力學第04章剛體定軸轉動

1、力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 本章內容：本章內容： 4.1 剛體和剛體的基本運動剛體和剛體的基本運動 4.2 力矩力矩 4.3剛體繞定軸轉動的轉動定律剛體繞定軸轉動的轉動定律 轉動慣量轉動慣量 4.4 繞定軸轉動剛體的動能繞定軸轉動剛體的動能 動能定理動能定理 4.5 動量矩和動量矩守恒定律動量矩和動量矩守恒定律 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 4.1 剛體和剛體的基本運動剛體和剛體的基本運動 剛體（剛體（rigid body）：受力時不改變形狀和體積的物體）：受力時不改變形狀和體積的物體 特殊的質點系，特殊的質點系， 理想化模型理想化模型形狀和體積不變化形狀和體

2、積不變化 在力作用下，組成物體的所有質點間的距離始終保持不變在力作用下，組成物體的所有質點間的距離始終保持不變 （ translational motion） 在運動過程中剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置都相互平行在運動過程中剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置都相互平行 （質心運動定理）（質心運動定理） c Fma 外 一、剛體運動的基本形式一、剛體運動的基本形式 A A A B B B 用質心代表用質心代表剛體的平動剛體的平動 平動平動 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 剛體的一般運動剛體的一般運動質心的平動質心的平動繞質心的轉

3、動繞質心的轉動+ A A 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 dt d d d 是矢量，是矢量， 方向用右手螺旋法則確定。方向用右手螺旋法則確定。 d 用角量用角量 x O P r v 角位置：角位置： ( ) t 角位移：角位移： )()( 0 tt 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 , , dt d d 00 zz 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 c )(2 2 1 0 2 0 2 2 00 0 tt t 當當 與質點的勻加速直與質點的勻加速直 線運動公式相似線運動公式相似 勻變速定軸轉動勻變速定軸轉動 vr a 切向分量切向分量 t dvd arr d

4、tdt 法向分量法向分量 2 2 n v ar r z v O P 4.繞定軸轉動剛體內各點的速度和加速度繞定軸轉動剛體內各點的速度和加速度 r dSr d d dS 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 一一.力矩力矩 4.2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量 v力力改變質點的運動狀態(tài)改變質點的運動狀態(tài)質點獲得加速度質點獲得加速度 v力矩力矩改變剛體的轉動狀態(tài)改變剛體的轉動狀態(tài) 剛體獲得角加速度剛體獲得角加速度 定義定義: FrM 為了描述力對物體轉動的作用效果為了描述力對物體轉動的作用效果 稱為力稱為力F對參考點對參考點O的力矩的力矩 Fr 決定。決定。方向：由方向：由

5、 大?。捍笮。?FrrFM sin r F M 1.力對點的力矩力對點的力矩 F r r M O A 注：合外力矩注：合外力矩 不是先求合力再求矩不是先求合力再求矩 應是先求各外力矩再求和應是先求各外力矩再求和 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 2. 力力 F 對對z 軸的力矩軸的力矩 sin)(FrFM z r F / F n F F h F A z hF rFhFrFFM z sin)( rF ( (力不在垂直于軸的平面內力不在垂直于軸的平面內) ) F ( (力力F F 在垂直于軸的平面內在垂直于軸的平面內) ) r力對定軸力矩的矢量形式力對定軸力矩的矢量形式 FrMZ （力

6、對軸的力矩只有兩個指向）（力對軸的力矩只有兩個指向） rFM Z 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 合外力矩不是先求合力再求矩應是先求合外力矩不是先求合力再求矩應是先求 各外力矩再求和各外力矩再求和 r TTRM i RTTRM i T T T T 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 O jiij MM j r i r i j d ij M ji M ij f ji f jijiji frfr jiij ff 0)( ijijijji frfrr 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 二二. 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 轉動慣量轉動慣量 kkkk amfF

