儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別和罐容表標(biāo)定問(wèn)題

1、儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別和罐容表標(biāo)定問(wèn)題摘要儲(chǔ)油罐使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因罐體發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)，導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變，需要對(duì)其重新標(biāo)定。本文建立了積分模型和非線性回歸模型，解決了儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別和罐容表標(biāo)定問(wèn)題。為了得到罐體變位對(duì)灌容表的影響，首先通過(guò)積分得到儲(chǔ)油量與油高之間的方程。在求該關(guān)系過(guò)程中，先將有變位情況的油高轉(zhuǎn)化為無(wú)變位的油高，通過(guò)求無(wú)變位狀態(tài)下的儲(chǔ)油量來(lái)求變位后的儲(chǔ)油量，得到積分模型。利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)無(wú)變位狀態(tài)下進(jìn)出油時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差約為定值3.49%，而傾斜4.1時(shí)相對(duì)誤差隨著油高的減小而增大，最大為5%，這是因?yàn)閮A斜下油高較小時(shí)底部?jī)?chǔ)油并不

2、引起油浮子變化，從而導(dǎo)致相對(duì)誤差大。該誤差可能來(lái)源于測(cè)量誤差、溫度等外界因素影響，而積分模型沒(méi)有考慮這些因素，因此在函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上建立非線性回歸模型，用matlab7.1進(jìn)行擬合得到回歸方程，并進(jìn)行系數(shù)的區(qū)間估計(jì)和殘差檢驗(yàn)，最大殘差為6l，最大相對(duì)誤差為3.06%。因此，利用非線性回歸模型按油高分三段得到油位高度間隔1cm的罐容表標(biāo)定值。問(wèn)題二中考慮到縱、橫變位對(duì)灌容表的影響是獨(dú)立的，變位影響增量可疊加，得到無(wú)變位狀態(tài)下的油高與變位后的油高及縱橫變位參數(shù)之間的關(guān)系。先不考慮兩端球冠，按照問(wèn)題一的求解思路可得到中間柱體儲(chǔ)油量與油高的關(guān)系。然后對(duì)兩端球冠單獨(dú)積分，將得到的油量與柱體油量相加得到儲(chǔ)

3、油罐總油量方程。根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，采用非線性擬合，利用taylor級(jí)數(shù)對(duì)復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)變位參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，得到的系數(shù)為變位參數(shù)的函數(shù)，反解即可得到變位參數(shù)值：=2.57，=4.82。接著將變位參數(shù)反代回得到變位情況下的罐容表函數(shù)，然后按間隔10cm的油高標(biāo)定罐容表。又對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了多項(xiàng)式擬合，比較兩種方式得到的函數(shù)值與實(shí)際值的殘差分布情況，說(shuō)明用積分模型標(biāo)定罐容表的方法是可行的。本文在建立積分模型時(shí)，將有變位下油高轉(zhuǎn)化成無(wú)變位油高，將傾斜的球冠體簡(jiǎn)化成無(wú)傾斜情況，使得積分簡(jiǎn)化又可行。模型的檢驗(yàn)中采用了多項(xiàng)式擬合和保持原方程形式的非線性擬合，并進(jìn)行了殘差分析和系數(shù)區(qū)間估計(jì)，綜合

4、考慮選擇其中最優(yōu)的進(jìn)行灌容表標(biāo)定。求解變位識(shí)別參數(shù)時(shí)，對(duì)復(fù)雜的函數(shù)采用taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)式，使得參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)可以實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：積分模型 非線性回歸模型 多項(xiàng)式擬合 殘差圖 taylor級(jí)數(shù)一、問(wèn)題重述與分析1.1問(wèn)題的重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容

5、表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定?，F(xiàn)在用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。1.2待解決的問(wèn)題（1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，先利用小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。然后建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)

6、所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。并進(jìn)一步利用實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。1.3問(wèn)題分析由小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體）的幾何數(shù)據(jù)可以求出油位高度與儲(chǔ)油罐內(nèi)油量之間的關(guān)系。問(wèn)題一要求根據(jù)所做的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求出罐體變位對(duì)灌容表的影響。題中利用小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，得到一批實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。希望從這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并求出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。先根據(jù)幾何關(guān)系可以得到一個(gè)罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量之間的微分方程，暫且認(rèn)為其

