2x 103+6x 102+3 x 10+9,表示十進(jìn)制的數(shù)要用10 個數(shù)的數(shù)碼（又叫數(shù)字）：0, 1, 2, 3,9,在電子計算機(jī)中用的是二進(jìn)制，只要兩個數(shù)碼0和1,如二進(jìn)制中101 = 1 x 22+0 x 21 + 1等于十進(jìn)制的數(shù)5,那么二進(jìn)制中的1101等于十進(jìn)制的數(shù) .（浙

3、江省金華市中考題）（2）探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大.吸引力強(qiáng)，任何物體到了 它那里都別想再“爬”出來，無獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”.滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運(yùn)算，都能被它吸進(jìn)去，無一能逃脫它的魔掌，譬如：任意找一個3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個數(shù)的每一個數(shù)位上的數(shù)字都立方. 再相加。得到一個新數(shù)，然后把這個新數(shù)的每一個數(shù)位上的數(shù)字再立方、求和.重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個固定的數(shù)t= ,我們稱之為數(shù)字“黑洞” .（青島市中考題）思路點(diǎn)撥 （1）從閱讀中可知，無論何種進(jìn)制的數(shù)都可表示與數(shù)位上的數(shù)字、進(jìn)制值相關(guān)聯(lián)的和的形式；（2）從一個具體的數(shù)操作，發(fā)豌規(guī)律.

4、【例2】a、b、c、d、e、f六個足球隊實(shí)行單循環(huán)比賽，當(dāng)比賽到某一天時.統(tǒng)計出 a、b、c、 d、e五隊已分別比賽了 5、4、3、2、l場球，則還沒有與 b隊比賽的球隊是（）.a.c隊 b.d隊 c. l,隊 d.f隊（第18屆江蘇競賽題）思路點(diǎn)撥 用算術(shù)或代數(shù)方法解，易陷入困境.用6個點(diǎn)表示a、b、c、d、e、f這6個足球隊，若兩隊已經(jīng)賽過一場，就在相對應(yīng)的兩個點(diǎn)之間連一條線。這樣用圖來輔助解題，形象而直觀.【例3】校教具制造車間有等腰直角三角形、正方形、平行四邊形三種廢塑料板若干，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用其中7塊，恰好拼成了一個矩形（如圖.后來，又用它們分別拼出了x、y、z等字母模型（如圖

5、，圖，圖），如果每塊塑料板保持圖的標(biāo)號不變，請你參與：（1）將圖中每塊塑料板對應(yīng)的標(biāo)號填上去；（2）圖中，只畫出了標(biāo)號 7的塑料板位置，請你適當(dāng)畫線，找出其他6塊塑料板，并填上標(biāo)號,（3）在圖中，請你適當(dāng)畫線，找出7塊塑料板，并填上標(biāo)號.（2002年煙臺市中考題）思路點(diǎn)撥 動手實(shí)驗、操作.從對圖形分割人手.鏈接 數(shù)與形，以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化， 這 是數(shù)學(xué)研究的永恒主題， 就解題來說，數(shù)與形的 恰當(dāng)結(jié)合，常有助于問題的解決.【例4】 根據(jù)圖和圖回答問題：圖1997年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)，產(chǎn)值的分布情況圖2000年島新技術(shù)產(chǎn)業(yè)i業(yè)總產(chǎn)值的分布情況（1）1997年與2000年相比，產(chǎn)值比重減少最多的是

6、哪個產(chǎn)業(yè)？（2）假定2000年光機(jī)電一體化的產(chǎn)值是1997年的2倍，那么2000年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)總產(chǎn)值比 1997年增長率是多少？（3）2000年與1997年相比高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)值總額增加最多的是哪個產(chǎn)業(yè)？（2003年中央國家機(jī)關(guān)公務(wù)員錄用考試行政職業(yè)水平傾向試卷試題）思路點(diǎn)撥從給定的扇形統(tǒng)計圖表中獲取信息，須注意的是扇形統(tǒng)計圖表示的是某一部分占總體的百分比（或稱某一部分的比重），所以，需要引入字母表示某種產(chǎn)值的具體數(shù)額，【例5】一個四位數(shù)，這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和是1999,求這個四位數(shù)，并說明理由.（重慶市競賽題）思路點(diǎn)撥 設(shè)所求的四位數(shù)為 abcd ,由題意可得關(guān)于a、b、c、d的