7、第第 k個質元個質元 kkkk amfF切線方向切線方向 kkkkkkk ramrfrF 在上式兩邊同乘以在上式兩邊同乘以 rk kkk rrm 對所有質元求和對所有質元求和 )( 2 kk k k k k rmrfrF fk 內力矩之和為內力矩之和為0 0轉動慣量轉動慣量 J J rk 剛體的定軸轉動定律（剛體繞定軸轉動微分方程）剛體的定軸轉動定律（剛體繞定軸轉動微分方程） r與牛頓第二定律比較：與牛頓第二定律比較：amJFM, 外軸外 合外力矩合外力矩 amF 外 k F JM軸合外 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 JM軸合外 轉動定律轉動定律: :定軸轉動的剛體，定軸轉動的

8、剛體，其角加速度與其所受的對軸的合外其角加速度與其所受的對軸的合外 力矩成正比，與其轉動慣量成反比。力矩成正比，與其轉動慣量成反比。 2.合外力矩、轉動慣量和角加速度均合外力矩、轉動慣量和角加速度均。 amF1. 與與 地位相當，地位相當，m反映質點的平動慣反映質點的平動慣 性，性，J反映剛體的轉動慣性。反映剛體的轉動慣性。 MJ 3.對定軸轉動，力矩和角加速度只有兩個方向，可用對定軸轉動，力矩和角加速度只有兩個方向，可用 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 三三.轉動慣量轉動慣量（moment of inertia ） k kkr mJ 2 定義定

9、義 質量不連續(xù)分布質量不連續(xù)分布 r 質量連續(xù)分布質量連續(xù)分布 V mrJd 2 v確定轉動慣量的三個要素確定轉動慣量的三個要素: : (1)(1)總質量總質量 (2)(2)質量分布質量分布 (3)(3)轉軸的位置轉軸的位置 r J 與剛體的總質量有關與剛體的總質量有關 例如等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量例如等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量 L z O x dx M 2 0 2 0 2 3 1 ddMLx L M xxxJ LL 木鐵 JJ 剛體轉動慣性大小的量度剛體轉動慣性大小的量度v轉動慣量的物理意義轉動慣量的物理意義: 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 所以只有指出

10、剛體對某軸的轉動慣量才有意義所以只有指出剛體對某軸的轉動慣量才有意義 O L x dx M z 2 0 2 3 1 dMLxxJ L L O x dx M 2 2/ 2/ 2 12 1 dMLxxJ L L z r J 與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關 r J 與質量分布有關與質量分布有關 2 z JR dm 2 Rdm 2 mR 2 2 1 mRJ z dl O m R 圓環(huán)圓環(huán) R O m r dr 圓盤圓盤 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 1 ） 轉動慣量疊加轉動慣量疊加, 如圖如圖 A C z CBAz JJJJ 式中式中: 是是A球對球對z軸的轉動慣量軸的轉動慣量 A

11、J B J是是B棒對棒對z軸的轉動慣量軸的轉動慣量 c J是是C球對球對z軸的轉動慣量軸的轉動慣量 B 2 ） 平行軸定理平行軸定理 2 mhJJ cz z h 式中式中: 關于通過質心軸的轉動慣量關于通過質心軸的轉動慣量 c J m 是剛體質量是剛體質量, h 是是 c 到到 z 的距離的距離 z J 是關于平行于通過質心軸的一個軸的轉動慣量是關于平行于通過質心軸的一個軸的轉動慣量 C 有關轉動慣量計算的幾個定理有關轉動慣量計算的幾個定理 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 3） 垂直軸定理垂直軸定理 yxz JJJ i y i m 0 i x 對于薄板剛體對于薄板剛體, 薄板剛體

12、對薄板剛體對 z 軸的轉動慣量軸的轉動慣量 z J 等于對等于對 x 軸的轉動慣量軸的轉動慣量 x J 與對與對 y 軸的轉動慣量軸的轉動慣量 y J之和之和 y x z 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 常用的幾個轉動慣量常用的幾個轉動慣量 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 m r t s mrts 5.19一質量為一質量為 的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸 整個裝置架在光滑的固定軸承之上當物體從靜止釋放整個裝置架在光滑的固定軸承之上當物體從靜止釋放 內下降了一段距離內下降了一段距離 轉動慣量轉動慣量(用用 、