7、是標(biāo)準(zhǔn)的灌容表。將其與實(shí)驗(yàn)所得到的真實(shí)數(shù)據(jù)做差進(jìn)行比較，觀察差值大小及與真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)大小。二、問(wèn)題假設(shè)1.儲(chǔ)油罐變位時(shí)幾何形狀不變，且?guī)缀纬叽绮话l(fā)生變化。2.不考慮儲(chǔ)油罐容器壁厚，由幾何尺寸求得的容積即為儲(chǔ)油罐內(nèi)油量體積。3.溫度不影響儲(chǔ)油罐內(nèi)油量的變化。4.假定無(wú)論何種狀態(tài)對(duì)于同一儲(chǔ)油罐儲(chǔ)油總量與油位高度的關(guān)系是確定的。5.原來(lái)的罐容表刻度時(shí)均勻標(biāo)度的，并且可以讀出變化的連續(xù)值。6.儲(chǔ)油罐偏轉(zhuǎn)和傾斜對(duì)儲(chǔ)油罐探針讀數(shù)的變化關(guān)系是獨(dú)立的。三、符號(hào)說(shuō)明傾斜時(shí)油浮子的讀數(shù)無(wú)變位時(shí)的油浮子讀數(shù)l罐體長(zhǎng)橢圓柱體長(zhǎng)半軸橢圓柱體短半軸探針至支點(diǎn)距離v儲(chǔ)油罐容積儲(chǔ)油罐圓柱體容積儲(chǔ)油罐球冠體容積縱向傾斜角

8、后油位高度橫向偏轉(zhuǎn)角后油位高度r球冠所在球半徑圓柱與球冠相切圓半徑圓心到球心距離球冠深度四、問(wèn)題一積分模型與非線性回歸模型的建立與求解4.1問(wèn)題分析：由小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體）的幾何數(shù)據(jù)可以求出油位高度與儲(chǔ)油罐內(nèi)油量之間的關(guān)系。問(wèn)題一要求根據(jù)所做的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求出罐體變位對(duì)灌容表的影響。題中利用小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，得到一批實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。希望從這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并求出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。先根據(jù)幾何關(guān)系得到儲(chǔ)油罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量之間的積分關(guān)系。將其與實(shí)驗(yàn)所得到的真實(shí)數(shù)

9、據(jù)做差進(jìn)行比較，觀察差值大小及與真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)大小。通過(guò)積分得到儲(chǔ)油量與油高之間的方程。在求該關(guān)系過(guò)程中，先將有變位情況的油高轉(zhuǎn)化為無(wú)變位的油高，通過(guò)求無(wú)變位狀態(tài)下的儲(chǔ)油量來(lái)求變位后的儲(chǔ)油量，得到積分模型。4.2積分模型的建立4.2.1模型的建立1）將傾斜時(shí)的油位高度轉(zhuǎn)化為無(wú)變化時(shí)的油位高度，從而得到無(wú)變位時(shí)與有變位時(shí)時(shí)的關(guān)系。設(shè)儲(chǔ)油灌的傾斜角為，橢圓筒長(zhǎng)為l，長(zhǎng)、短軸分別為a、b，探針f至儲(chǔ)油罐支點(diǎn)o的距離為。圖1 橢圓柱體中心軸向切面為傾斜時(shí)的液面，ab為無(wú)變位時(shí)的液面。由簡(jiǎn)圖1知，。由矩形abco面積與梯形面積相等可以求與的關(guān)系。梯形中，矩形面積，由，得到 圖2 液面高度示意圖液面在

10、ct1以下時(shí)，利用矩形面積等于直角三角形面積的方法導(dǎo)出與的關(guān)系。這時(shí)，矩形底長(zhǎng)l，三角形底長(zhǎng)均為，三角形面積為，矩形面積，所以，液面在探針口以上時(shí)，。綜上所述，得到傾斜變位的油位高度與無(wú)變位高度之間的關(guān)系為2）無(wú)變位時(shí)儲(chǔ)油罐直橢圓筒的容積計(jì)算。 圖3 橢圓側(cè)面示意圖由圖3，圖示坐標(biāo)系中橢圓方程為，即，直線mn的方程為，代入橢圓方程中得到，如圖所示，取微元dx，則微元面積，對(duì)微元積分得到當(dāng)時(shí)，有 （1）當(dāng)時(shí)，用來(lái)替代（1）中的，則儲(chǔ)油罐這部分容積為 （2）液面升至探針口以上，油量增加，但罐容表顯示的不再增加，此時(shí)油量不再變化。4.2.2模型求解分別計(jì)算四種情況下油位高度一定時(shí)的儲(chǔ)油量理論值，與實(shí)

