函數(shù)不等式解法2難題匯編.

1、不等式解法2難題匯編一選擇題（共5小題）1設函數(shù)f（x）的定義域是4，4，其圖象如圖，那么不等式的解集為（）A2，1B4，21，4C4，）2，0）1，）D4，）（1，）2已知函數(shù)，則不等式f（1x2）f（2x）的解集是（）ABCD3已知f（x）的定義在（0，3）上的函數(shù)，f（x）的圖象如圖所示，那么不等式f（x）cosx0的解集是（）A（0，1）（2，3）BCD（0，1）（1，3）4已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）的定義域為R，2f（x）2f（x）2，f（0）=8，則不等式1的解集為（）A（，0）B（0，+）C（1，+）D（，1）5設函數(shù)f（x）=x33x2+（8a）x5a，若存在唯一的正

2、整數(shù)x0，使得f（x0）0，則a的取值范圍是（）ABCD二填空題（共15小題）6定義：關于x的兩個不等式f（x）0和g（x）0的解集分別為（a，b）和，則稱這兩個不等式為對偶不等式如果不等式與不等式2x2+4xsin2+10為對偶不等式，且，則=7設函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是8若函數(shù)的定義域用D表示，則使f（x）0對xD均成立的實數(shù)k的范圍是9定義區(qū)間（c，d，c，d），（c，d），c，d的長度均為dc，其中dc則滿足不等式的x構成的區(qū)間長度之和為10若函數(shù)則不等式的解集為11若對一切x0恒成立，則a的取值范圍是12已知函數(shù)f（x）=ax2+xb（a，b均為正數(shù)），不等式f（x）0的解集記為P

3、，集合Q=x|2tx2+t，若對于任意正數(shù)t，PQ，則的最大值是13f（x）=x（xx），x為x的整數(shù)部分，g（x）=x1，當0x2012時，f（x）g（x）的解集為14xR，且x0不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 15已知數(shù)列an中a1=1，a2=2，當整數(shù)n1時，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）都成立，則S15=16已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是17設f（x）=x4tanx+2，x1，1，則關于a的不等式f（a21）+f（1a）4的解集為18已知則f（f（x）1的解集是19使得：Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn2006成立的最大正整數(shù)n的值為20已知常數(shù)a，bR，且不等式xal

4、nx+ab0解集為空集，則ab的最大值為三解答題（共6小題）21已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）當m=7時，求函數(shù)f（x）的定義域；（2）若關于x的不等式f（x）2的解集是R，求m的取值范圍22若不等式5x7|x+1|與不等式ax2+bx20同解，而|xa|+|xb|k的解集為空集，求實數(shù)k的取值范圍23已知不等式2|x3|+|x4|2a（）若a=1，求不等式的解集；（）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍24設函數(shù)f（x）=|xa|ax，其中a為大于零的常數(shù)（1）解不等式：f（x）0；（2）若0x2時，不等式f（x）2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍25（1）解不等

5、式：+2x5（2）解關于x的不等式：（aR）26設函數(shù)f（x）=e1x+lnxx2（I）若f（x）的定義域為（，+），解不等式f（x）0；（）證明：f（x）在區(qū)間（0，）上有唯一極值點不等式解法2難題匯編參考答案與試題解析一選擇題（共5小題）1（2013山東模擬）設函數(shù)f（x）的定義域是4，4，其圖象如圖，那么不等式的解集為（）A2，1B4，21，4C4，）2，0）1，）D4，）（1，）【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可得，f（x）小于0時，x的范圍；f（x）大于0時，x的范圍，；且根據(jù)正弦函數(shù)圖象可知，sinx大于0時，x（4，）（0，）；當sinx小于0時，x（，0），則把所求的式子化為f（x）與s

6、inx異號，即可求出不等式的解集【解答】解：由函數(shù)圖象可知：當f（x）0時，4x2，1x4，或當f（x）0時，2x1；而sinx中的x4，4，當sinx0時，x（4，）（0，）；當sinx0時，x（，0），0，轉化化為：，或 ，結合圖象得到x（4，）2，0）1，），所以所求不等式的解集為（4，）2，0）1，）故選C2（2011天津校級模擬）已知函數(shù)，則不等式f（1x2）f（2x）的解集是（）ABCD【分析】把原不等式化為，或，分別求出的解集和的解集，再取并集即得所求【解答】解：函數(shù)，則由不等式 f（1x2）f（2x）可得，或解得 x，解得 x1+ 或x1故原不等式的解集為，故選D3（2002北

