等腰三角形的性質(zhì)

1、1 1、探索等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）（、探索等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）（難點(diǎn)難點(diǎn)） 2 2、等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用（、等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用（重點(diǎn)重點(diǎn)） A BC 底邊底邊 腰腰 頂角頂角 底角底角 定義：定義：兩條邊相等兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形的三角形叫做等腰三角形. A B D C 等腰三角形的等腰三角形的兩兩個(gè)底角相等個(gè)底角相等. . BC 通過(guò)對(duì)折演示，你能發(fā)現(xiàn)什么？通過(guò)對(duì)折演示，你能發(fā)現(xiàn)什么？ 對(duì)折演示對(duì)折演示 用一張的長(zhǎng)方形紙片，試一試，通過(guò)折用一張的長(zhǎng)方形紙片，試一試，通過(guò)折 疊一次，剪一次，是否可以剪出一疊一次，剪一次，是否可以剪出一個(gè)個(gè)等腰等腰 三角形三角形呢？

2、呢？ 等腰三角形是一個(gè)等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形 猜想與論證猜想與論證 等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 已知：已知：ABC中，中，AB=AC 求證：求證：B= C 分析：分析：1.如何證明兩個(gè)角相等？如何證明兩個(gè)角相等？ 2.2.如何構(gòu)造兩個(gè)全等的如何構(gòu)造兩個(gè)全等的 三角形？三角形？ 猜想 A B C D 小組討論：小組討論：如何作輔助線？并用你作的輔助線證明如何作輔助線？并用你作的輔助線證明 A B C 則有則有112 2 D 1 2 證明：證明： 在在ABD和和ACD中中 ABAC 12 ADAD （公共邊） （公共邊） ABD ACD （SAS） BC （全

3、等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） 作頂角的平分線作頂角的平分線ADAD 作頂角的平分線作頂角的平分線 A B C 則有則有 BD CD D 在在ABD和和ACD中中 作底邊作底邊 的中線的中線ADAD ABAC BDCD ADAD （公共邊）（公共邊） ABD ACD （SSS） BC （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） 證明：證明： 作底邊的中作底邊的中線線 A B C 則有則有 ADBADC 90 D 在在RtABD和和RtACD中中 作底邊作底邊 的高線的高線AD ABAC ADAD （公共邊）（公共邊） RtABDRtACD （HL） BC （全等三角形對(duì)應(yīng)角

4、相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） 證明：證明： 作底邊的高線作底邊的高線 等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)1 1： 等腰三角形的兩個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角底角相等相等 注意：注意：等邊對(duì)等角是指等邊對(duì)等角是指 在在 三角形中三角形中 。 一個(gè)一個(gè) 一個(gè)一個(gè) 用符號(hào)語(yǔ)言表示為：用符號(hào)語(yǔ)言表示為： 在在ABC中，中， AB=AC B=C ( ）等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角 C A B （簡(jiǎn)寫成（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”） 2 2、等腰三角形一個(gè)角為等腰三角形一個(gè)角為7070, ,它的另外兩個(gè)角為它的另外兩個(gè)角為 _._. 3、等腰三角形一個(gè)角為等腰三角形一個(gè)角為100100, ,它的另外兩個(gè)角為它的另外

5、兩個(gè)角為_(kāi)._. 40 ，40 70,40或或55,55 1 1、等腰三角形一個(gè)頂角為、等腰三角形一個(gè)頂角為7070, ,其它兩個(gè)角為其它兩個(gè)角為_(kāi)._.55，55 4 4、等腰三角形的一個(gè)外角為、等腰三角形的一個(gè)外角為110110, ,它的頂角的度數(shù)為它的頂角的度數(shù)為 _._. 等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為3 3和和4 4，則它的另一邊長(zhǎng)為，則它的另一邊長(zhǎng)為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 7070或或 4040 3 3或或4 4 1010或或1111 剛才的證明除了能得到剛才的證明除了能得到BC 你還你還 能發(fā)現(xiàn)其它哪些重合的線段與角能發(fā)現(xiàn)其它哪些重合的線段與角? 重合的線段重合的線段重合的角重