7、一個等式，使用估算、討論、 枚舉等方法，分別求出 a、b、c、d的值.注：解與整數(shù)相關(guān)的問題，常常要用到“估算”這種重要方法.使用估算是在解決問題的過程中，合理 使用縮放、近似等方法簡化計算的一種算法，使用估算往往能使我們更迅速地接近準(zhǔn)確目標(biāo).鏈接閱讀是人們吸取知識的主要手段和理解世界的重要途徑.現(xiàn)代及未來社會要求人們具有的閱讀水平已不再僅僅語文閱讀水平，而是一種以語文閱讀水平為基礎(chǔ)，包括外語閱讀水平、 數(shù)學(xué)閱讀水平、科技閱讀水平在內(nèi)的綜合閱讀水平.讀數(shù)學(xué)書，要邊讀書邊思考.對于概念，要抓住關(guān)鍵詞句推敲，從概念間的相互聯(lián)系中去掌握概念； 對于公式、法則、性質(zhì)等，要思考結(jié)論的準(zhǔn)確意思、公式成立的

8、條件、適用的范圍；對于例題，要自己先 動手做一做，再與書上的解答對照，找出知識上的缺陷、錯誤，并從中總結(jié)適用知識的規(guī)律.學(xué)力訓(xùn)練1.觀察下列順序排列的等式：9x0 十 1 = 1, 9x 1+2=11, 9x2+3 = 21, 9x3+4=31, 9x 4+5=41,猜想：第年n個等式應(yīng)為 .（2003年北京市中考題）2.如圖，是用火柴棍擺出的一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當(dāng)每邊上擺20（即n=20）時，需要的火柴棍總數(shù)為 根.（河北省中考題）f第3題）3 .世界杯中，中國男足與巴西、土耳其、哥斯達(dá)黎加隊同分在c組。賽前，50名球迷就c組哪支球隊將以小組第二名進(jìn)入十六強(qiáng)進(jìn)仃猜測，統(tǒng)計結(jié)果

9、則圖，認(rèn)為中國隊將以小組第二名的身份進(jìn)入十六強(qiáng)的人數(shù) 占的百分比為.（ “希望杯”邀請賽試題）4 .自然數(shù)a、b、c、d、e都大于1,其乘積abcde 2000 ,則其和a b c d e的最大值為最小值為5.若一個正整數(shù)a被2, 3,，9這八個自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為l,則a的最小值是表達(dá)式為為6. 3個質(zhì)數(shù)p、q、r滿足a. 2 b. 3 c 7p q r ,且p q ,那么p等于(d. 13）.（第18后江蘇省競賽題）7.如果有2003名學(xué)生排成一列，按 1, 2, 3, 4, 3, 2, l, 2, 3 名學(xué)生所報的數(shù)是（）.a.1 b. 2c. 3 d. 43, 2,的規(guī)律報數(shù)，那么

10、第 20038.如圖，有兩張形狀、大小完全相同的直角三角形紙片（同一個直角三角形的兩條直角邊不相等），把兩個三角形相等的邊靠在一起（兩張紙片不重疊），能夠拼出若干種圖形，其中，形狀不同的四邊形有（）.a. 3種 b. 4種c. 5種 d. 6種9.下面四個圖形每個均由六個相同的小正方形組成，折疊后能圍成正方體的是（第 8。）() 【 i nn10.設(shè)日表示三種不同的物體，用天平比較它們質(zhì)量的大小，兩次情況如圖所示，那么、這三種物體按質(zhì)量從大到小的順序排列應(yīng)為（)a. 、 、 c. 、（江西省中考題）11 .用一個兩位數(shù)去除12 .如果a、b是任意b. 、d. 、(第 10b)2003,余數(shù)是8