11、測(cè)值進(jìn)行比較，求出絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。1）無(wú)變位進(jìn)出油時(shí)油位高度一定時(shí)儲(chǔ)油量理論值設(shè)儲(chǔ)油罐已有油量l，第i次進(jìn)油后，累計(jì)進(jìn)油量為l，則儲(chǔ)油罐總油量為升，此時(shí)油位高度為，由以上分析知，當(dāng)時(shí)，由公式（1）計(jì)算得儲(chǔ)油罐內(nèi)理論油量，當(dāng)，由公式（2）計(jì)算儲(chǔ)油罐內(nèi)理論油量。再分別計(jì)算絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。計(jì)算無(wú)變位進(jìn)出油時(shí)令，則儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系為此時(shí)。分別帶入無(wú)變位進(jìn)出油數(shù)據(jù)中的油位高度進(jìn)行求解，得出表格如下：表1 無(wú)變位進(jìn)油理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比流水號(hào)累加進(jìn)油量/l油位高度/mm實(shí)測(cè)值/l理論值/l絕對(duì)誤差/l相對(duì)誤差1150159.02312322.8810.883.49%12100176.143

12、62374.6312.633.49%13150192.59412426.3614.363.49%14200208.5462478.1316.133.49%15250223.93512529.8517.853.49%16300238.97562581.6119.613.49%17350253.66612633.3521.353.49%773156.91963.83418.913538.17119.263.49%783206.91978.913468.913589.92121.013.49%793256.91994.433518.913641.67122.763.49%803306.911010.

13、433568.913693.42124.513.49%813356.911026.993618.913745.14126.233.49%表2 無(wú)變位出油時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比流水號(hào)累加出油量/l油位高度/mm實(shí)測(cè)值/l理論值/l絕對(duì)誤差/l相對(duì)誤差11152.721150.723916.194052.80136.613.49%112102.721123.993866.194001.05134.863.49%113152.721101.153816.193949.32133.133.49%114202.721080.513766.193897.57131.383.49%115252.72106

14、1.363716.193845.84129.653.49%116302.721043.293666.193794.07127.883.49%117352.721026.083616.193742.35126.163.49%1632652.72439.151316.191362.1045.913.49%1642702.72426.801266.191310.3744.183.49%1652752.72414.361216.191258.6142.423.49%1662802.72401.841166.191206.8740.683.49%1672852.72389.221116.191155.1

15、338.943.49%1682902.72376.491066.191103.3837.193.49%由以上表格數(shù)據(jù)知，無(wú)變位時(shí)一定油位高度下儲(chǔ)油量實(shí)測(cè)值與理論值相差不大，相對(duì)誤差均為3.49%，即橢圓平頭儲(chǔ)油罐進(jìn)入或輸出100l油中會(huì)有3.5l誤差。2）縱向傾斜4.1時(shí)進(jìn)出油時(shí)油位高度一定時(shí)儲(chǔ)油量理論值令，根據(jù)公式用matlab進(jìn)行求解得到理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比情況。表3 傾斜變位4.1時(shí)出油時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比流水號(hào)累加進(jìn)油量/l油位高度/mm油量理論油量差值相對(duì)誤差211747.86411.29962.861005.79 42.93 4.46%212797.86423.451012.

16、861054.32 41.46 4.09%213847.86438.331062.861114.33 51.47 4.84%214897.86450.541112.861164.06 51.20 4.60%215947.86463.91162.861218.92 56.06 4.82%216997.86477.741212.861276.22 63.36 5.22%2402197.73761.552412.732499.52 86.79 3.60%2412247.73773.432462.732550.47 87.74 3.56%2422297.73785.392512.732601.57 8

17、8.84 3.54%2432347.73796.042562.732646.89 84.16 3.28%2442397.73808.272612.732698.68 85.95 3.29%2452447.73820.82662.732751.46 88.73 3.33%2462497.73832.82712.732801.71 88.98 3.28%2472547.73844.472762.732850.27 87.54 3.17%2482597.73856.292812.732899.13 86.40 3.07%2492647.73867.62862.732945.54 82.81 2.89

18、%表4 傾斜變位4.1出油時(shí)理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比流水號(hào)累加出油量/l油位高度/mm油量/l理論油量/l絕對(duì)誤差/l相對(duì)誤差311501020.653464.743530.22 65.48 1.89%3121001007.733414.743484.80 70.06 2.05%313150994.323364.743436.75 72.01 2.14%314200980.963314.743388.00 73.26 2.21%3431650635.761864.741953.15 88.41 4.74%3441700624.611814.741904.58 89.84 4.95%3451750