13、、 和和 表示表示) 。 的軸上，如圖所，軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為的軸上，如圖所，軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為 m O r ， 后，在時間后，在時間。試求整個輪軸的。試求整個輪軸的 T r T a mg 2 2 1 atS ) 1 2 ( 2 2 S gt mrJ 解：設繩子對物體解：設繩子對物體(或繩子對輪軸或繩子對輪軸)的拉力為的拉力為T， 則根據牛頓運動定律和轉動定律得：則根據牛頓運動定律和轉動定律得： 2分分 2分分 由運動學關系有：由運動學關系有： 2分分 由、式解得：由、式解得： 又根據已知條件又根據已知條件 v00 2分分 將式代入式得：將式代入式得： 2分分 maTmg

14、 JTr ra a ragm J 2 )( 2 2 t S a 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 M 1 m 2 m 21 mm 5.5 5.5 一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質量為一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質量為的定滑輪，繩的的定滑輪，繩的 和和的物體的物體( ( 繩與輪之間無相對滑動若某時刻滑輪沿逆時針繩與輪之間無相對滑動若某時刻滑輪沿逆時針 方向轉動，則繩中的張力方向轉動，則繩中的張力 (A) (A) 處處相等處處相等 (B) (B) 左邊大于右邊左邊大于右邊 (C) 右邊大于左邊右邊大于左邊 (D) 哪邊大無法判斷哪邊大無法判斷 兩端分別懸有質量為兩端分別懸有質量為) )，

15、如圖所示，如圖所示 C 21 mm JrTrT 12 12 TT , , 2 m向下加速運動向下加速運動, ,定滑輪作順時針加速轉動定滑輪作順時針加速轉動 （或逆時針減速轉動），（或逆時針減速轉動）， ， 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 R m1 m2 已知：已知： 滑輪滑輪M（看成勻質圓盤）半徑（看成勻質圓盤）半徑R 物體物體 m1 m2 求：求：a =? a m1g m2g 解：解： 11 m gTm a 22 Tm gm a 1212 ()m gm gmm a 12 12 mm ag mm 對否？對否？T1 T2 T 12 TT 否則滑輪勻速轉動，而物體加速運動否則滑輪勻速

16、轉動，而物體加速運動 T1 T2 111 m gTm a 222 Tm gm a 12 T RT RJ aR 轉動定律轉動定律 線量與角量關系 2 1 2 JMR 12 12 1 2 mm ag mmM M 1. 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 A B F 10/83已知：已知： mRkgmNFmRJ050. 0,0 . 8,10, 2 1 2 求：求： ? ? ? 2 1 T T 1 T 2 T Ra JRTRT maT maTF 21 2 1 解： NFT NFT srad mR F 4 5 2 6 5 3 /10 5 2 1 1 解得： R 力學第力學第04章剛體定軸轉動章

17、剛體定軸轉動 三、計算題三、計算題 5一軸承光滑的定滑輪，質量為一軸承光滑的定滑輪，質量為M2.00 kg，半徑為，半徑為R0.100 m，一根不能伸長，一根不能伸長 的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質量為的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質量為m5.00 kg的物體，如圖所示的物體，如圖所示 已知定滑輪的轉動慣量為已知定滑輪的轉動慣量為J 2 2 1 MR ，其初角速度，其初角速度 010.0 rad/s，方向垂直紙面向，方向垂直紙面向 里求：里求：(1) 定滑輪的角加速度的大小和方向； 定滑輪的角加速度的大小和方向； (2) 定滑輪的角速度變化到定滑輪的角速度變化到w0時，物

18、體上升的高度；時，物體上升的高度； (3) 當物體回到原來位置時，定滑輪的角速度的大小和方向當物體回到原來位置時，定滑輪的角速度的大小和方向 m M R 0 5解：解：(1) mgTma TRJ aR = mgR / (mR2J) RMm mg MRmR mgR 2 2 2 1 22 81.7 rad/s2 (2) 2 2 0 2 當當0 時，時， rad612. 0 2 2 0 物體上升的高度物體上升的高度h = R = 6.1210-2 m 方向垂直紙面向外方向垂直紙面向外 (3) 210.0 rad/s 方向垂直紙面向外方向垂直紙面向外. 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 剛