6、合的角 A B D C ABAC BDCD ADAD B C. BAD CAD ADB ADC=90=90 等腰等腰三角形的三角形的性質(zhì)性質(zhì)2: 2: 等腰三角形等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線底邊上的高、中線及頂角的平分線互相重互相重 合合(等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一) (等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一) 等腰三角形等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線底邊上的高、中線及頂角的平分線互相互相 重合重合 性質(zhì)性質(zhì)2: 2: 用符號(hào)語(yǔ)言表示為：用符號(hào)語(yǔ)言表示為： 在在ABC中，中，AB =AC, 點(diǎn)點(diǎn) D在在BC上上 1、AD BC = ， = 。 2、AD是中線，是中

7、線， ， = 。 3、AD是角平分線，是角平分線， ， = 。 A B C D 121 2 1 2BDCD ADBC 1 2 ADBCBDCD 知一線得二線知一線得二線 “三線合一三線合一”可以幫助我們解決線段的垂直、相等可以幫助我們解決線段的垂直、相等 以及角的相等問(wèn)題。以及角的相等問(wèn)題。 畫(huà)出任意一畫(huà)出任意一 個(gè)等腰三角形的個(gè)等腰三角形的 底角平分線、腰底角平分線、腰 上的中線和高，上的中線和高， 看看它們是否重看看它們是否重 合？合？ A BC D E F A BC D 例例1 1、如圖，在如圖，在ABCABC中中 ，AB=ACAB=AC，點(diǎn)，點(diǎn)D D在在 ACAC上，且上，且BD=BC

8、=ADBD=BC=AD，求，求ABCABC各角的度數(shù)各角的度數(shù) 1、圖中有哪幾個(gè)等腰三角形、圖中有哪幾個(gè)等腰三角形？ A BC D x 2x 2x 2x ABC 、ABD、 BDC 2 2、有哪些相等的角？、有哪些相等的角？ ABC=ABC=ACB=ACB=BDC BDC 、 A=A=ABDABD 3 3、這兩組相等的角之間有什么、這兩組相等的角之間有什么 關(guān)系？關(guān)系？ BDC=2BDC=2 A A ABC+ACB+ A=180 已知：如圖，房屋的頂角已知：如圖，房屋的頂角BAC=100 , 過(guò)屋頂過(guò)屋頂A的立柱的立柱 AD BC , 屋椽屋椽AB=AC. 求頂架上求頂架上B、C、BAD、 C

9、AD的度數(shù)的度數(shù). A B D C BAD=CAD=50 BAD=CAD（等腰三角形頂角的平分線與底（等腰三角形頂角的平分線與底 邊上的高互相重合）邊上的高互相重合）. 又又ADBC， B=C= 180BAC=40(三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理) 解：在解：在ABC中中 AB=AC， B=C（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） 又BAC=100 等邊三角形等邊三角形 1 1、定義：三條邊都相等的三角形是、定義：三條邊都相等的三角形是 等邊三角形等邊三角形 2 2、性質(zhì)：等邊三角形的各個(gè)角都相等，各個(gè)、性質(zhì)：等邊三角形的各個(gè)角都相等，各個(gè) 邊都相等，并且每一個(gè)角都等于邊都相等，并且每一個(gè)角都等于60

10、60，也也 稱為正三角形稱為正三角形 等邊三角形也是軸對(duì)稱圖形，它有幾條對(duì)等邊三角形也是軸對(duì)稱圖形，它有幾條對(duì) 稱軸（稱軸（3 3條）條） A B C D 已知已知:如圖，如圖，AB=BC=CD=ED=EF. E F M N A=15，試求，試求 FEM的度數(shù)？的度數(shù)？ 7575 軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形 性質(zhì)一：兩個(gè)底角相等性質(zhì)一：兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)角）（等邊對(duì)角） 性質(zhì)二：頂角平分線、底邊上的中線、性質(zhì)二：頂角平分線、底邊上的中線、 和底邊上的高和底邊上的高互相重合互相重合（三線合（三線合 一一） 已知：如圖，已知：如圖， ABC中，中， ABC=50 , ACB=80 ,延長(zhǎng)延長(zhǎng) CB至至D,使使BD=BA,延長(zhǎng)延長(zhǎng)BC至至E,使使CE=CA .連結(jié)連結(jié)AD、AE. 求求D、E、DAE的度數(shù)的度數(shù) . A BC DE BD=CD D=DAB ABC=D+DAB D= ABC=250 1 2 _ CE=