19、612.531764.741852.03 87.29 4.95%3461800600.691714.741800.59 85.85 5.01%3471850589.41664.741751.64 86.90 5.22%3572350465.971164.741227.46 62.72 5.38%3582400452.41114.741171.67 56.93 5.11%3592450439.981064.741121.03 56.29 5.29%3602500425.831014.741063.88 49.14 4.84%3612550411.73964.741007.54 42.80 4.4

20、4%由以上表格數(shù)據(jù)可以看出，最大相對(duì)誤差為5.38%。4.2.3模型結(jié)果分析由以上計(jì)算知道無(wú)變位進(jìn)出油時(shí)根據(jù)積分模型計(jì)算的理論值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差較小而且均為3.49%；縱向傾斜4.1時(shí)，相對(duì)誤差隨著油位高度的增加而增加，最高達(dá)到5%。這是可以解釋的，當(dāng)油位高度較小時(shí)，總?cè)莘e也小，即分母小，得出的百分?jǐn)?shù)（相對(duì)誤差）就大。而油位高度較大時(shí)，總?cè)莘e較大，即分母大，相對(duì)誤差較小。由以上的計(jì)算可以知道，積分模型得到的儲(chǔ)油量與油位高度之間的關(guān)系與實(shí)際情況相比較，存在差異。這可能是測(cè)量誤差、油罐溫度、容器壁厚等因素造成的，積分模型并不能反映這些因素，因此用擬合的方法數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸。4.3非線性回歸模型

21、的建立1）模型的分析：由對(duì)橢圓平頭儲(chǔ)油罐進(jìn)行試驗(yàn)所得實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以知道每次測(cè)量時(shí)儲(chǔ)油罐里儲(chǔ)油量。而問(wèn)題一中欲求的罐容表即為罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，模型二以罐體儲(chǔ)油量值和相應(yīng)的罐內(nèi)油位高度兩組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過(guò)多項(xiàng)式擬合的方式建立起儲(chǔ)油量值與油位高度之間的函數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行相應(yīng)的圖像分析和殘差檢驗(yàn)。在積分模型中，已經(jīng)求出了罐體的儲(chǔ)油量值與罐內(nèi)油位高度之間的關(guān)系。但是由于實(shí)際中溫度、容器壁厚、容器壁油垢等等因素的影響，所得函數(shù)值與實(shí)際值之間存在差異。因此，模型二中保持積分模型中的方程形式，以罐體儲(chǔ)油量和相應(yīng)的罐內(nèi)油位高度兩組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用非線性擬合的方式來(lái)確定變量系數(shù)，建立起儲(chǔ)油

22、量值與油位高度之間的函數(shù)關(guān)系，建立非線性回歸模型。模型建立后將原表中的油位高度代入方程，得到計(jì)算的罐內(nèi)儲(chǔ)油量，與實(shí)際的儲(chǔ)油量進(jìn)行相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差的比較，并做出殘差圖。然后與積分建立的模型一進(jìn)行對(duì)比，選擇其中較好的作為最終模型。為了說(shuō)明保持原方程形式的好處，可以同時(shí)采用多項(xiàng)式擬合，并進(jìn)行比較。2）模型的建立：由假設(shè)4知，同一狀態(tài)下同一儲(chǔ)油罐進(jìn)出油時(shí)同一儲(chǔ)油量對(duì)應(yīng)同一油位高度。故分別將無(wú)變位和有變位情況下進(jìn)油、出油兩張表格的數(shù)據(jù)綜合在一起考慮。運(yùn)用非線性擬合方法，對(duì)無(wú)變位和有變位兩種情況的儲(chǔ)油量和罐內(nèi)油位高度進(jìn)行擬合，得到儲(chǔ)油量和油位高間的函數(shù)關(guān)系。擬合采用matlab7.1編程實(shí)現(xiàn)。首先，做出

23、無(wú)變位與有變位情況下罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度之間的散點(diǎn)圖。由散點(diǎn)圖可以看出兩種情況下的曲線都是近似是一條直線，但是仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)曲線更像一個(gè)s形，只是彎曲比較緩和。 圖4 無(wú)變位數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖 圖5 有變位數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖在無(wú)變位情況下，對(duì)保持原方程形式和多項(xiàng)式兩種類型做非線性擬合，采用matlab7.1編程。得到如下的擬合曲線圖、擬合殘差圖和相應(yīng)的系數(shù)區(qū)間估計(jì)表。圖6 無(wú)變位原形式擬合曲線圖圖7 無(wú)變位多項(xiàng)式擬合曲線圖 圖8無(wú)變位原形式擬合殘差圖 圖9 無(wú)變位多項(xiàng)式擬合殘差圖表5無(wú)變位進(jìn)出油殘差平方和表殘差平方和（q值）無(wú)變位原形式擬合3.053920777456220e-004無(wú)變位多項(xiàng)式擬合0.2045