7、京）已知f（x）的定義在（0，3）上的函數(shù)，f（x）的圖象如圖所示，那么不等式f（x）cosx0的解集是（）A（0，1）（2，3）BCD（0，1）（1，3）【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可得，f（x）小于0時，x大于0小于1；f（x）大于0時，x大于1小于3，；且根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知，cosx大于0時，x大于0小于；當cosx小于0時，x大于小于3，則把所求的式子化為f（x）與cosx異號，即可求出不等式的解集【解答】解：由函數(shù)圖象可知：當f（x）0時，0x1；當f（x）0時，1x3；而cosx中的x（0，3），當cosx0時，x（0，）；當cosx0時，x（，3），則f（x）cosx0，可化為：或即

8、或，解得：x3或0x1，所以所求不等式的解集為：（0，1）（，3），故選C4已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）的定義域為R，2f（x）2f（x）2，f（0）=8，則不等式1的解集為（）A（，0）B（0，+）C（1，+）D（，1）【分析】由題意可得到f（x）+f（x）1，而令g（x）=exf（x）1，從而可得到g（x）0，這便說明g（x）在R上為增函數(shù)，而可求得g（0）=7，從而便可得到g（x）g（0），這樣即可得出原不等式的解集【解答】解：2f（x）2f（x）=2f（x）+f（x）2；f（x）+f（x）1；令g（x）=exf（x）1，則g（x）=exf（x）+f（x）10；g（x）在R上為增

9、函數(shù)；f（0）=8；g（0）=f（0）1=7；由得，；g（x）g（0）；x0；即原不等式的解集為（0，+）故選：B5（2016秋唐山月考）設函數(shù)f（x）=x33x2+（8a）x5a，若存在唯一的正整數(shù)x0，使得f（x0）0，則a的取值范圍是（）ABCD【分析】設g（x）=x33x2+8x5，h（x）=a（x+1），在同一個坐標系中畫出它們的圖象，結合圖象找出滿足條件的不等式組解之即可【解答】解：設g（x）=x33x2+8x5，h（x）=a（x+1），g（x）=x26x+8=（x2）（x4），所以x4或者x2時函數(shù)遞增，2x4時遞減，并且g（1）=，g（2）=，g（3）=1，g（4）=，圖象如圖

10、，函數(shù)h（x）經過（1，0），要使存在唯一的正整數(shù)x0，使得f（x0）0，即g（x）h（x）有唯一正整數(shù)解，所以只要a0并且即解得；故選：A二填空題（共15小題）6（2014懷化三模）定義：關于x的兩個不等式f（x）0和g（x）0的解集分別為（a，b）和，則稱這兩個不等式為對偶不等式如果不等式與不等式2x2+4xsin2+10為對偶不等式，且，則=【分析】先設出不等式的對應方程兩個根為a、b，推出不等式的對應方程兩個根為a、b，利用韋達定理，求得關于的三角方程，根據(jù)的范圍求解即可【解答】解：不等式與不等式2x2+4xsin2+10為對偶不等式，設不等式的對應方程兩個根為a、b，則不等式2x2+

11、4xsin2+10對應方程兩個根為：所以即：tan2=因為，所以故答案為：7（2015海南模擬）設函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是3a1【分析】由于函數(shù)為分段函數(shù)，可分別討論當a0和a0兩種情況，進而求出實數(shù)a的取值范圍【解答】解：函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，當a0時，1，得0a1當a0時，1，解得a3，即3a0，故答案為：3a18（2013浙江模擬）若函數(shù)的定義域用D表示，則使f（x）0對xD均成立的實數(shù)k的范圍是k或k或k=1【分析】由f（x）0對xD均成立，分子分母同時大于0或者小于0，分類討論，可得結論【解答】解：k+1=0時，f（x）=0等價于2x100，x5，不滿足題意，舍去；2k1=0時，