19、體剛體定軸轉動定律定軸轉動定律 MJ 軸外 amF 外 剛體到轉軸的轉動慣量剛體到轉軸的轉動慣量 2 i i i Jm r 剛體的剛體的角動量角動量 LJ mvp m 2 2 1 mvEk2 1 2 k EJ 剛體的剛體的轉動動能轉動動能 2 1 AM d rdFA B A 21kk AEE 動能定理動能定理 剛體的功剛體的功 0 t t IFdt 合外力合外21 12 21 tL tL MdtdLLL 軸 剛體的角動量定理剛體的角動量定理 0 p p 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 4.44.4剛體定軸轉動中的功和能剛體定軸轉動中的功和能 一一 、繞定軸轉動剛體的動能、繞定軸轉

20、動剛體的動能 z O i r i v i m Ni mmmm, 21 Ni rrrr , ,21 Ni vvvv , 21 的動能為的動能為 i m 2 2 1 iiki mEv 2 2 2 1 iir m 2 2 2 1 iikik rmEE 剛體的總動能剛體的總動能 2 2 2 1 iir m 2 2 1 J P 繞定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉動慣量與其繞定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉動慣量與其 角速度平方乘積的一半角速度平方乘積的一半 r結論結論 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 二、力矩的功二、力矩的功 O r F r d d 根據功的定義根據功的定義 sFA

21、dcosddrF drF （力矩做功的微分形式）（力矩做功的微分形式） 對一有限過程對一有限過程 2 1 d MA 若若 M = C )( 12 MA dM 力的累積過程力的累積過程力矩的空間累積效應力矩的空間累積效應 . P r 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 三、三、剛體定軸轉動剛體定軸轉動的動能定理的動能定理 合力矩功的效果合力矩功的效果 k EJd) 2 1 d( 2 ddMA d)d d d (J t J 對于一有限過程對于一有限過程 2 1 2 1 ) 2 1 d(d 2 JAA 2 1 2 2 2 1 2 1 JJ k E 繞定軸轉動剛體在任一過程中動能的增量，等于

22、在該過程中作用在剛體繞定軸轉動剛體在任一過程中動能的增量，等于在該過程中作用在剛體 上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉動剛體的上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉動剛體的動能定理動能定理 (1) 力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。 (3) 內力矩作功之和為零。內力矩作功之和為零。 r 討論討論 (2) 合力矩的功合力矩的功 i i i i i i AMMMA 2 1 2 1 2 1 d)d(d 外力矩功是剛體轉動動能改變的原因外力矩功是剛體轉動動能改變的原因 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 22 21 dddd dddd 11 22 MJJJJ tt AJJ -剛體繞

23、定軸轉動的動能定理剛體繞定軸轉動的動能定理 22 21 11 d 22 AFrmm vv -質點的動能定理質點的動能定理 比較比較: : 四、剛體的重力勢能四、剛體的重力勢能 pii Em gy ii m y Mg M iigy m任取一質元其勢能為任取一質元其勢能為 (以以O為參考點）為參考點） pC EMgyO X Y mi M C C v i y C y 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 六、機械能與機械能守恒六、機械能與機械能守恒 機械能機械能 = = 勢能勢能 + + 平動動能平動動能 + + 轉動動能轉動動能 剛體與質點組成的系統，機械能包括：剛體與質點組成的系統，機械

24、能包括： 機械能守恒條件：機械能守恒條件： 恒量 ) 2 1 2 1 ( 22 JmvmghE c 機械能機械能 = = 勢能勢能+ +平動動能平動動能+ +轉動動能轉動動能 = = 恒量恒量 剛體與質點組剛體與質點組 成系統的機械成系統的機械 能守恒定律能守恒定律 時 非保內外 0WW 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 例例 一根長為一根長為 l ，質量為，質量為 m 的均勻細直棒，可繞軸的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平在豎直平 面內轉動，初始時它在水平位置面內轉動，初始時它在水平位置 解解 cos 2 1 sin 2 1 mgllmggmrM c 00 dcos 2 dmg