11、,2個不等于零的數(shù),這樣的兩位數(shù)有 定義運(yùn)算如下個，其中最大的兩位數(shù)是（其余符號意義如常）：2ax b=a-,那么1 x (2x3) 一 (1x2)司的值是b1113 .如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把面積為一的矩形分成兩個面積為一24 1 ,、_ * 1 的矩形，再把面積為 1的矩形等分成兩個面積為 1的矩形,48用圖形揭示的規(guī)律計算：1 1 1 工工工2 4 8 16 32 64 128（南寧市中考題）14 .觀察下圖，三棱柱有5個面6個頂點(diǎn)9條棱，四棱柱有 棱，五棱柱有 7個面10個頂點(diǎn)15條棱 由此可推測 個頂點(diǎn)條棱.3梗柱4棱柱5棱柱6樓柱15.某專賣店在統(tǒng)

12、計 2003年第一季度的銷售額時發(fā)現(xiàn)，二月份比一月份增加10%,三月份比二月份減少請你設(shè)計：19曬】20.根據(jù)圖a和圖b回答問題: iw i*m* ik招）國內(nèi)q市總值笠動國*.萬億無,國*射故支出*力般（*&.千億元） 用“國b10%,那么三月份比一月份 （）.a.增加10% b.減少10%c.不增不減d.減少1%（河南省中考題）16.三進(jìn)位制數(shù) 201可用十進(jìn)位制數(shù)表示為2x32+0x 31+1 = 2x9+0+1 =19;二進(jìn)位制數(shù)1011可用十進(jìn)位制數(shù)表示為1 x 23+0x 22+1 x 2+1 = 8+0+2+1=11 .現(xiàn)有三進(jìn)位制數(shù) a =221 ,二進(jìn)位制數(shù)=10111,則a

13、與b的大小關(guān)系為（）.a. ab b. a = b c. ab n不能確定（重慶市競賽題）17.某學(xué)生騎白行車上學(xué)，開始以某一速度勻速行進(jìn)， 中途因為自行車發(fā)生故障， 停下修車耽誤了幾分鐘.為 了按時到校，他加快了速度，但仍然保持勻速行進(jìn)，結(jié)果準(zhǔn)時到校.他騎自行車行進(jìn)的路程s與行進(jìn)的時間t的關(guān)系有如下四種示意圖，其中準(zhǔn)確的是 （）.a .21 b.24 c.33 d.3719 .如圖，有兩個正方形的花壇，準(zhǔn)備把每個花壇都分成形狀相同 的四塊，種不同的花草.下面左邊的兩個圖案是設(shè)計示例，請 你在右邊的兩個正方形中再設(shè)計兩個不同的圖案.（第18題）（1）1998年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值比1995年大約增

14、加了多少？（2）1998年我國財政支出規(guī)模（財政支出/國內(nèi)生產(chǎn)總值 ）大約是多少？已知1999年國內(nèi)生產(chǎn)總值為 8. 5萬億元，在這幾年中國內(nèi)生產(chǎn)總值增長最快的是哪一年度（中央國家機(jī)關(guān)公務(wù)員錄用考試行政職業(yè)水平傾向試卷試題）18.把14個棱長為1的正方體，在地面上堆疊成如圖所示的立體, 么紅色部分的面積為 （）.然后將露出的表面部分染成紅色，那21.有一批影碟機(jī)（vcd原售價：800元，臺.甲商場用如下辦法促銷:購買臺數(shù)15臺610 臺11 15 臺1620臺20臺以上每臺價格760元720元680元640元600元乙商場用如下辦法促銷：每次購買18臺，每臺打九折；每次購買 916臺，每臺打八

