上海市黃浦區(qū)20152016學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

1、2015-2016學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律得零分1橢圓x2+4y2=100的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_2已知直線l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是，則直線l的傾斜角為_3已知二元一次方程組的增廣矩陣是，則此方程組的解是_4行列式3的代數(shù)余子式的值為_5已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（4，1），C（3，6），則AC邊上的線BM所在直線的方程為_6已知直線l1的方程為3xy+1=0，直線l2的方程為2x+y3=0，則兩直線l1與l2的夾角是_7用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+n（nN，n1）

2、”時(shí)，由n=k（k1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是_8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入p的值是6，則輸出S的值是_9若圓C的方程為x2+y22ax1=0，且A（1，2），B（2，1）兩點(diǎn)的一點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，另一點(diǎn)在圓C的外部，則a的取值范圍是_10若，且存在，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_11已知直線l1過(guò)點(diǎn)P（1，4）且與x軸交于A點(diǎn)，直線l2過(guò)點(diǎn)Q（3，1）且與y軸交于B點(diǎn)，若l1l2，且，則點(diǎn)M的軌跡方程為_12如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P是以點(diǎn)C為圓心、3為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是_二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確

3、答案，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得4分，否則一律得零分13點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A（1b，1a）B（1a，1b）C（a，b）D（b，a）14若位于x軸上方、且到點(diǎn)A（2，0）和B（2，0）的距離的平方和為18的點(diǎn)的軌跡為曲線C，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則“”是“點(diǎn)P在曲線C上”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件15在圓x2+y22x6y=15內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則|AC|BD|的值為（）ABCD16對(duì)數(shù)列an，bn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1，bn+1an，bn

4、且，則稱a1，b1，a2，b2，為區(qū)間套下列選項(xiàng)，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（）ABCD三、解答題（本大題滿分56分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17已知兩直線l1：x+（m+1）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2垂直；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2平行18在直角ABC，C是直角，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，4），（2，4），圓E是ABC的外接圓（1）求圓E的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)M（4，10）且與圓E相切的直線的方程19已知是不平行的兩個(gè)向量，k是實(shí)數(shù)，且（1）用表示；（2）若，記，求f（k）及其最小值20在數(shù)列

5、an，且對(duì)任意nN，都有（1）計(jì)算a2，a3，a4，由此推測(cè)an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，求無(wú)窮數(shù)列bn的各項(xiàng)之和與最大項(xiàng)21已知點(diǎn)P是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PO（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）到Q，使得|OQ|=2|OP|，點(diǎn)Q的軌跡為曲線C2（1）求曲線C2的方程；（2）若點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是曲線C1的左、右焦點(diǎn)，求的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)P且不垂直x軸的直線l與曲線C2交于M，N兩點(diǎn)，求QMN面積的最大值2015-2016學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每題填對(duì)得4分，否則一律得

6、零分1橢圓x2+4y2=100的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求解【解答】解：橢圓x2+4y2=100化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得： =1，a=10，b=5，橢圓x2+4y2=100的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=20故答案為：202已知直線l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是，則直線l的傾斜角為【考點(diǎn)】直線的傾斜角【分析】設(shè)直線l的傾斜角為，0，），則tan=，即可得出【解答】解：設(shè)直線l的傾斜角為，0，），則tan=，=故答案為：3已知二元一次方程組的增廣矩陣是，則此方程組的解是【考點(diǎn)】系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組【分析】先利用增廣矩陣，寫出相應(yīng)的二元一次方程組，然后再求解即得【解答】解：由題意，方程組

7、解之得故答案為4行列式3的代數(shù)余子式的值為5【考點(diǎn)】三階矩陣【分析】寫出行列式的3的代數(shù)余子式，再計(jì)算，即可得到結(jié)論【解答】解：由題意，行列式3的代數(shù)余子式為=（3+2）=5故答案為：55已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（4，1），C（3，6），則AC邊上的線BM所在直線的方程為3x2y+2=0【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求直線方程【分析】由AC的點(diǎn)M（2，4），利用兩點(diǎn)式方程能求出AC邊上的線所在的直線方程【解答】解：AC的點(diǎn)M（2，4），AC邊上的線BM所在的直線方程為：=，整理，得3x2y+2=0，故答案為：3x2y+2=06已知直線l1的方程為3xy+1=0，直線l2的方程為2x+y3

8、=0，則兩直線l1與l2的夾角是【考點(diǎn)】?jī)芍本€的夾角與到角問(wèn)題【分析】設(shè)直線l1與l2的夾角的大小為，求出直線的斜率，則由題意可得tan=|=1，由此求得的值【解答】解：設(shè)直線l1與l2的夾角的大小為，則0，），由題意可得直線l1的斜率為3，直線l2的斜率為2，tan=|=1，解得=，故答案為：7用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+n（nN，n1）”時(shí)，由n=k（k1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是2k【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法【分析】觀察不等式左側(cè)的特點(diǎn)，分母數(shù)字逐漸增加1，末項(xiàng)為，然后判斷n=k+1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)即可【解答】解：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1，末項(xiàng)為；由n=k，末項(xiàng)為到n=k+1，末