24、由擬合曲線圖來(lái)看，兩種擬合方式都和散點(diǎn)圖的形式比較接近，幾乎不能判斷那個(gè)更好。但是從殘差圖可以看出，保持原方程形式擬合得到的函數(shù)的殘差值最大為，即6l，而用多項(xiàng)式擬合得到的函數(shù)的殘差值大部分都超出了，即50l。進(jìn)一步對(duì)殘差求平方和，如表10，可以直觀的看出無(wú)變位原形式擬合的q值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于多項(xiàng)式擬合的q值。很明顯保持原方程形式擬合比用多項(xiàng)式擬合要好，殘差更小。接著看參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，兩種擬合得到的參數(shù)估計(jì)都沒(méi)有跨零點(diǎn)，都是可行的。但是保持原方程形式的擬合的參數(shù)區(qū)間比直接用多項(xiàng)式擬合的參數(shù)區(qū)間在95%下的置信區(qū)間更小，更精確。這也從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明保持原方程形式進(jìn)行估計(jì)的優(yōu)越性。表6 無(wú)變位擬合系

25、數(shù)區(qū)間估計(jì)表點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（ci）系數(shù)beta1-3.71336819256704-3.73685191875188-3.68988446638220系數(shù)beta23.253766483829453.227341718628733.28019124903018系數(shù)beta3-0.64259516192071-0.65383225075641-0.63135807308501系數(shù)beta45.510529179374985.465894506369695.55516385238027表7 無(wú)變位多項(xiàng)式擬合系數(shù)區(qū)間估計(jì)表點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（ci）系數(shù)beta1-0.2984-0.3910-0.2058

26、系數(shù)beta24.30234.18194.4228系數(shù)beta3-0.4748-0.5101-0.4395于是將采用保持原方程形式擬合得到的函數(shù)值與實(shí)際值進(jìn)行相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差的分析。表8 無(wú)變位進(jìn)、出油時(shí)擬合值與實(shí)測(cè)值之間的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差流水號(hào)油位高度/mm實(shí)測(cè)油量/l理論值/l絕對(duì)誤差/l相對(duì)誤差11159.02312.0030751.75%12176.14362.0035930.88%13192.59412.0041110.35%14208.5462.0046200.02%15223.93512.00513-1-0.17%16238.97562.00564-2-0.28%17253.

27、66612.00614-2-0.34%18268.04662.00664-2-0.36%181193.94416.1941510.32%182177.54366.1936330.83%183160.48316.1931151.67%184142.62266.1925883.06%從表格數(shù)據(jù)可以看出，絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差比用積分模型求得時(shí)都要小的多。此時(shí)函數(shù)方程為：有變位情況情況下，對(duì)保持原方程形式和多項(xiàng)式兩種類型做非線性擬合，采用matlab7.1編程。得到如下的擬合曲線圖、擬合殘差圖和相應(yīng)的系數(shù)區(qū)間估計(jì)表。 圖10 有變位積分形式擬合曲線圖 圖11 有變位多項(xiàng)式擬合曲線圖 圖12 有變位原形式

28、擬合殘差圖 圖13 有變位多項(xiàng)式擬合殘差圖表9 有變位殘差平方和表殘差平方和（q值）有變位擬合0.00120692524768有變位多項(xiàng)式擬合0.01744749705805表10 有變位擬合系數(shù)區(qū)間估計(jì)表點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（ci）系數(shù)beta14.163119588513984.126134707723494.20010446930447系數(shù)beta2-0.71234751200793-0.87422534196807-0.55046968204780系數(shù)beta33.769101271759143.426363487118904.11183905639937系數(shù)beta4-4.52713025

29、398059-4.81653856996605-4.23772193799512表15 傾斜變位進(jìn)、出油時(shí)擬合值與實(shí)測(cè)值對(duì)比流水號(hào)油位高度/mm實(shí)測(cè)油量/l擬合油量/l絕對(duì)誤差/l相對(duì)誤差211411.29962.86959.26-3.600.37%212423.451012.861004.69-8.170.81%213438.331062.861061.01-1.850.17%214450.541112.861107.80-5.060.45%241773.432462.732460.11-2.620.11%242785.392512.732511.79-0.940.04%243796.042