25、l MA 由動能定理由動能定理 0 2 1 2 J 0sin 2 lmg l g sin3 2 2 3 1 mlJ l g sin3 求求 它由此下擺它由此下擺 角時的角時的 此題也可用機械能守恒定律方便求解此題也可用機械能守恒定律方便求解 O lm C x mg sin 2 0 1 l mgmghE 222 2 3 1 2 1 0 2 1 mlJE 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 R 4/M M B M 2 1 B 4/ 2 MRJ O B A 7.7.一輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的半徑為一輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的半徑為, ,質量為質量為 ，均勻分布在其邊緣

26、上繩子的，均勻分布在其邊緣上繩子的A A端有一質量為端有一質量為 了繩端，而在繩的另一端了繩端，而在繩的另一端系了一質量為系了一質量為 的重物，如圖所示，設人從靜止開始相對于繩勻速向上爬時，繩與的重物，如圖所示，設人從靜止開始相對于繩勻速向上爬時，繩與 滑輪間無相對滑動，求滑輪間無相對滑動，求端重物上升的加速度？端重物上升的加速度？( (已知滑輪對通已知滑輪對通 ) ) 的人抓住的人抓住 過滑輪中心且垂直于輪面的軸的轉動慣量過滑輪中心且垂直于輪面的軸的轉動慣量 O B Mg T2 T1 Mg 2 1 a a 解：受力分析如圖所示解：受力分析如圖所示 設重物的對地加速度為設重物的對地加速度為a

27、a，向上，向上. .則繩的則繩的A A端對地有端對地有 加速度加速度a向下，人相對于繩雖為勻速向上，但相對于地其加速度仍為向下，人相對于繩雖為勻速向上，但相對于地其加速度仍為a向下向下. 根據牛頓第二定律可得：根據牛頓第二定律可得： 對人：對人： 對重物：對重物： (T2T1)RJ MR2 / 4 因繩與滑輪無相對滑動，因繩與滑輪無相對滑動， a R 、四式聯立解得、四式聯立解得 a2g / 7 Ma 2 1 Mg 2 1 T 1 MaT-Mg 2 根據轉動定律，根據轉動定律， 對滑輪有對滑輪有 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 已知：如圖已知：如圖 求：求： m2下落時的角加速度

28、下落時的角加速度 O R1R2 M1M2 m2 m1 m1g m2g T1 T2 應用牛頓運動定律及轉動定律可得應用牛頓運動定律及轉動定律可得 2222 amTgm 1111 amgmT ) 2 1 2 1 ( 2 22 2 111122 RMRMJRTRT 2 a 1 a 22 11 Ra Ra 2 22 2 2 11 1 1122 ) 2 () 2 ( )( Rm M Rm M gRmRm 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 例例1。勻質圓盤，拉繩的加速度。勻質圓盤，拉繩的加速度=？時正好這盤盤旋在空中不動？時正好這盤盤旋在空中不動 設圓盤的質量設圓盤的質量m,半徑半徑R 首先它

29、是一個質點系，根據質心運動定理首先它是一個質點系，根據質心運動定理 相對地面靜止）( 0 mgT mamgT c 拉力拉力T相對于相對于O點有力矩，點有力矩，mg有力無矩有力無矩 T O 相當于繞固定軸轉動，則：相當于繞固定軸轉動，則： Ra mRTR ) 2 1 ( 2 ga2 mg 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 例例2。勻質直桿。勻質直桿m，輕繩掛著，每繩的拉力，輕繩掛著，每繩的拉力 瞬間燒斷，求瞬間燒斷，求T=? mg 2 1 O mg L T=? 根據質心運動定理根據質心運動定理 c maTmg 以以O為軸轉動，據轉動定理為軸轉動，據轉動定理 2 ) 3 1 ( 2 2

