人教版初中九年級下冊數(shù)學(xué)《28.2.2 應(yīng)用舉例（第3課時）》課件

1、人教版人教版 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 九九年級年級 下冊下冊 宜賓是國家級歷史文化名城宜賓是國家級歷史文化名城,大觀樓是其標(biāo)志性建筑之一大觀樓是其標(biāo)志性建筑之一 ( (如圖如圖) ).喜愛數(shù)學(xué)的小偉決定用喜愛數(shù)學(xué)的小偉決定用所學(xué)所學(xué)的知識測量大觀樓的高的知識測量大觀樓的高 度度,如圖所示如圖所示,他站在點他站在點B處利用測角儀測得大觀樓最高點處利用測角儀測得大觀樓最高點P的的 仰角為仰角為45,又前進了又前進了12 m到達點到達點A處處,測得點測得點P的仰角為的仰角為60.請請 你幫助小偉算一算大觀樓的高度你幫助小偉算一算大觀樓的高度( (測角儀的高度忽略不計測角儀的高度忽略不計,結(jié)果結(jié)果 保留整數(shù)保留整數(shù)

2、) ). 導(dǎo)入新知導(dǎo)入新知 圖圖圖圖 1. 正確理解正確理解方向角方向角、坡度坡度的概念的概念. 2. 能運用解直角三角形知識解決能運用解直角三角形知識解決方向角、方向角、坡度坡度 的問題的問題. 素養(yǎng)目標(biāo)素養(yǎng)目標(biāo) 3. 能夠解決與解直角三角形有關(guān)的能夠解決與解直角三角形有關(guān)的實際問題實際問題,如如 航海航空、建橋修路、測量技術(shù)、圖案設(shè)計等航海航空、建橋修路、測量技術(shù)、圖案設(shè)計等. 方向角的定義：方向角的定義： 指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的角的角 叫做叫做方向角方向角. . 北偏東北偏東30 南偏西南偏西45 30 45 B O A 東東西

3、西 北北 南南 探究新知探究新知 知識點 1方向角的有關(guān)問題方向角的有關(guān)問題 也叫西南方向也叫西南方向 探究新知探究新知 注意注意 （1）因為方向角是）因為方向角是指北或指南方向線與目指北或指南方向線與目 標(biāo)方向線所成的角，所以方向角通常都寫標(biāo)方向線所成的角，所以方向角通常都寫 成成“北偏北偏”, , “ “南偏南偏”, ,的形式的形式. . （2）解決實際問題時，可利用正）解決實際問題時，可利用正南、南、正北正北、 正西正西、正東正東方向線構(gòu)造直角三角形方向線構(gòu)造直角三角形來求解來求解. . （3）觀測點不同，所得的方向角也不同，）觀測點不同，所得的方向角也不同， 但各個觀測點的但各個觀測點

4、的南北方南北方向線是互相平行向線是互相平行的，的， 通常借助于此性質(zhì)進行通常借助于此性質(zhì)進行角度轉(zhuǎn)換角度轉(zhuǎn)換. . 例例1 如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏的北偏 東東65方向，距離燈塔方向，距離燈塔80 n mile的的A處，處， 它沿正南方向航行一段時間后，到達它沿正南方向航行一段時間后，到達 位于燈塔位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向上的方向上的B處，處， 這時，海輪所在的這時，海輪所在的B處距離燈塔處距離燈塔P有多有多 遠（結(jié)果取整數(shù)）？遠（結(jié)果取整數(shù)）？ 65 34 P B C A 探究新知探究新知 有關(guān)方向角的實際問題有關(guān)方向角的實際問題距離距離素養(yǎng)考點素養(yǎng)考點

5、 1 解：解：如圖如圖 ，在，在RtAPC中中， PC=PAcos（9065） =80cos25 800.91 =72.505. 在在RtBPC中，中，B=34， 因此，當(dāng)海輪到達位于燈塔因此，當(dāng)海輪到達位于燈塔P P的南偏東的南偏東34方向時，方向時， 它距離燈塔它距離燈塔P大約大約130n mile sin PC B PB ， 72.505 130 nmile . sinsin34 PC PB B 65 34 P B C A 探究新知探究新知 探究新知探究新知 歸納總結(jié)歸納總結(jié) 利用解直角三角形的知識解決實際問題的利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程一般過程是：是： （1）將實際問

