高中數(shù)學(xué)微分幾何測試題集錦(含答案)

1、微分幾何測試題（一）一填空題：（每小題2分，共20分） 向量具有固定方向，則=_t_。 非零向量滿足的充要條件是以該向量為切方向的曲線為平面曲線 設(shè)曲線在p點的切向量為，主法向量為，則過p由確定的平面是曲線在p點的_密切平面_。 曲線在點的單位切向量是，則曲線在點的法平面方程是_。 曲線在t = 1點處有，則曲線在 t = 1對應(yīng)的點處其撓率=_ -2_。 主法線與固定方向垂直的曲線是_ 一般螺線_ _ 如果曲線的切向與一固定方向成固定角，則這曲線的曲率與撓率的比是_常數(shù)_。 曲面在點的法線方程是_。二選擇填空題：（每小題3分，共30分） 11、若曲線的所有密切平面經(jīng)過一定點，則此曲線是_c_

2、。a、 直線 b、平面曲線 c、球面曲線 d、圓柱螺線 12、曲線在p(t)點的曲率為k , 撓率為，則下列式子_a_不正確。a、 b、 c、 d、 13、對于曲面的第一基本形式_d_。a、 b、 c、 d、 三計算與證明題：（22題14分，其余各9分）21、已知圓柱螺線，試求 在點的切線和法平面。 曲率和撓率。22、對于圓柱面，試求 的第一、第二基本形式； 在任意點處沿任意方向的法曲率； 在任意點的高斯曲率和平均曲率； 試證的坐標(biāo)曲線是曲率線。微分幾何測試題（二）一單項選擇題（210=20分）1若向量函數(shù)的終點在通過原點的一條直線上，則( )a 是定長的； b. 是定向的；c ； d. .2

3、對于向量函數(shù)，若，則( )a是定長向量； b.定長向量；c是定向向量； d.是定向向量.3設(shè)均為非零向量，且，則（ ）.線性相關(guān)；.線性無關(guān)；.可以由線性表示； d.可以由線性表示.4撓率曲率的曲線是( )a 半徑為4的圓； b.半徑為的圓；c半徑為2的圓； d.半徑為的圓.5空間曲線的形狀由( )決定a 由曲率和撓率； b. 僅由曲率；c 僅由撓率； d. 由參數(shù)的選取.6曲率是常數(shù)的曲線( )a 一定是直線； b. 一定是圓；c 一定是球面上的曲線； .答案a,b,c都不對.7設(shè)s 是球面， 則( )a s上每一點是雙曲點； b. s上每一點是拋物點；c s上的圓的指向球心； d. s上的

4、測地線的指向球心.8若曲面s在每一點的高斯曲率為，則它可以與半徑為( )的球面貼合a ； b. 2； c. ； d. 4.9圓柱螺線 在任一點的切線與軸的夾角( )a 為； b. ； c. 與有關(guān)； d. 與有關(guān).10設(shè)非直線的曲線c是曲面s: 上的測地線，則有( )a. c在每一點; b. c在每一點;c. c在每一點; d. c在每一點.一 判斷題（210=20分）1向量函數(shù)滿足，則必有一常向量，滿足. 2如果曲線 c: 的所有向徑共面，則必與某一固定向量垂直. 3曲線的形狀只由曲率和撓率決定. ( )4直紋面上的直母線一定是曲率線. （ ）5若曲面s與一個半徑為r的球面沿一個半徑為的圓c

5、相切，則c是s上的測地線. 6如果兩個曲面s與s之間的一個對應(yīng)關(guān)系， 使得它們在對應(yīng)點有相同的高斯曲率，則s與s 等距等價. 7設(shè)曲面s：=, 如果,則線是曲率線. （ ）8設(shè)曲面s：=，如果，則曲面上的所有曲線都是曲率線. 9 曲面上任意兩點的連線中，測地線段最短. （ ）10球面上的曲率線是大圓. （ ）二 計算題（104=40分）1求曲線c：=上在處的密切面方程.2已知曲線c：=（是弧長參數(shù)）的曲率和撓率分別是和,且是不為零的常數(shù)，求曲線：=的曲率和撓率.3求曲面 上的漸近線.4求圓環(huán)面 s：= (b+acos)cos , (b+acos)sin , a sin 上的橢圓點，雙曲點和拋物

6、點.三 證明題（102=20分）1證明：如果曲線的所有都經(jīng)過一個固定點，則曲線是以固定點為圓心的圓.2 設(shè)c是半徑為的球面上半徑為的圓，是曲率.證明： .b一 單項選擇題（210=20分）1設(shè)， 若 則 ( )a ； b. ； c. ； d. 為任意實數(shù).2設(shè)曲線c:滿足 則 ( )a. c是單位球面上的曲線； b. 是c的弧長參數(shù)；c. 變向量具有固定方向； d. 變向量具有固定長度.3若向量函數(shù)對于任意 都有. 則 ( )a. 是定向的向量； b. 是定長的向量；c. ； d. . 4可展曲面上每一點都是 ( )a. 橢圓點； b. 拋物點；c. 圓點； d. 平點.5若曲線c的曲率 則(