9、項(xiàng)為，應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k故答案為2k8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入p的值是6，則輸出S的值是【考點(diǎn)】程序框圖【分析】由已知的程序框圖及已知p輸入6，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為n6，即n=1，2，5，模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的S值【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，S=0+21=；當(dāng)n=2時(shí)，S=+22=；當(dāng)n=3時(shí)，S=+23=；當(dāng)n=4時(shí)，S=+24=；當(dāng)n=5時(shí)，S=+25=；當(dāng)n=6時(shí)，退出循環(huán)，則輸出的S為：故答案為：9若圓C的方程為x2+y22ax1=0，且A（1，2），B（2，1）兩點(diǎn)的一點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，另一點(diǎn)在圓C的外部，則a的取值范圍是（，2）（1，+）【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【分析

10、】根據(jù)A，B與圓的位置關(guān)系討論列出不等式解出a【解答】解：（1）若A在圓內(nèi)部，B在圓外部，則，解得a2（2）若B在圓內(nèi)部，A在圓外部，則，解得a1綜上，a的取值范圍是（，2）（1，+）故答案為（，2）（1，+）10若，且存在，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1a2【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算【分析】根據(jù)得出11，再根據(jù)存在得出11，由此求出實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：，=，11，解得4a2；又存在，11，解得1a3；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1a2故答案為：1a211已知直線l1過(guò)點(diǎn)P（1，4）且與x軸交于A點(diǎn)，直線l2過(guò)點(diǎn)Q（3，1）且與y軸交于B點(diǎn)，若l1l2，且，則點(diǎn)M的軌跡方程為9x+6y+1=0【考點(diǎn)】軌

11、跡方程；向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義【分析】先設(shè)M（x，y），可討論l1是否存在斜率：（1）不存在斜率時(shí)，可求出A（1，0），B（0，1），從而由可以求出x=，即點(diǎn)M（），（2）存在斜率時(shí)，可設(shè)斜率為k，從而可以分別寫出直線l1，l2的方程，從而可以求出，這樣根據(jù)便可用k分別表示出x，y，這樣消去k便可得出關(guān)于x，y的方程，并驗(yàn)證點(diǎn)是否滿足該方程，從而便得出點(diǎn)M的軌跡方程【解答】解：設(shè)M（x，y），（1）若l1不存在斜率，則：l1垂直x軸，l2垂直y軸；A（1，0），B（0，1）；由得，（x1，y）=2（x，1y）；即；（2）若l1斜率為k，l2斜率為，則：l1：y4=k（x1），令y=0，x=

12、；l2：，令x=0，y=；由得，；消去k并整理得：9x+6y+1=0；點(diǎn)滿足方程9x+6y+1=0；綜（1）（2）知，點(diǎn)M的軌跡方程為9x+6y+1=0故答案為：9x+6y+1=012如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P是以點(diǎn)C為圓心、3為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是20，4【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系：以C為原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，這樣便可建立坐標(biāo)系，然后便可根據(jù)條件確定出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)題意設(shè)P（3cos，3sin），從而可求出的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便得出，這樣根據(jù)1cos1便可求出的取值范圍【解答】解：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，

13、以平行于AB的直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：；點(diǎn)P是以點(diǎn)C為圓心、3為半徑的圓上的任意一點(diǎn)；設(shè)P（3cos，3sin）；1cos1；2012cos84；的取值范圍為20，4故答案為：20，4二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得4分，否則一律得零分13點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A（1b，1a）B（1a，1b）C（a，b）D（b，a）【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程【分析】設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程組求解即可【解答】解：點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線x+y

14、=1對(duì)稱的點(diǎn)為（x，y），則，解得：，故選：A14若位于x軸上方、且到點(diǎn)A（2，0）和B（2，0）的距離的平方和為18的點(diǎn)的軌跡為曲線C，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則“”是“點(diǎn)P在曲線C上”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】由題意可得：（a+2）2+b2+（a2）2+b2=18，化為a2+b2=5，（b0）即可判斷出結(jié)論【解答】解：由題意可得：（a+2）2+b2+（a2）2+b2=18，化為a2+b2=5，（b0）“點(diǎn)P在曲線C上”“”，反之也成立“”是“點(diǎn)P在曲線C上”的充要條件故選：C15在圓x2+y22x

15、6y=15內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則|AC|BD|的值為（）ABCD【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，根據(jù)圖形可知，過(guò)點(diǎn)E最長(zhǎng)的弦為直徑AC，最短的弦為過(guò)E與直徑AC垂直的弦BD，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出ME的長(zhǎng)度，根據(jù)垂徑定理得到E為BD的點(diǎn)，在直角三角形BME，根據(jù)勾股定理求出BE，則BD=2BE，即可求出AC與BD的乘積【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x1）2+（y3）2=25，則圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑為5，根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示：由圖象可知：過(guò)點(diǎn)E最長(zhǎng)的弦為直徑AC，最短的弦為過(guò)E與直徑AC