30、562.732557.72-5.010.20%244808.272612.732610.34-2.390.09%245820.802662.732664.091.360.05%246832.802712.732715.372.640.10%247844.472762.732765.032.300.08%248856.292812.732815.082.350.08%249867.602862.732862.70-0.030.00%317941.543164.743165.220.480.02%318929.693114.743118.023.280.11%319916.443064.74306

31、4.58-0.160.01%320904.143014.743014.41-0.330.01%321891.902964.742964.00-0.740.02%322879.232914.742911.37-3.370.12%323868.992864.742868.543.800.13%324855.132814.742810.18-4.560.16%325844.022764.742763.12-1.620.06%表11 有變位多項(xiàng)式擬合區(qū)間估計(jì)表點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（ci）系數(shù)beta1-0.04528568475372-0.131576485309820.04100511580238系數(shù)be

32、ta24.255281424118694.129732540811494.38083030742589系數(shù)beta3-0.80984328683293-0.85346611262622-0.76622046103963由擬合曲線圖來(lái)看，兩種擬合方式都和散點(diǎn)圖的形式比較接近，幾乎不能判斷那個(gè)更好。但是從殘差圖可以看出，保持原方程形式擬合得到的函數(shù)的殘差值最大為，即10l，而用多項(xiàng)式擬合得到的函數(shù)的殘差值大部分都超出了，即40l。進(jìn)一步對(duì)殘差求平方和，如表21，可以直觀的看出無(wú)變位原形式擬合的q值小于多項(xiàng)式擬合的q值，說(shuō)明保持原方程形式擬合比用多項(xiàng)式擬合要好。得到函數(shù)關(guān)系式： （3）4.4對(duì)罐容表

33、進(jìn)行標(biāo)定用（3）對(duì)間隔為1cm的油位高度標(biāo)定。即當(dāng)油高分別為1cm、2cm、120cm時(shí)對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)油量。用matlab7.1計(jì)算得到表12 間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值油高/cm12345678910油量/l0001.36.914.423.734.646.960.6油高/cm11121314151617181920油量/l75.691.9109.3127.8147.3167.8189.3211.8235.1259.2油高/cm21222324252627282930油量/l284.2310336.5363.7391.7420.3449.6479.5510.1541.2油高/cm3132333435

34、3637383940油量/l572.9605.2638671.3705.1739.4774.1809.4845881.1油高/cm41424344454647484950油量/l917.6954.5991.81029.41067.41105.71144.41183.41222.71262.3油高/cm51525354555657585960油量/l1302.21342.31382.71423.41464.31505.41546.71588.316301672油高/cm61626364656667686970油量/l1714.11756.31798.71841.318841926.81969.7

35、2012.72055.82098.9油高/cm71727374757677787980油量/l2142.22185.42228.722722315.42358.724022445.32488.62531.7油高/cm81828384858687888990油量/l2574.82617.82660.72703.52746.12788.52830.82872.82914.62956.2油高/cm919293949596979899100油量/l2997.53038.43079.13119.33159.23198.63237.632763313.93351.3油高/cm101102103104105

36、106107108109110油量/l3387.93423.93459.23493.63527.23559.93591.63622.23651.63679.8油高/cm111112113114115116117118119120油量/l3706.737323755.93777.93798.23816.53832.53846.33857.43865.8五、問(wèn)題二積分模型的建立及變位參數(shù)的確定5.1模型的建立5.1.1計(jì)算變位后油位高度與無(wú)變位時(shí)的油位高度之間的關(guān)系。因?yàn)闄M向偏轉(zhuǎn)和縱向傾斜時(shí)相互獨(dú)立的，故依次考慮只發(fā)生傾斜、偏轉(zhuǎn)時(shí)油位高度、與無(wú)變位油位高度之間的關(guān)系，求出它們之間的增量、，由及增量

37、可得到無(wú)變位時(shí)油位高度。1)計(jì)算儲(chǔ)油罐圓柱體縱向傾斜角后油位高度與之間的關(guān)系。由問(wèn)題一的計(jì)算知所以縱向傾斜角油位高度變化增量為2)計(jì)算儲(chǔ)油罐直圓罐體橫向偏轉(zhuǎn)角油位高度與關(guān)系。 圖14偏轉(zhuǎn)角關(guān)系示意圖 圖15液面變化示意圖如圖14，儲(chǔ)油罐截面中心由位置繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度到，在圖15中表示旋轉(zhuǎn)前后油浮子的讀數(shù)變化。由幾何關(guān)系，不難得到所以橫向偏轉(zhuǎn)角時(shí)油位高度變化增量為3)計(jì)算儲(chǔ)油罐直圓部分縱向傾斜角、橫向偏轉(zhuǎn)角后油位高度，h為未發(fā)生偏轉(zhuǎn)和傾斜時(shí)的油位高度。因?yàn)槠D(zhuǎn)和傾斜都是轉(zhuǎn)化成無(wú)變位時(shí)的油位高度，所以等效計(jì)算的高度相等，即所以5.1.2無(wú)變位狀態(tài)下儲(chǔ)油罐儲(chǔ)油量與油高h(yuǎn)之間的關(guān)系：1).求無(wú)變位狀態(tài)下