15、五折；每次購買1724臺，每臺打八折；每次購買 24臺以上，每臺打七五折；（1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買vcd的購買臺數(shù)與每臺價格的對照表；（2）現(xiàn)在有 a、b、c三個單位，a單位要買10臺vcd , b單位要買16臺vcd , c單位要買20臺vcd .問他們到哪家商場購買花費(fèi)較少 ？（第14屆“希望杯”邀請賽試題）22.如圖是一張“ 3x 5”（表示邊長分別為3和5）的長方形，現(xiàn)要把它分成若干張邊長為整數(shù)的長方形（包括正方形）紙片，并要求分得的任何兩張紙片都不完全相同.（1）能否分成5張滿足上述條件的紙片 ？（2）能否分成6張滿足上述條件的紙片 ？并畫出分割的示意圖； 若不

16、能分，請說明理由.（江若能分，用“ax b”的形式分別表示出各張紙片的邊長, 蘇省競賽題）第一講走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界參考答案【例題求解】用圖圖例4 tn生的朋比用赭晶小設(shè)&97年的總產(chǎn)植力工，則年的總產(chǎn)值比1997年的增員率為0工 1|.94%+14.5自網(wǎng)6：工100. = 64131銀設(shè)；9十年和如時年的茸產(chǎn)世分st為如私基押產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值在選兩年中衲比里分刖力全年的工邦和尸外，制這把 產(chǎn)品的產(chǎn)值題的塔加依可注示內(nèi)人:f郭一工-工匯=力-心7井+可仃好一h%i,稀珞種產(chǎn)相通的1l 1把可先博的邊根典整物的k方用按曲機(jī)從小到大井列，有1工1工乂3/ 4商乂2/乂5修乂 3,2x33x3,3x5評

17、4.3乂工若能甘或三強(qiáng)儒足條件的維片.因為其面飄之和魔力i入榜盤稠足條件的書1k1j 乂2、1，1 x*l*5 （加圖11或1乂12113/工。1：5知圖編和,v線八式中 叫用電手而總產(chǎn)的產(chǎn)慎博如愚機(jī)覃吉提欣：沱送個園佗立為踞儂職范博1uw+1um+ 1坦 +* + &+/i俄9 j。10gu+1016+119.”】然口，1，青則thhw）oco,悔）thi+11r + 2rf口1因藥hr + 2j的遙大性為994-）5 = 117, 1uu9&#-h7*bsi國&=自.則11一之4二3器一自曲-gg.門由于。金2久1&福89-ib=711lr9,jft r=t肅j民c = 7 ,l lr +

18、 3d = 77 4-2/=b9, a j = 6j號r = 8時 jk -+力=即+啟m 舍去放這個四位數(shù)尾h力.學(xué)力訓(xùn)練】l （-n-nt-lofl-b 1. 6箕 3、瑞f吞* * 出用 bw0-rx5幻 2&20td=2520ir+l6, a f. c s. l 4, c lr cii. 8 ,95 ij個南位拄一定是加0 77詼的妁敷，而舶e = 3x5x”】912,，黑r514.宜尋圖再數(shù)據(jù)，歸納其中提神臂e校柱有b+q個有.而十展點(diǎn).布條加一19. 0ift- a n, 13不亡地的tttk而m小 修車慚叫做的幾分神由.腳耳不變.方完專后修愫與通行通.那時應(yīng)mm一|r. c 9 + 3x* 十才 x，+1 x*-31 ii.修工。.”八和一泊）十川乂1噸界一部外 cj）n + *oxlfloml招鄴w驪年的增控率為找-5加459xl.，um%15知，同弊的方也可將其他年度的增長率，墻長率高的是19鳴年19眈隼度.2u h）&商場的保梢井肋川發(fā)即f,購要白寄i9-1& e17124臺i臺中上軸frtt格j2c元680兀m064mi7c