773240884北京卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、本試卷共5頁，150分考試時長120分鐘考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.1復(fù)數(shù)abcd【答案】a【解析】試題分析：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算2.若，滿足則的最大值為a0b1c d2【答案】d【解析】試題分析：如圖，先畫出可行域，由于，則，令，作直線，在可行域中作平行線，得最優(yōu)解，此時直線的截距最大，取得最小值2.考點(diǎn)：線性規(guī)劃；3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為abcd【答案】b考點(diǎn)：程序框圖4.設(shè)，是兩個不同的平面，是

2、直線且“”是“”的a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【答案】b【解析】試題分析：因為，是兩個不同的平面，是直線且若“”，則平面可能相交也可能平行，不能推出，反過來若，則有，則“”是“”的必要而不充分條件.考點(diǎn)：1.空間直線與平面的位置關(guān)系；2.充要條件.5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是a b c d5【答案】c【解析】試題分析：根據(jù)三視圖恢復(fù)成三棱錐，其中平面abc，取ab棱的中點(diǎn)d，連接cd、pd，有，底面abc為等腰三角形底邊ab上的高cd為2，ad=bd=1,pc=1, ,，,三棱錐表面積.考點(diǎn)：1.三視圖；2.三棱錐的表面積.6.

3、設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是a若，則 b若，則c若，則 d若，則【答案】c考點(diǎn)：1.等差數(shù)列通項公式；2.作差比較法7.如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是a bc d【答案】c【解析】考點(diǎn)：1.函數(shù)圖象；2.解不等式.8.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是a消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米b以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多c甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油d某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】【解析】試

4、題分析：“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，a中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，a錯誤；b中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，b錯誤，c中甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km，消耗8升汽油，c錯誤，d中某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時. 由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油,選d.考點(diǎn)：1.函數(shù)應(yīng)用問題；2.對“燃油效率”新定義的理解；3.對圖象的理解.第卷（非選擇題 共110分）二、填空題（共6個小題，每題5分，共30分）9.在的展開式中，的系數(shù)為（用數(shù)字

5、作答）【答案】40【解析】試題分析：利用通項公式，令，得出的系數(shù)為考點(diǎn)：二項式定理10.已知雙曲線的一條漸近線為，則【答案】考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)11.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為【答案】1【解析】試題分析：先把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線距離公式.考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；2.點(diǎn)到直線距離.12.在中，則【答案】1【解析】試題分析：考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理13.在中，點(diǎn)，滿足，若，則；【答案】【解析】試題分析：特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以a為原點(diǎn)，ab為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，.考點(diǎn)：平面向量14.設(shè)函數(shù)若，則的最小值為；若恰有2

6、個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是【答案】(1)1，(2) 或.考點(diǎn)：1.函數(shù)的圖象；2.函數(shù)的零點(diǎn)；3.分類討論思想.三、解答題（共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15（本小題13分）已知函數(shù)() 求的最小正周期；() 求在區(qū)間上的最小值【答案】（1），（2）【解析】試題分析：先用降冪公式和輔助角公式進(jìn)行三角恒等變形，把函數(shù)化為形式，再利用周期公式求出周期，第二步由于則可求出，借助正弦函數(shù)圖象 找出在這個范圍內(nèi)當(dāng)，即時，取得最小值為：.試題解析：() (1)的最小正周期為；(2)，當(dāng)時，取得最小值為：考點(diǎn)： 1.三角函數(shù)式的恒等變形；2.三角函數(shù)圖像與性質(zhì).16.（本小題13

7、分），兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，15，16組：12，13，15，16，17，14，假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨(dú)立，從，兩組隨機(jī)各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙() 求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率；() 如果，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；() 當(dāng)為何值時，兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）【答案】（1），（2），（3）或17.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點(diǎn)() 求證：；() 求二面角的余弦值； () 若平面，求的值【答案】(1)證明見解析，（2），（

8、3）【解析】試題分析：證明線線垂直可尋求線面垂直，利用題目提供的面面垂直平面平面，借助性質(zhì)定理證明平面efcb，進(jìn)而得出線線垂直，第二步建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面aef的法向量易得，只需求平面aeb的法向量，設(shè)平面aeb的法向量，利用線線垂直，數(shù)量積為零，列方程求出法向量，再根據(jù)二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于，要想平面，只需，利用向量的坐標(biāo)，借助數(shù)量積為零，求出的值，根據(jù)實際問題予以取舍.試題解析：()由于平面平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以平面efcb，又平面，則.()取cb的中點(diǎn)d，連接od,以o為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由

9、于平面與軸垂直，則設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，則，二面角的余弦值，由二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.（）有（1）知平面efcb，則，若平面，只需，又，解得或，由于，則.考點(diǎn)：1.線線垂直的證明；2.利用法向量求二面角；3.利用數(shù)量積解決垂直問題.18.（本小題13分）已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求證：當(dāng)時，；（）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值【答案】（），（）證明見解析，（）的最大值為2.試題解析：（），曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（）當(dāng)時，即不等式，對成立，設(shè)，則，當(dāng)時，故在（0，1）上為增函數(shù)，則，因此對，成立；（）使成立，等價于，；，當(dāng)時，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)

10、，符合題意；當(dāng)時，令，-0+極小值，顯然不成立，綜上所述可知：的最大值為2.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式；3.含參問題討論.19.（本小題14分）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)（）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；（）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線交軸于點(diǎn)問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】【解析】試題分析：橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，利用條件列方程組，解出待定系數(shù)，寫出橢圓方程；由點(diǎn)和點(diǎn)，寫出pa直線方程，令求出x值，寫出直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；由點(diǎn)，寫出直線的方程，令求出x值，寫出點(diǎn)n的坐

11、標(biāo)，設(shè)，求出和，利用二者相等，求出，則存在點(diǎn)使得.試題解析：（）由于橢圓：過點(diǎn)且離心率為， ，橢圓的方程為.,直線的方程為：，令，；考點(diǎn)：1.求橢圓方程；2.求直線方程及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；3.存在性問題.20.（本小題13分）已知數(shù)列滿足：，且記集合（）若，寫出集合的所有元素；（）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合的元素個數(shù)的最大值【答案】（1），（2）證明見解析，（3）8【解析】試題分析：（）由，可知則；（）因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)，當(dāng)時，則m中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時，因為或，所以是3的

12、倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，都是3的倍數(shù)，從而對任意，是3的倍數(shù)，因此的所有元素都是3的倍數(shù).第二步集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)；第三步由于中的元素都不超過36，中的元素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因為第二個數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知，第三個數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，由定義可知，和除以9的余數(shù)一樣，分中有3的倍數(shù)和中沒有3的倍數(shù)兩種情況，研究集合m中的元素個數(shù)，最后得出結(jié)論集合的元素個數(shù)的最大值為8.試題解析：（）由已知可知：（）因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由已知，可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)，當(dāng)時，則m中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時，因為或，所以是3的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，