38、圓柱體體積與h之間的關(guān)系如圖16,高度為時(shí)，圓柱體內(nèi)的儲(chǔ)油量為計(jì)算得儲(chǔ)油罐圓筒部分的總?cè)莘e為，2).求無(wú)變位狀態(tài)下儲(chǔ)油罐球冠體與h之間的關(guān)系 圖16無(wú)變位狀態(tài)下球冠體正視圖 圖17無(wú)變位狀態(tài)下球冠體正視圖側(cè)視圖如圖16建立坐標(biāo)系，設(shè)球冠部分球面半徑為r，切面圓半徑為r，圓心到球心距離為，球冠深度為，則有關(guān)系，球冠部分球面方程為，所以，容器內(nèi)液面高度為時(shí)，儲(chǔ)油罐兩端球冠體部分的體積為所以球冠部分總?cè)莘e為3)無(wú)變位狀態(tài)下儲(chǔ)油罐儲(chǔ)油量與油高h(yuǎn)之間的關(guān)系：所以，油量與油位高度、傾斜角、偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系為（4）5.1.3傾斜偏轉(zhuǎn)變位與之間的關(guān)系令（4）式中（r=1.5，r=1.625，=1），即可得到儲(chǔ)

39、油量v與油位高度、傾斜角、偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。5.2確定參數(shù)和由上面建立的積分模型知道，罐內(nèi)油量v是油位高度h的函數(shù)，而h又與油位高度、傾斜角、偏轉(zhuǎn)角相互關(guān)聯(lián)，因而罐內(nèi)油量v應(yīng)該是油位高度、傾斜角、偏轉(zhuǎn)角的多元函數(shù)關(guān)系式。但是實(shí)際所給只是油量v和油位高度h的數(shù)據(jù)，理論上要確定參數(shù)和是可行的，但由于油量v和油位高度h之間函數(shù)關(guān)系的復(fù)雜性，和的值并不能由函數(shù)方程直接求得。換另一種思路，可以把油量v和油位高度h的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行taylor展開(kāi)，將復(fù)雜的非線性函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，由大學(xué)微積分知識(shí)可知這種簡(jiǎn)化是可行的。從而可得到一個(gè)關(guān)于、和h的化簡(jiǎn)后的多項(xiàng)式函數(shù)。和是待定的系數(shù)，利用所給的數(shù)據(jù)用matlab

40、進(jìn)行非線性擬合，同時(shí)返回?cái)M合后的點(diǎn)估計(jì)，即函數(shù)系數(shù)項(xiàng)，這是關(guān)于和的函數(shù)，反解即可得到和。按照以上思路，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到最終的參數(shù)值為：=2.57，=4.82。5.3罐容表標(biāo)定：確定變位參數(shù)和后，由油位高度h可以得到無(wú)變位狀態(tài)下垂直油面高度h，這樣就得到了儲(chǔ)油量的標(biāo)定值。計(jì)算表格如下：表13 間隔為10cm的罐容表標(biāo)定油高/cm102030405060708090100油量/l425.48081622.7483084.0014779.8526683.0978768.53211012.7713394.0515892.0718487.81油高/cm1101201301401501601701801

41、90200油量/l21163.3223901.5626686.2329501.5632332.1435162.7437978.1340762.8943501.2446176.84油高/cm210220230240250260270280290300油量/l48772.6351270.6353651.7655895.6757980.5559882.9561577.5963037.1964232.2765131.015.4模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒅校瑢?duì)兩端球冠體的體積計(jì)算進(jìn)行了相應(yīng)的簡(jiǎn)化，將變位后的球冠體的體積仍然看成是無(wú)變位情況進(jìn)行積分，這樣雖然使得模型的建立相對(duì)變得簡(jiǎn)單和模型變得簡(jiǎn)潔，但同時(shí)可能降低