6、題）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)（畫出平面圖形，轉(zhuǎn) 化為解直角三角形的問題）；化為解直角三角形的問題）； （2）根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去）根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解解 直角三角形直角三角形； （3）得到）得到數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題的答案；的答案； （4）得到）得到實際問題實際問題的答案的答案 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 美麗的東昌湖濱位于江北水城美麗的東昌湖濱位于江北水城,周邊景點密布周邊景點密布.如圖所示如圖所示，A、B 為湖濱的兩個景點為湖濱的兩個景點，C為湖心一個景點為湖心一個景點.景點景點B在景點在景點C的正東的正東， 從景點從景點A看看，景

7、點景點B在北偏東在北偏東75方向方向，景點景點C在北偏東在北偏東30方方 向向.一游客自景點一游客自景點A駕船以每分鐘駕船以每分鐘20 m的速度行駛了的速度行駛了10分鐘到達分鐘到達 景點景點C，之后又以同樣的速度駛向景點之后又以同樣的速度駛向景點B，該游客從景點該游客從景點C到景到景 點點B需用多長時間需用多長時間( (精確到精確到1分鐘分鐘) )? 解解: :根據(jù)題意根據(jù)題意,得得AC=2010=200( (m) ). 如圖所示如圖所示,過點過點A作作ADBC于點于點D. 在在RtADC中中, , , , DC=ACsin CAD=200sin 30=100. 在在RtADB中中, . .

8、 310030cos200cosCADACAD 75tan3100tanBADADBD -100 3tan75 100CBDB DC- . . ( (分分) ). . 例例2 海中有一個小島海中有一個小島A，它周圍，它周圍8海里內(nèi)海里內(nèi) 有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行， 在在B點測得小島點測得小島A在北偏東在北偏東60方向上，方向上， 航行航行12海里到達海里到達C點，這時測得小島點，這時測得小島A 在北偏東在北偏東30方向上，如果漁船不改變方向上，如果漁船不改變 航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？ B A C 60 素

9、養(yǎng)考點素養(yǎng)考點 2 探究新知探究新知 有關(guān)方向角的實際問題有關(guān)方向角的實際問題預(yù)測路線預(yù)測路線 30 解：解：過過A作作AFBC于點于點F， 則則AF的長是的長是A到到BC的最短距離的最短距離. . BDCEAF， DBA=BAF=60， ACE=CAF=30， BAC=BAFCAF =6030 =30. 北北 東東 A CB 60 30 D E F 探究新知探究新知 又又ABC =DBFDBA = 9060=30=BAC， BC=AC=12海里海里， ， 故漁船繼續(xù)向正東方向行駛，故漁船繼續(xù)向正東方向行駛， 沒有觸礁的危險沒有觸礁的危險 北北 東東 A CB 60 30 D E F 探究新知

10、探究新知 8392.1036 cos306 3AFAC ( (海里海里) )， 如圖所示，如圖所示，A、B兩城市相距兩城市相距200km. .現(xiàn)計劃在這兩座城市間現(xiàn)計劃在這兩座城市間 修筑一條高速公路修筑一條高速公路( (即線段即線段AB) )，經(jīng)測量，森林保護中心，經(jīng)測量，森林保護中心P在在 A城市的北偏東城市的北偏東30和和B城市的北偏西城市的北偏西45的方向上已知森的方向上已知森 林保護區(qū)的范圍在以林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，點為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域為半徑的圓形區(qū)域 內(nèi)，請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)內(nèi)，請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū) ( (參考

11、數(shù)據(jù)參考數(shù)據(jù)： 1.732， 1.414) )?32 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 北北 東東 解：解：過點過點P作作PCAB于點于點C 則則APC30，BPC45， ACPCtan30，BCPCtan45. ACBCAB， PC tan30PC tan45200， 即即 ， 解得解得 PC126.8km100km. 答：答：計劃修筑的這條高速公路不會計劃修筑的這條高速公路不會 穿越保護區(qū)穿越保護區(qū) C 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 200 3 3 PCPC 解直角三角形有廣泛的應(yīng)用，解決問題時，要根據(jù)實際解直角三角形有廣泛的應(yīng)用，解決問題時，要根據(jù)實際 情況靈活運用相關(guān)知識，例如，當(dāng)我們要測量如圖所示大壩情況靈活運

12、用相關(guān)知識，例如，當(dāng)我們要測量如圖所示大壩 或山或山的高度的高度h時，時，我們無法直接測量我們無法直接測量，我們又該如何呢？我們又該如何呢？ h h l l 知識點 2坡度、坡角有關(guān)的問題坡度、坡角有關(guān)的問題 探究新知探究新知 【思考思考】如圖，從山腳到山頂有兩條路如圖，從山腳到山頂有兩條路AB與與BC， 問哪條路比較陡？問哪條路比較陡？ 如何用數(shù)量來刻畫哪條路陡呢？如何用數(shù)量來刻畫哪條路陡呢？ A B C 探究新知探究新知 坡角：坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡面與水平面的夾角叫做坡角坡角，用字母，用字母 表示表示. 坡度（坡比）：坡度（坡比）：坡面的鉛直高度坡面的鉛直高度h和水平距離和水平距