7、 )a. c是半徑為2的圓; b. c是半徑為的圓;c. c是半徑為的圓; d. c是半徑為的圓.6曲面上與線正交的曲線滿足 ( )a. ; b. ;c. ; d. .7設(shè)曲面s上一條非直線的曲線c是s上的測地線，則 ( )a c在每一點，； b. c在每一點,；c c在每一點，； d. c在每一點， .8在曲面s: 上，線的微分方程是( )a ； b. ；c ； d. .9若兩個曲面等距等價，則( )a.它們有相同的第一基本形式； b.它們有相同的第二基本形式；c它們有相同的第三基本形式； d.把其中一個經(jīng)過連續(xù)的彎曲變形，就能和另一個貼合.10若曲面s:上任一點，都有，則( )a參數(shù)曲線網(wǎng)

8、是漸近線網(wǎng)； b.參數(shù)曲線網(wǎng)是曲率線網(wǎng)；c參數(shù)曲線網(wǎng)是測地線網(wǎng)； d.答案a,b,c都不對.二 判斷題（210=20分）1.向量函數(shù)滿足 則必有一常向量，滿足.（ )2如果曲線 c: 的所有向徑共面，則c就在通過原點的一個平面上.（ ）3. 曲線 c： =與曲線：=在處有相同的曲率. （ ）4. 曲率是常數(shù)2的曲線一定是半徑為的圓. （ ） 5. 設(shè)s是平面， 則s上每一點，都有=0. ( ) 6. 球面上的圓的指向球心. ( ) 7. 可展曲面上沒有雙曲點. ( ) 8. 高斯曲率k0的曲面一定是某一條曲線的切線曲面. ( )9. 若曲面s與一個半徑為r的球面沿一個半徑為的圓c相切，則s在c

9、上每一點，沿著c的方向，都有， =. ( )10. 兩個常高斯曲率曲面一定等距等價. （ ）三 計算題（104=40分）1. 求曲線c：= , 的曲率和撓率.2. 設(shè)曲線c： =是平面曲線， 求.3. 求圓柱面 =在處的切平面方程，并說明，沿任意一條直母線，只有一個切平面.4. 求曲面s：=的高斯曲率.四 證明題（102=20分）1證明：如果一條曲線：=(s) (s是弧長參數(shù))的所有從切面都經(jīng)過一個固定點，則 的撓率和曲率之比是s的一次函數(shù).2證明：可展曲面上的直母線是曲率線.證明：如果可展曲面上有兩族直母線，則是平面.微分幾何測試題（三）一填空題：（每小題2分，共20分） 具有固定方向的充要

10、條件是_。 撓率_的曲線其副法向量是常矢。 曲線在點的主法向量是，則曲線在p點的從切面方程是 。 如果一曲線的主法線與一固定方向垂直，則這曲線的副法線與這固定方向 。 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是_。 6曲面上一曲線，如果它每一點的切方向都是主方向，則稱該曲線為_。7半徑為r的球面的高斯曲率k= .8. 一個曲面為可展曲面的充分必要條件是它的_恒等于零。9. 曲面上 坐標(biāo)網(wǎng)是平面上極坐標(biāo)網(wǎng)在曲面上的推廣。10在可展曲面上，測地三角形的三內(nèi)角之和 。二選擇填空題：（每小題3分，共30分） 1、圓柱螺線在點的切線為_。a、 b、 c、 d、 2、曲面的三個基本形式之間的關(guān)系為_。a、+2

11、h+k=0 b、-2h+k=0c、-2k+h=0 d、-2h-k=0 3、在直紋面（為單位向量）中，導(dǎo)線是腰曲線的充要條件是_。a、 b、 c、 d、 4、曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是_。a、m = 0 b、l = n = 0 c、m = f = 0 d、f = 0 5、下列曲面中_不是可展曲面。a、柱面 b、錐面 c、一條曲線的切線曲面 d、正螺面 6、曲面上， 不是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量。a、兩曲線的夾角 b、曲線的弧長c、曲面域的面積 d、在一點沿一方向的法曲率 7、曲面，是其單位法向量，下列第二類基本量的計算中， 是不正確的。a、n = b、n = c、n = d、n = 9、球面的坐標(biāo)曲線

