復合函數(shù)微分 不定積分 定積分-復合積分[實用知識]

1、二、復合函數(shù)的求導法則二、復合函數(shù)的求導法則 （復合函數(shù)（復合函數(shù) 最終變量最終變量 ) = =（復合函數(shù)（復合函數(shù) 中間變量中間變量 ) （中間變量（中間變量 最終變量最終變量 ) 1技術教學 推廣推廣 ),(),(),(xvvuufy 設設 . )( dx dv dv du du dy dx dy xfy 的導數(shù)為的導數(shù)為則復合函數(shù)則復合函數(shù) 2技術教學 例例4 4.)1( 102 的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy 解解 )1()1(10 292 xx dx dy xx2)1(10 92 .)1(20 92 xx 3技術教學 4技術教學 例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函

2、函數(shù)數(shù). )0( 1 ln x x x xln是是 x 1 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內的原函數(shù)內的原函數(shù). 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 例例 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的. 5技術教學 任意常數(shù)任意常數(shù) 積分號積分號 被積函數(shù)被積函數(shù) 不定積分的定義：不定積分的定義： 在在區(qū)區(qū)間間I內內， CxFdxxf )()( 被積表達式被積表達式 積分變量積分變量 函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意 常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內內的的 不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 6技術教學 例例1 1 求求

3、. 5dx x 解解, 6 5 6 x x . 6 6 5 C x dxx 解解 例例2 2 求求. 1 1 2 dx x , 1 1 arctan 2 x x .arctan 1 1 2 Cxdx x 7技術教學 實例實例 x x 1 1 . 1 1 C x dxx 啟示啟示能否根據求導公式得出積分公式？能否根據求導公式得出積分公式？ 結論結論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的， 因此可以根據求導公式得出積分公式因此可以根據求導公式得出積分公式. )1( 二、二、 基本積分表基本積分表 8技術教學 基基 本本 積積 分分 表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))

4、; );1( 1 )2( 1 C x dxx ;ln)3( Cx x dx 0 x 9技術教學 dx x 2 1 1 )4(;arctanCx dx x 2 1 1 )5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx x dx 2 cos )8( xdx 2 sec;tanCx x dx 2 sin )9( xdx 2 csc;cotCx 10技術教學 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxe x )12(;Ce x dxa x )13(; ln C a a x xdxsinh)14(;coshCx xdx

5、cosh)15(;sinhCx 11技術教學 例例4 4 求積分求積分. 2 dxxx 解解dxxx 2 dxx 2 5 C x 1 2 5 1 2 5 . 7 2 2 7 Cx 根據積分公式（根據積分公式（2）C x dxx 1 1 12技術教學 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf 三、三、 不定積分的性質不定積分的性質 dxxkf)()2(.)( dxxfk （k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k 13技術教學 14技術教學 問題問題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復合函數(shù)，設置中間變量利用復合函數(shù)，設置中間變量. 過程過程令令xt2 , 2 1 dtdx xd

6、x2cosdtt cos 2 1 Ct sin 2 1 .2sin 2 1 Cx 一、第一類換元法一、第一類換元法 15技術教學 例例1 1 求求.2sin xdx 解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin 2 1 xxd ;2cos 2 1 Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin 2 Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos 2 Cx 16技術教學 例例2 2 求求. 23 1 dx x 解解,)23( 23 1 2 1 23 1 x xx dx x 23 1 dxx

7、 x )23( 23 1 2 1 du u 1 2 1 Cu ln 2 1 .)23ln( 2 1 Cx 17技術教學 例例1616 求求 解解 ).0( 1 22 adx ax 令令taxtan tdtadx 2 sec dx ax 22 1 tdta ta 2 sec sec 1 tdtsecCtt )tanln(sec t a x 22 ax .ln 22 C a ax a x 2 , 2 t 18技術教學 例例1717 求求 解解 .1 2 dxx 令令 txsintdtdxcos 2 , 2 t dxx 2 1tdtt cossin1 2 tdt 2 cos2/)2cos1 (dtt

8、 4/2sin2/tt t 1 x 2 1x 19技術教學 基基 本本 積積 分分 表表 ;coslntan)16( Cxxdx ;sinlncot)17( Cxxdx ;)tanln(secsec)18( Cxxxdx ;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx ;arctan 11 )20( 22 C a x a dx xa 20技術教學 ;ln 2 11 )22( 22 C xa xa a dx xa ;arcsin 1 )23( 22 C a x dx xa .)ln( 1 )24( 22 22 Caxxdx ax ;ln 2 11 )21( 22 C ax ax a dx ax 21技術教學 定積分定積分 22技術教學 a bx y o ? A 曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線 實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積） )(xfy )0)( xf、 x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、 bx 所所圍圍成成. 一、問題的提出一、問題的提出 )(xfy 23技術教學 a bx y o a bx y o 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近 曲邊梯形面積曲邊梯形面積 （四個小矩形）（四個小矩形）（九個小