30、 L a mL L mg c gac 4 3 mgTmgTmg 4 1 4 3 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 剛體剛體定軸轉動定律定軸轉動定律 MJ 軸外 amF 外 剛體到轉軸的轉動慣量剛體到轉軸的轉動慣量 2 i i i Jm r 剛體的剛體的角動量角動量 LJ mvp m 2 2 1 mvEk2 1 2 k EJ 剛體的剛體的轉動動能轉動動能 2 1 AM d rdFA B A 21kk AEE 動能定理動能定理 剛體的功剛體的功 0 t t IFdt 合外力合外 21 12 21 tL tL MdtdLLL 軸 剛體的角動量定理剛體的角動量定理 0 p p 力學第力學第

31、04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 FrM dt pd r p dt rd pr dt d )(pvpr dt d )( )(pr dt d M 1 .角動量角動量 定義定義: Lrprmv 稱為一個質點對參考點稱為一個質點對參考點O的質點角動的質點角動 量或質點量或質點動量矩動量矩 sinsinLrpmrv 大?。捍笮。?vmr 決定。決定。方向：由方向：由 m L r p O L r vm 注意：注意：1）為表示是對哪個參考點的角）為表示是對哪個參考點的角 動量，通常將角動量動量，通常將角動量L畫在參考點上。畫在參考點上。 2）單位：）單位： 12 skgm 3）角動量的定義并沒有限定質點只

32、能作曲線運動或不能作直線運動。）角動量的定義并沒有限定質點只能作曲線運動或不能作直線運動。 4-3角動量和角動量守恒定律角動量和角動量守恒定律 一一. 質點角動量質點角動量 (動量矩動量矩)角動量守恒定律角動量守恒定律 A 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 例：自由下落質點的角動量例：自由下落質點的角動量 vm r o R r A 任意時刻任意時刻 t， 有有 2 2 1 tgr tgmvmp （1） 對對 A 點的角動量點的角動量 0 3 2 1 ggmtprLA Rrr （2） 對對 O 點的角動量點的角動量 prRprLO )(t gmRpR gR RmgtLO m 力學第力

33、學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 確定質點有無角動量，要看位矢是否存在繞參考點的轉動。確定質點有無角動量，要看位矢是否存在繞參考點的轉動。 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 質點的質點的角動量定理角動量定理 dL M dt dt Pd F 外 )(pr dt d M Lrprmv 2.質點的角動量定理質點的角動量定理(動量矩定理動量矩定理) (質點動量矩定理的微分形式質點動量矩定理的微分形式) LtM dd 合 12 d 2 1 LLtM t t 合 (質點動量矩定理的積分形式質點動量矩定理的積分形式) 質點所受合力矩的沖量質點所受

34、合力矩的沖量矩矩等于質點的動量等于質點的動量矩矩的增量的增量 r 說明說明 沖量矩是質點動量矩變化的原因沖量矩是質點動量矩變化的原因 質點動量矩的變化是力矩對時間的積累結果質點動量矩的變化是力矩對時間的積累結果 合力的沖量矩合力的沖量矩角動量的增量角動量的增量 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 3. 質點的角動量（動量矩）守恒定律質點的角動量（動量矩）守恒定律 常矢量，則若LM 0 點過 合 OF F M 0 0(1)(1) 守恒條件守恒條件 (2) 有心力的動量矩守恒。有心力的動量矩守恒。 討論討論 dL M dt 若對于某一參考點，質點所受合力矩為零，若對于某一參考點，質點所受

35、合力矩為零， 則質點對則質點對該參考點該參考點的角動量保持不變的角動量保持不變 - 質點的角動量守恒定律質點的角動量守恒定律 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 dd dd L FtPM t MtL d d LtMPtF t t t t dd 2 1 2 1 00FPML 常矢量常矢量 2 1 t t tF P F d 2 1 t t tM L M d 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 0Mrf 常常矢矢量量 L Lrm v sinsin r Lrmrm t v sin 2 2 rr m t t S m2常量常量 1 sin 2 Srr 2 L S t m = =常量常量

36、 m v r L 行星行星 m v r r S sinr L 太陽太陽 行星行星 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 近近 r 遠遠 r 近 v 3）、行星近地點速度大，在遠地點速度?。?、行星近地點速度大，在遠地點速度小 v遠 遠 v v r 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 *4.質點系的角動量定理質點系的角動量定理 mi mj m1 i F j F ji f ij f 0 i r j r 質點系角動量質點系角動量 1 () n iii i LLrp 第i i個質點角動量的時間變化率角動量的時間變化率 () i iiij ij dL rFf dt () iiiij ii