13、離l的比叫做的比叫做 坡度坡度，用字母，用字母 i 表示，如圖，坡度通常寫成表示，如圖，坡度通常寫成 的形式的形式. tan h i l h l 坡度越大坡度越大 坡角越大坡角越大 坡面越陡坡面越陡 探究新知探究新知 水平面水平面 坡面坡面 （1）斜坡的坡度是）斜坡的坡度是 ，則坡角，則坡角 =_度度. （2）斜坡的坡角是）斜坡的坡角是45 ，則坡比是 ，則坡比是 _. （3）斜坡長是）斜坡長是12米，坡高米，坡高6米，則坡比是米，則坡比是_. l h 30 1 : 1 1: 3 1: 3 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 完成下列各題完成下列各題: : 例例1 如圖，防洪大堤的橫截面是梯形如圖，防洪大堤的橫

14、截面是梯形 ABCD，其中，其中ADBC ，=60，汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面，汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面 坡角坡角=45若原坡長若原坡長AB=20m，求改造后的坡長，求改造后的坡長AE(結(jié)結(jié) 果保留根號果保留根號) 探究新知探究新知 利用坡度、坡角解答大壩問題利用坡度、坡角解答大壩問題素養(yǎng)考點素養(yǎng)考點 1 解：解：過點過點A作作AFBC于點于點F， 在在RtABF中，中， ABF =60， 則則AF=ABsin60= ( (m) )， 在在RtAEF中，中，E=45， 則則 ( (m) ). . 故改造后的坡長故改造后的坡長AE 為為 m. 10 3 10 6 s

15、in45 AF AE 10 6 F 探究新知探究新知 如圖，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處防洪大堤如圖，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處防洪大堤 ( (橫斷面為橫斷面為 梯形梯形ABCD) ) 急需加固，背水坡的坡角為急需加固，背水坡的坡角為45，高，高10米米 經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：沿背經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：沿背 水坡面用土石進行加固，并使上底加寬水坡面用土石進行加固，并使上底加寬 2米，加固后背水米，加固后背水 坡坡EF的坡比的坡比 求加固后壩底增加的寬度求加固后壩底增加的寬度AF. . ( (結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號) ) AB CDE F 45 鞏

16、固練習(xí)鞏固練習(xí) 3:1i 3:1i 10 32 1010 38AFFGAG ( (米米).). AB CDE F 45 GH 解：解：作作DGAB于于G，EHAB于于H， 則則GH=DE=2米，米，EH=DG=10米米. . 10 =10 3 tan EH FH Fi ( (米米) )， 10 32FGFHHG( (米米).). 又又AG=DG=10米，米， 故故加固后壩底增加的寬度加固后壩底增加的寬度AF為為 米米. . 10 38 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 3:1i 例例2 如圖，一山坡的坡度為如圖，一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡出發(fā)，沿山坡 向上走了向上走了240m

17、到達點到達點C.這座山坡的坡角是多少度？小剛上升這座山坡的坡角是多少度？小剛上升 了多少米（角度精確到了多少米（角度精確到0.01，長度精確到，長度精確到0.1m）？）？ i=1:2 探究新知探究新知 素養(yǎng)考點素養(yǎng)考點 2利用坡度、坡角解答山坡問題利用坡度、坡角解答山坡問題 在在RtABC中中，B=90，A=26.57， AC=240m， 解：解： 用用表示坡角的大小，由題意可得表示坡角的大小，由題意可得 因此因此 26.57. 答：答：這座山坡的坡角約為這座山坡的坡角約為26.57，小剛上升了約，小剛上升了約107.3 m 從而從而 BC=240sin26.57107.3（m） 因此因此si

18、n 240 BCBC AC ， 1 tan0.5 2 ， 探究新知探究新知 B A C i=1:2 如圖，小明周末上山踏青，他從山腳處的如圖，小明周末上山踏青，他從山腳處的B點出發(fā)時，測點出發(fā)時，測 得坡面得坡面AB的坡度為的坡度為1 : 2，走，走 米到達山頂米到達山頂A處這時，處這時， 他發(fā)現(xiàn)山的另一坡面他發(fā)現(xiàn)山的另一坡面AC的最低點的最低點C的俯角是的俯角是30請求出請求出 點點B和點和點C的水平距離的水平距離 520 A CB D 30 答案：答案：點點B和點和點C的水平距離為的水平距離為 米米. . 40+ 20 3 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) E 1.如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給