12、f（x）=0等價于（3x2+7x14）（3x7）0，解得x（，）（，+），不滿足x，舍去；k1且k時，分子分母同號，可得（k+1）（2k1）0且判別式均小于0，可得k或k當系數(shù)對應成比例時，k=1時，f（x）=20，滿足題意故答案為：k或k或k=19（2013江蘇模擬）定義區(qū)間（c，d，c，d），（c，d），c，d的長度均為dc，其中dc則滿足不等式的x構成的區(qū)間長度之和為【分析】將原不等式轉化為一端為乘積，另一端為0，利用穿根法，計算即可求得不等式中的x構成的區(qū)間長度之和【解答】解：依題意，得0，即00，由a1a2x22（a1+a2）x+3=0，得其兩根為：x1，2=（其中=4（a1）2+）

13、，x3，x4=，或；不妨設a1a2，判斷一下四個根的大小，得到：，所以解集為：，區(qū)間長度=（）+（）=（）+=10（2009北京）若函數(shù)則不等式的解集為3，1【分析】先由分段函數(shù)的定義域選擇解析式，構造不等式，再由分式不等式的解法和絕對值不等式的解法分別求解，最后兩種結果取并集【解答】解：由由不等式的解集為x|3x1，故答案為：3，111（2010揚州二模）若對一切x0恒成立，則a的取值范圍是（，2【分析】轉化為函數(shù)y=|xa|與y=，通過函數(shù)的圖象，即可求出a的取值范圍【解答】解：轉化為函數(shù)y=|xa|與y=，由函數(shù)的圖象，y=，且x=2時y=0，可知a的取值范圍是（，2故答案為：（，212

14、（2016鹽城模擬）已知函數(shù)f（x）=ax2+xb（a，b均為正數(shù)），不等式f（x）0的解集記為P，集合Q=x|2tx2+t，若對于任意正數(shù)t，PQ，則的最大值是【分析】根據(jù)不等式解集對應的關系，得到2P，然后利用基本不等式進行求解即可【解答】解：不等式f（x）0的解集記為P，集合Q=x|2tx2+t，若對于任意正數(shù)t，PQ，2P，即f（2）0，則4a2b0，即12a，又由題意知，的最大值必是正數(shù)，則=（）1=（）（2a）2+=2=2=，即的最大值是，故答案為：13（2013潁泉區(qū)校級二模）f（x）=x（xx），x為x的整數(shù)部分，g（x）=x1，當0x2012時，f（x）g（x）的解集為1，2

15、012【分析】根據(jù)0x2012，分兩種情況考慮：當0x1時，x=0，可得出x1小于0，進而確定出f（x）=0，g（x）小于0，進而得到此時f（x）大于g（x），不合題意；當1x2012時，假設nxn+1，則x=n，表示出f（x），利用作差法判斷出f（x）g（x）的符合為負，可得出不等式f（x）g（x）的解集【解答】解：當0x1時，x=0，x10，f（x）=0，g（x）=x10，即f（x）g（x），不合題意；當1x2012時，假設nxn+1，則x=n，f（x）=n（xn），又g（x）=x1，f（x）g（x）=n（xn）x+1=（n1）xn2+1（n1）（n+1）n2+1=0，不等式f（x）g（x

16、）的解集為1，2012故答案為：1，201214（2012洞口縣校級模擬）xR，且x0不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 4a6【分析】不等式對于一切非零實數(shù)x均成立，可以先求出的最小值，然后利用|a5|+1小于這個最小值即可求解a的取值范圍【解答】解：當x0時，；當x0時，從而恒成立，所以不等式對于一切非零實數(shù)x均成立，可轉化為|a5|+12，即|a5|1即1a51所以4a6故答案為：4a615（2012五華區(qū)校級模擬）已知數(shù)列an中a1=1，a2=2，當整數(shù)n1時，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）都成立，則S15=211【分析】將n1時，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）轉化為：n1時，

17、an+1an=2，利用等差數(shù)列的求和公式即可求得答案【解答】解：數(shù)列an中，當整數(shù)n1時，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）都成立，Sn+1Sn=SnSn1+2an+1an=2（n1）當n2時，an是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列S15=14a2+2+a1=142+2+1=211故答案為：21116（2012盱眙縣校級模擬）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是【分析】根據(jù)分段函數(shù)g（x）的解析式作出其圖象，如圖所示再對x進行分類討論：當x時，g（x）是增函數(shù)，若；當x時，g（x）=，若，得出關于a的不等關系，最后綜上所述，即可得出實數(shù)a的取值范圍【解答】解：根據(jù)函數(shù)g（x）的解析式作出其圖象，如