37、ij dL rFrf dt MM 外內 M 外ii i rF M 內 () iij iij rf 0 dL M dt 外 質點系的角動量定理質點系的角動量定理 0M 外 時時 質點系的角動量守恒質點系的角動量守恒 i i LL 常矢量 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 角動量守恒使地球自轉軸的方向在空間保持不變角動量守恒使地球自轉軸的方向在空間保持不變, 因而產因而產 生了季節(jié)變化生了季節(jié)變化. 北北 南南 北北 南南 角動量守恒的現象角動量守恒的現象: 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 天體系統的旋轉盤狀結構天體系統的旋轉盤狀結構 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體

38、定軸轉動 二二.剛體定軸轉動的角動量剛體定軸轉動的角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律 1. 剛體定軸轉動的動量矩剛體定軸轉動的動量矩(角動量角動量) r v O 質點對質點對 Z 軸的動量矩軸的動量矩 z 2 mrrmLZv m i m i r i v O 剛體上任一質點對剛體上任一質點對 Z 軸的動量矩為軸的動量矩為 2 iiiZi mrrmLv 且剛體上任一質點對且剛體上任一質點對 Z 軸的動量矩具有軸的動量矩具有 相同的方向相同的方向 i 2 iir m Z J (所有質元對所有質元對 Z 軸的動量矩之和軸的動量矩之和) ZZ JL i v iiiZ rmL Lrprmv 力學第力學第

39、04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 00 t 0 t L L MdtdLJJ MdtdLd(J) 0 t t0 JJMdt 00 t 0 t L L MdtdLJJ MdtdLd(J) d MJJ dt d( J)dL M dtdt 2.剛體定軸轉動的角動量定理剛體定軸轉動的角動量定理 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 )CJ(L.JL ,M dt Ld M 0 0 即即常常量量則則 中中，若若在在 )CJ(L.L ,M dt Ld M 0 0 即即常常量量則則 中中，若若在在 0 t t0 JJMdt 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 00 JJ, 00 0 則時，當,

40、JJM 0 dL MM, dt JC 在中，若 tJrm kk 2 常量tJ tJ tJ 花樣滑冰、跳水、芭蕾舞等?；踊?、跳水、芭蕾舞等。 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 茹可夫斯基轉椅 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 克服直升飛機機身反轉的措施：克服直升飛機機身反轉的措施： 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 l M O2 3 1 Ml m 0 v A 3 2l OA 5.16長為長為、質量為、質量為的勻質桿可繞通過桿一端的勻質桿可繞通過桿一端 的水平光滑固定軸轉動，轉動慣量為的水平光滑固定軸轉動，轉動慣量為 ，開始時桿豎直下垂，如圖所示，有一質量為

41、，開始時桿豎直下垂，如圖所示，有一質量為 的子彈以水平速度的子彈以水平速度射入桿上射入桿上點，并嵌在桿中，點，并嵌在桿中， ，則子彈射入后瞬間桿的角速度，則子彈射入后瞬間桿的角速度 _。 0 v A O 2l/3 m lmM /34 6 0 v 2 1 2 202 3 1 ) 3 2 ( 3 2 lmlmlvm lmm v )/34( 6 21 0 解：根據角動量守恒解：根據角動量守恒 可得可得 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 *4-6 進動進動 據剛體的角動量定理有據剛體的角動量定理有: M dt Ld Ld 同方向同方向 M 重力矩重力矩 c Mrmg 式中式中: c r 是

42、陀螺質心的位置矢量是陀螺質心的位置矢量, 與自轉軸同向與自轉軸同向, 故與故與 L 平行平行 dt 時間內時間內, L 的變化為的變化為:dLM dt 把自轉軸繞一豎直軸的這種轉動把自轉軸繞一豎直軸的這種轉動, 稱為旋進或進動稱為旋進或進動. z r sin M gm rc L z L sin M d dL (a)(b) (c) 與與 LdL Ld 只改變只改變 方向而不改變其大小方向而不改變其大小 L 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 2 iir mJ dmrJ 2 或或 第第4章章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 習題課習題課 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 t 0 2 0 2