19、出的數(shù)據(jù)，求壩高如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高 和壩底寬（精確到和壩底寬（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)）參考數(shù)據(jù)： ， 連接中考連接中考 414. 12 .732.13 連接中考連接中考 解：解：在在RtCDE中中， ， ， DC DE C sin )(714 2 1 30sinmDCDE CD CE C cos EF=AD=6m，AF=DE=7m.四邊形四邊形AFED是矩形，是矩形， 答：答：該壩的壩高和壩底寬分別為該壩的壩高和壩底寬分別為7m和和25.1m 在在RtABF中，中，B=45，BF=AF=7m. BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1

20、（m） 12.12124.123714 2 3 30cosDCCE. . 2.如圖，如圖，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端 B出發(fā)，先沿水平方向向右行走出發(fā)，先沿水平方向向右行走 20 米到達點米到達點C，再經(jīng)過一段坡度，再經(jīng)過一段坡度 （或坡比）為（或坡比）為 i=1：0.75、坡長為、坡長為10 米的斜坡米的斜坡CD 到達點到達點 D，然，然 后再沿水平方向向右行走后再沿水平方向向右行走40 米到達點米到達點 E（A，B，C，D，E均在均在 同一平面內(nèi)）在同一平面內(nèi)）在E處測得建筑物頂端處測得建筑物頂端A的仰角為的仰角為24，則

21、建筑，則建筑 物物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin240.41，cos240.91， tan24=0.45）（）（） A21.7米米 B22.4米米 C27.4米米 D28.8米米 A 連接中考連接中考 1. 如圖，如圖，C島在島在A島的北偏東島的北偏東50方向，方向，C島在島在B島島 的北偏西的北偏西40方向，則從方向，則從C島看島看A，B兩島的視角兩島的視角 ACB等于等于 90 基 礎(chǔ) 鞏 固 題基 礎(chǔ) 鞏 固 題 課堂檢測課堂檢測 2. 如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測到處觀測到 燈塔燈塔M在北偏東在北偏

22、東60方向上，航行半小時后到達方向上，航行半小時后到達B處，此時觀處，此時觀 測到燈塔測到燈塔M在北偏東在北偏東30方向上，那么該船繼續(xù)航行到達離燈方向上，那么該船繼續(xù)航行到達離燈 塔距離最近的位置所需的時間是（塔距離最近的位置所需的時間是（ ） A. 10分鐘分鐘 B. 15分鐘分鐘 C. 20分鐘分鐘 D. 25分鐘分鐘 B 課堂檢測課堂檢測 3. 如圖，海上如圖，海上B、C兩島分別位于兩島分別位于A島的正東和正北方向，一艘島的正東和正北方向，一艘 船從船從A島出發(fā)，以島出發(fā)，以18海里海里/ /時的速度向正北方向航行時的速度向正北方向航行2小時到達小時到達C 島，此時測得島，此時測得B島

23、在島在C島的南偏東島的南偏東43方向，則方向，則A、B兩島之間的兩島之間的 距離為距離為 ( (結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.1海里，海里，參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： sin43=0.68， cos43=0.73，tan43=0.93) ) 33.5海里海里 課堂檢測課堂檢測 水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高，壩高23m，斜坡，斜坡AB 的坡度的坡度i=1 3，斜坡，斜坡CD的坡度的坡度i=1 2.5，求：，求： ( (1) ) 斜坡斜坡CD的坡角的坡角 ( (精確到精確到 1) )； AD BC i=1:2.5 23 6 i=1:3 解：解： 斜坡斜坡CD的坡度的坡

24、度i = tan = 1 : 2.5=0.4，由計算器可，由計算器可 算得算得22.故故斜坡斜坡CD的坡角的坡角 為為22. 課堂檢測課堂檢測 能 力 提 升 題能 力 提 升 題 解：解：分別過點分別過點B , C作作BEAD于于E ，CFAD于于F ， 由題意可知由題意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在在RtABE中，中， 33 23 69 mAEBE. ( (2) ) 壩底壩底AD與斜坡與斜坡AB的長度的長度 ( (精確到精確到0.1m). ). EF A D BC i=1:2.5 23 6 i=1:3 1 3 BE i AE ， 課堂檢測課堂檢測 在在RtABE中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得 2222 692372.