18、圖所示當x時，g（x）是增函數(shù)，若，則，解得：1a0或a1；當x時，g（x）=，若，則，解得：a；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是故答案為：17（2012鐵東區(qū)校級模擬）設f（x）=x4tanx+2，x1，1，則關于a的不等式f（a21）+f（1a）4的解集為a|0a1【分析】令h（x）=x4tanx，x1，1，不等式可化為 h（a21）+h（1a）0再由由h（x）=x4tanx 是奇函數(shù)，定義域為1，1，不等式進一步化為 h（a21）h（a1）解不等式組求得a的范圍，即為所求【解答】解：令h（x）=x4tanx，x1，1，則 f（x）=h（x）+2，關于a的不等式f（a21）+f（1a）4 即

19、h（a21）+2+h（1a）+24，即 h（a21）+h（1a）0再由h（x）=x4tanx 是奇函數(shù)，定義域為1，1，可得不等式即 h（a21）h（1a）=h（a1），即 h（a21）h（a1）解得 0a1，故不等式的解集為 a|0a1，故答案為 a|0a118（2011富陽市校級模擬）已知則f（f（x）1的解集是【分析】分兩種情況考慮：當x大于等于0時，根據(jù)分段函數(shù)解析式可得f（x）=，化簡所求不等式的左邊，再根據(jù)也大于等于0，再根據(jù)f（x）=，可把所求不等式化為關于x的一元一次不等式，求出不等式的解集與x大于等于0求出交集，即為原不等式的解集；當x小于0時，根據(jù)分段函數(shù)解析式得出f（x）

20、=x2，而x2大于0，再根據(jù)f（x）=，可把所求不等式化為關于x的一元二次不等式，分解因式后，根據(jù)兩數(shù)相乘積大于0，可得兩因式同號，轉化為兩個不等式組，求出不等式組的解集，與x小于0求出交集，即為原不等式的解集，綜上，求出兩解集的并集即可得到所求不等式的解集【解答】解：當x0時，f（x）=，0，f（f（x）=f（）=，所求不等式化為1，解得x4，此時原不等式的解集為（4，+）；當x0時，f（x）=x2，x20，f（f（x）=f（x2）=，所求不等式可化為1，即（x+）（x）0，可化為或，解得：x或x，此時原不等式的解集為（，），綜上，原不等式的解集為故答案為：19（2006杭州校級模擬）使得：

21、Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn2006成立的最大正整數(shù)n的值為8【分析】令不等式左邊，即Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=t，根據(jù)Cnm=Cnnm，得到t=Cnn1+2Cnn2+3Cnn3+（n1）Cn1+nCnn，兩式相加根據(jù)組合數(shù)的公式可得2t=n2n+nCnn，進而得到此式子小于2006的2倍，驗證即可得到最大正整數(shù)n的值【解答】解：由題意令t=Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn，則有t=Cnn1+2Cnn2+3Cnn3+（n1）Cn1+nCnn，則可得2t=n2n+nCnn，故n2n+nCnn4012，驗證知，最大的n是8故答案為：820（2016秋滄州月考）已知常數(shù)a，b

22、R，且不等式xalnx+ab0解集為空集，則ab的最大值為e3【分析】由題意可得不等式xalnx+ab0解集為空集，即任意正數(shù)x，xalnx+ab0恒成立，即x+abalnx恒成立，a0是必然的，設曲線y=alnx的切線l與直線y=x+ab平行，求出切點，以及切線方程，可得x+abx+alnaa，abaa（2lna），構造函數(shù)f（x）=x2（2lnx），求出導數(shù)和單調區(qū)間，可得最大值，即可得到ab最大值【解答】解：不等式xalnx+ab0解集為空集，即任意正數(shù)x，xalnx+ab0恒成立，即x+abalnx恒成立，當題目條件成立時，a0是必然的，設曲線y=alnx的切線l與直線y=x+ab平行

23、，由=1，解得x=a，切點為（a，alna），則可以求得直線l方程為y=x+alnaa于是必有x+abx+alnaa，即b2aalna，當ab取得最大值時，必然b0，于是abaa（2lna），構造函數(shù)f（x）=x2（2lnx），導數(shù)f（x）=3x2xlnx，x0，當xe時，f（x）0，f（x）遞減；當0xe時，f（x）0，f（x）遞增則x=e時，取得極大值，也為最大值f（e）=e3（2lne）=（2）e=e故答案為：三解答題（共6小題）21（2016荊州模擬）已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）當m=7時，求函數(shù)f（x）的定義域；（2）若關于x的不等式f（x）2的解集是R