12、構(gòu)不成 。a、正交的漸近網(wǎng) b、共軛網(wǎng) c、曲率線網(wǎng) d、半測地坐標(biāo)網(wǎng) 10、曲線在p點的基本向量是曲率為k(s) ,撓率為，則= 。a、 b、 c、 d、三計算題：（1、2題各10分，3題8分，共26 分）1、求螺線上點的曲率和撓率。2、確定螺旋面上的曲率線和在任一點的高斯曲率。四證明題：（每小題8分，共24分）1證明：如果曲線的所有密切平面垂直于某個固定直線，那么它是平面曲線。微分幾何測試題（四）一、填空題（每小題2分，共20分）1、變矢滿足的充要條件是_。2、曲線（c）上p點處的三個基本向量為、，則過p點由和確定的平面叫曲線（c）在p點的_。3、若曲線在各點的曲率_，則曲線是直線。4、曲

13、線穿過_和密切平面，但從不穿過_。5、一般螺旋線的切線和一固定方向成固定角，而它的主法線與這個固定方向_。6、兩個曲面間的變換是_的充要條件是適當(dāng)選擇參數(shù)后，它們有相同的第一基本形式。7、曲面在非直線的漸近曲線上每點處的切平面一定是漸近曲線的_。9、曲面的高斯曲率為k，測地曲率為可kg ，g是單連通曲面域，g的邊界是一條光滑閉曲線，則。二、選擇題（每小題3分，共30分）11、若曲面s上曲線（c）是平面曲線，則一定有_恒等于零。a、法曲率k n b、撓率 c、測地曲率k g d、曲率k12、在圓柱面上，圓柱螺線是_。a、平面曲線 b、曲率線 c、測地線 d、漸近線13在橢圓拋物面上，高斯曲率k_

14、。a、大于零 b、小于零 c、等于零 d、不確定14、設(shè)、是曲線（c）在一點的三個基本向量，則=_（k,分別表示曲線在該點的曲率和撓率）。a、k b、 c、 d、15、曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充分必要條件是_。a、f= 0 b、m = 0 c、f = m = 0 d、l = n = 016、曲面上的直線不一定是_。a、漸近線 b、曲率線 c、測地線 d、法截線19、下列直紋曲面中，_是可展曲面。a、錐面 b、單葉雙曲面 c、雙曲拋物面 d、撓曲線的主法線曲面三、解答與證明題(22題、24題各9分，其余各8分)21、求曲線(t) = t , t 2 , e t 在t = 0點的密切平面和主法線

15、。22、求曲線(t) = a (1sint) , a (1cost) ，b t 的曲率和撓率。23、證明：如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么這條曲線是直線或平面曲線。24、求拋物面z = a ( x2 + y2 ) 在 ( 0 ,0 ) 點的高斯曲率和平均曲率。25、證明撓曲線（c）的主法線曲面不是可展曲面。微分幾何試題（五）一填空題：（每小題2分，共20分） 變矢具有固定方向的充要條件是_。 設(shè)曲線（c）的參數(shù)表示是，s是弧長，則叫作曲線(c)的_。 如果曲線在各點的曲率_，則曲線是直線。 曲線在p點有撓率=3，則曲線在p點附近的形狀是_。 一般螺線的切線和一固定方向成固定角，而它的副

16、法線與這個固定方向_。 兩個曲面之間的變換是_的充要條件是適當(dāng)選擇參數(shù)后，它們有相同的第基本形式。 曲面的第一類基本量是e、f、g，第二類基本量是l、m、n。則曲面上曲率線的微分方程是 。 在曲面上非直線的測地線除了測地曲率為零的點以外，曲線的_重合于曲面的法線。 曲面上一點(非臍點)的主曲率是曲面在這點所有方向的法曲率中的_。 曲面上連接兩點p、q的_是曲面上連接p、q的曲線中弧長最短的曲線。二選擇填空題：(每小題3分，共30分) 11、若曲面s上曲線(c)恒有法曲率=0，則曲線一定是曲面上的_。 a、漸近曲線 b、平面曲線 c、曲率線 d、測地線 12、在圓柱面上，圓柱螺線是_。 a、平面

17、曲線 b、曲率線 c、測地線 d、漸近線 13、在曲面上的雙曲點，_。 a、大于零 b、小于零 c、等于零 d、不確定 14、設(shè)是曲線(c)在一點的三個基本向量，則=_。（分別表示曲線在該點的曲率和撓率）a、 b、 c、 d、 15、正螺面的第二基本形式是_。a、 b、c、 d、 16、曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是_。a、m=0 b、f=m=0 c、f=0 d、l=n=0 17、若曲面在其上某點處的兩個主曲率分別為2，則這點是曲面的_。a、橢圓點 b、雙曲點 c、拋物點 d、臍點 18、曲面在一點的單位法向量是，則在同一點的方向是主方向的充要條件是_。a、 b、存在方向使 c、存在方向使 d、 19、在下列直紋曲面中，_是可展曲面。a、雙曲拋物面