16、垂直的弦，則AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|BD|=104=40故選：C16對(duì)數(shù)列an，bn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1，bn+1an，bn且，則稱a1，b1，a2，b2，為區(qū)間套下列選項(xiàng)，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（）ABCD【考點(diǎn)】數(shù)列的極限【分析】對(duì)于A，運(yùn)用數(shù)列的極限，即可判斷；對(duì)于B，運(yùn)用n=1時(shí)，兩區(qū)間的關(guān)系，即可判斷；對(duì)于C，運(yùn)用n=1時(shí)，判斷兩區(qū)間的關(guān)系，即可得到結(jié)論；對(duì)于D，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的極限的公式，計(jì)算即可得到結(jié)論【解答】解：對(duì)于A，（bnan）=21=10，故不構(gòu)成區(qū)間套；對(duì)于B，當(dāng)n=1時(shí)，a1，b1=，a2，b2=，

17、顯然不滿足a2，b2a1，b1，故不構(gòu)成區(qū)間套；對(duì)于C，當(dāng)n=1時(shí)，a1，b1=，a2，b2=，顯然不滿足a2，b2a1，b1，故不構(gòu)成區(qū)間套對(duì)于D，由1（）n1（）n+11+（）n+11+（）n，滿足an+1，bn+1an，bn；又（bnan）= 1（）n 1+（）n=11=0，故構(gòu)成區(qū)間套故選：D三、解答題（本大題滿分56分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17已知兩直線l1：x+（m+1）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2垂直；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2平行【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；直

18、線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系【分析】（1）利用兩直線垂直的充要條是 A1A2+B1B2=0，可得 1m+（1+m）2=0，由此求得解得m的值（2）由兩直線平行的充要條件是=，由此求得解得m的值【解答】解：（1）兩條直線l1：x+（1+m）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0，由兩直線垂直的充要條件可得 A1A2+B1B2=0，即 1m+（1+m）2=0，解得m=（2）由兩直線平行的充要條件可得=，即=，解得：m=118在直角ABC，C是直角，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，4），（2，4），圓E是ABC的外接圓（1）求圓E的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)M（4，10）且與圓E相切的直線的方程【考點(diǎn)】直線與

19、圓的位置關(guān)系【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出圓心坐標(biāo)和半徑即可得到結(jié)論（2）根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可【解答】解：（1）在直角ABC，C是直角，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，4），（2，4），AB是直徑，則AB的點(diǎn)（1，0），即圓心E（1，0），半徑R=|BE|=5，則圓E的方程為（x+1）2+y2=25（2）（4+1）2+102=12525，點(diǎn)M在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為x=4，到圓心的距離d=4（1）=5此時(shí)滿足直線和圓相切，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y10=k（x4），即kxy+104k=0，則圓心到直線的距離d=5，即|2k|=，

20、平方得44k+k2=1+k2，即4k=3，則k=，此時(shí)切線方程為3x4y+28=0，綜上求過(guò)點(diǎn)M（4，10）且與圓E相切的直線的方程為3x4y+28=0或x=419已知是不平行的兩個(gè)向量，k是實(shí)數(shù)，且（1）用表示；（2）若，記，求f（k）及其最小值【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】（1）=k+=k（）+，（2）利用（1）的結(jié)論，對(duì)取平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值【解答】解：（1）=k+=k（）+=（1k）+k（2）=2=1|2=（1k）+k2=4（1k）2+k22k（1k）=7k210k+4=7（k）2+f（k）=f（k）的最小值為=20在數(shù)列an，且對(duì)任意nN，都有（1）計(jì)算a2，a3，a4，

21、由此推測(cè)an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，求無(wú)窮數(shù)列bn的各項(xiàng)之和與最大項(xiàng)【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)列的函數(shù)特性【分析】（1）由，且對(duì)任意nN，都有可得a2=，a3=，a4=由此推測(cè)an的通項(xiàng)公式，an=再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出（2），可得bn=+9，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：無(wú)窮數(shù)列bn的各項(xiàng)之和Tn【解答】解：（1），且對(duì)任意nN，都有a2=，a3=，a4=由此推測(cè)an的通項(xiàng)公式，an=下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=成立；假設(shè)當(dāng)n=kN時(shí)，ak=則n=k+1時(shí)，ak+1=，因此當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，綜上：nN，an=成立（2），bn=（2）n=+9，無(wú)窮數(shù)列bn的各項(xiàng)之和Tn=+=+當(dāng)n=2k（kN）時(shí)，Tn=+，Tn單調(diào)遞減，因此當(dāng)n=2時(shí)，取得最大值T2=當(dāng)n=2k1（kN）時(shí)，Tn=，Tn單調(diào)遞增，且Tn0綜上可得：Tn的最大項(xiàng)為T2=21已知點(diǎn)P是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PO（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）到Q，使得|OQ|=2|OP|，點(diǎn)Q的軌跡為曲線C2（1）求曲線C2的方程；（2）若點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是曲線C1的左、右焦點(diǎn)，求的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)P且不垂直x軸的直線l與曲線C2交于M，N兩點(diǎn)，求QMN面積的最大值【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】（1）設(shè)Q（x，y），P（x，y），由=2，可得（x，y）=2（x，y），可得，代入曲線C1的方程可得