24、，求m的取值范圍【分析】（1）由題設知：|x+1|+|x2|7，解此絕對值不等式求得函數(shù)f（x）的定義域（2）由題意可得，不等式即|x+1|+|x2|m+4，由于xR時，恒有|x+1|+|x2|3，故m+43，由此求得m的取值范圍【解答】解：（1）由題設知：|x+1|+|x2|7，不等式的解集是以下不等式組解集的并集：，或，或，解得函數(shù)f（x）的定義域為（，3）（4，+）（2）不等式f（x）2即|x+1|+|x2|m+4，xR時，恒有|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，不等式|x+1|+|x2|m+4解集是R，m+43，m的取值范圍是（，122（2014甘肅二模）若不等式5x7|x+

25、1|與不等式ax2+bx20同解，而|xa|+|xb|k的解集為空集，求實數(shù)k的取值范圍【分析】先將“不等式5x7|x+1|”轉化為和兩種情況求解，最后取并集，再由“與不等式ax2+bx20同解”，利用韋達定理求得a，b，最后由“|xa|+|xb|k的解集為空集”求得“|xa|+|xb|”最小值即可【解答】解：得或得2x1 （3分）綜上不等式的解集為，又由已知與不等式ax2+bx20同解，所以解得（7分）則|xa|+|xb|xax+b|=|ba|=5，所以當|xa|+|xb|k的解為空集時，k5 （10分）23（2012商丘三模）已知不等式2|x3|+|x4|2a（）若a=1，求不等式的解集；

26、（）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍【分析】（）對于不等式 2|x3|+|x4|2，分x4、3x4、x3三種情況分別求出解集，再取并集，即得所求（）化簡f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，要使不等式的解集不是空集，2a大于f（x）的最小值，由此求得a的取值范圍【解答】解：（）對于不等式 2|x3|+|x4|2，若x4，則3x102，x4，舍去若3x4，則x22，3x4若x3，則103x2，x3綜上，不等式的解集為 （5分）（）設f（x）=2|x3|+|x4|，則f（x）=，f（x）1要使不等式的解集不是空集，2a大于f（x）的最小值，故 2a1，即a的取值范圍（，+） （10分）

27、24（2010蘇州模擬）設函數(shù)f（x）=|xa|ax，其中a為大于零的常數(shù)（1）解不等式：f（x）0；（2）若0x2時，不等式f（x）2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【分析】（1）把f（x）的解析式代入到f（x）0得到一個不等式，當x小于等于0時得到不等式不成立；當x大于0時，對不等式的兩邊分別平方，移項后利用平方差公式分解因式，分a大于1，a等于1，a大于0小于1三種情況分別求出不等式的解集即可；（2）把f（x）的解析式代入到f（x）2得到一個不等式，當a小于1大于01時，由0x2，得到ax2小于等于0，原不等式恒成立；當a大于1時，分兩種情況去掉絕對值號，然后把x等于2分別代入到化簡的不等式中

28、，得到關于a的兩個不等式，分別求出解集與a大于1求出交集即可得到實數(shù)a的范圍，綜上，把兩種情況求出的a的范圍求出并集即可得到所有滿足題意的a的范圍【解答】解：（1）不等式即為|xa|ax，若x0，則ax0，故不等式不成立；若x0，不等式化為（xa）2a2x2，即（1+a）xa（1a）xa0，當a1時，x或x（舍）；當a=1時，x；當0a1時，綜上可得，當a1時，不等式解集為x|x；當a=1時，不等式的解集為x|x；當0a1時，不等式解集為x|；（2）不等式即為|xa|ax2，若0a1，則當0x2時有ax20，故不等式|xa|ax2恒成立若a1，則xaax2或xa2ax對任意x0，2恒成立，即（1a）x+2a0或（1+a）xa20對任意x0，2恒成立，所以（1a）2+2a0或（1+a）2a20，解得a或a0，1綜上，實數(shù)a的取值范圍為（0，25（2015秋上海校級期中）（1）解不等式：+2x5（2）解關于x的不等式：（aR）【分析】（1）