42、了模型的精確性和可信度。但是由上面的計(jì)算和表格可看出簡(jiǎn)化后的模型的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差都比較小。為了進(jìn)一步說(shuō)明這種簡(jiǎn)化是合理可行的，對(duì)實(shí)驗(yàn)所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。 圖18由公式4求得的理論值慘插圖 圖19多項(xiàng)式擬合殘差圖表14 多項(xiàng)式擬合系數(shù)區(qū)間估計(jì)表點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（ci）系數(shù)beta1-0.15167810096636-0.15254860866612-0.15080759326659系數(shù)beta21.136181292199591.129565651745621.14279693265356系數(shù)beta3-5.93514001307895-5.95421291445464-5.916067

43、11170326系數(shù)beta416.4899070458964916.4640790957235916.51573499606938系數(shù)beta57.424592403075827.408340945550447.44084386060119系數(shù)beta6-0.47605450932377-0.47981396603053-0.47229505261701運(yùn)用多項(xiàng)式擬合得到的函數(shù)的點(diǎn)估計(jì)都沒(méi)有跨零點(diǎn)，系數(shù)是可信的。殘差平方和q =2.718042890188523e-004，可見(jiàn)擬合的效果是比較好的?，F(xiàn)分別做出積分方程模型和擬合多項(xiàng)式模型的殘差圖，如下圖，比較兩殘差圖可以看出，用積分模型得到的

44、殘差最大為左右，而由擬合多項(xiàng)式得到的殘差最大為0.015，相對(duì)來(lái)說(shuō)比積分模型要大。這說(shuō)明積分模型是可靠的，對(duì)兩端球冠體的近似處理的可行且可靠的。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的評(píng)價(jià)：1）問(wèn)題一中建立的積分模型對(duì)縱向傾斜變位具有很強(qiáng)的適用性?？梢缘贸鋈我鈨A斜角度下儲(chǔ)油量與油位高度之間的函數(shù)關(guān)系。但是得出的理論值與實(shí)測(cè)值存在相對(duì)誤差，該誤差可能來(lái)源與測(cè)量誤差、溫度等外界因素影響，而積分模型沒(méi)有考慮這些因素，因此在函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上建立非線性回歸模型，得到回歸方程，經(jīng)檢驗(yàn)，此方程比積分方程更好地?cái)M合了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。2）問(wèn)題二中建立的積分方程得出了油量與油位高度、變位參數(shù)之間的關(guān)系，該模型函數(shù)關(guān)系過(guò)于復(fù)雜，

45、不利于求解。因此對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，積分過(guò)程中對(duì)兩端球冠油量不考慮變位帶來(lái)的影響，通過(guò)對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，并進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，得出這種簡(jiǎn)化是可行的。6.2模型的推廣：本文中針對(duì)各問(wèn)題建立的模型可以應(yīng)用推廣于解決其它類似問(wèn)題，如：?jiǎn)栴}一中的積分模型，該模型適用于任何傾斜或不傾斜的平頂直圓筒的體積計(jì)算。問(wèn)題一中的非線性回歸模型，該模型還可適用于其他的對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比處理和擬合預(yù)測(cè)等方面。七、參考文獻(xiàn)1蔣心亞，宗光，各種形狀封頭的圓筒形臥式容器在不同液面高度時(shí)液體體積計(jì)算的統(tǒng)一表達(dá)式，化學(xué)設(shè)備與管道，第39卷：30-34，20032田鐵軍，傾斜臥式罐直圓筒部分的容積計(jì)算，現(xiàn)代計(jì)量測(cè)試，第五期：32-3

46、6，19993劉衛(wèi)國(guó)，matlab程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用（第二版），北京：高等教育出版社，2006年7月4劉軍英 劉碧玉 韓旭里，微積分（上冊(cè)），北京：科學(xué)出版社，2008年7月第二版附錄附錄一：程序部分1.無(wú)變位原形式擬合的源程序代碼：x=textread(無(wú)變位進(jìn)出油油位高度.txt);y=textread(無(wú)變位進(jìn)出油總油量.txt);figureplot(x,y,-gd);title(原數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖)b0=0 0 0 0; %初始值beta1,r1,j1=nlinfit(x,y,myfun,b0);beta1 %擬合系數(shù)項(xiàng)ci1=nlparci(beta1,r1,j1) %輸出預(yù)測(cè)值、殘差及置信區(qū)間nlintool(x,y,myfun,b0); %繪制非線性擬合曲線圖figureplot(x,r1,-rp); %繪制殘差圖title(擬合殘差圖)hold onq1=sum