43、 1 tt 2 2 0 2 JLz 3 剛體的定軸轉動定律剛體的定軸轉動定律 dt dL M z z JM z 2 剛體的轉動慣量剛體的轉動慣量 dt d dt d vr rat 2 ran FrM z 4 剛體的剛體的角動量定理角動量定理 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 2 2 1 JEk 剛體定軸轉動動能剛體定軸轉動動能: 5 剛體轉動的功和能剛體轉動的功和能 6 對定軸的角動量守恒對定軸的角動量守恒 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理: 合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛 體作的功等于剛體轉動動能的增量。體作的功等于剛體轉動動能的增量。

44、對于一個質點系（包括剛體），如果它受的對某一固定軸的合對于一個質點系（包括剛體），如果它受的對某一固定軸的合 外力矩為零，則它對此固定軸的總角動量保持不變。外力矩為零，則它對此固定軸的總角動量保持不變。 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 JJdMA 軸軸 外外 JLz vmrL 21 LL 0M 軸合外 當時 2211 JJ 恒量 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 標準化作業(yè)（標準化作業(yè)（7） 一、選擇題一、選擇題 1.均勻細棒均勻細棒OA可繞通過其一端可繞通過其一端O而與棒垂直的水而與棒垂直的水. 平固定光滑軸轉動，如圖所示今使棒從水平位置由平固定光滑軸轉動，如圖所示今使棒

45、從水平位置由 靜止開始自由下落，在棒擺動到豎直位置的過程中，靜止開始自由下落，在棒擺動到豎直位置的過程中， 下述說法哪一種是正確的？下述說法哪一種是正確的？ (A) 角速度從小到大，角加速度從大到小角速度從小到大，角加速度從大到小 (B) 角速度從小到大，角加速度從小到大角速度從小到大，角加速度從小到大 (C) 角速度從大到小，角加速度從大到小角速度從大到小，角加速度從大到小 (D) 角速度從大到小，角加速度從小到大角速度從大到小，角加速度從小到大 OA 2.關于剛體對軸的轉動慣量，下列說法中正確的是關于剛體對軸的轉動慣量，下列說法中正確的是 （A）只取決于剛體的質量）只取決于剛體的質量,與質

46、量的空間分布和軸的位置無關與質量的空間分布和軸的位置無關 （B）取決于剛體的質量和質量的空間分布，與軸的位置無關）取決于剛體的質量和質量的空間分布，與軸的位置無關 （C）取決于剛體的質量、質量的空間分布和軸的位置）取決于剛體的質量、質量的空間分布和軸的位置 （D）只取決于轉軸的位置，與剛體的質量和質量的空間分布無關）只取決于轉軸的位置，與剛體的質量和質量的空間分布無關 A C 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 二、填空題二、填空題 3. 3. 如圖所示，如圖所示，P、Q、R和和S是附于剛性輕質細桿是附于剛性輕質細桿 上的質量分別為上的質量分別為4m、3m、2m和和m的四個質點，的四

47、個質點， PQQRRSl，則系統對，則系統對 O O 軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為_ R P S R Q R O O 4.一作定軸轉動的物體，對轉軸的轉動慣量一作定軸轉動的物體，對轉軸的轉動慣量J3.0 kgm2， 角速度角速度06.0 rad/s現對物體加一恒定的制動力矩現對物體加一恒定的制動力矩M 12 Nm， 當物體的角速度減慢到當物體的角速度減慢到 2.0 rad/s時，物體已轉過了角度時，物體已轉過了角度 _ 50ml 2 4.0 rad 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 5.如圖所示，一個質量為如圖所示，一個質量為m的物體與繞在定滑輪的物體與繞在定滑輪 上的繩子相聯，繩

48、子質量可以忽略，它與定滑上的繩子相聯，繩子質量可以忽略，它與定滑 輪之間無滑動假設定滑輪質量為輪之間無滑動假設定滑輪質量為M、半徑為、半徑為R， 其轉動慣量為其轉動慣量為 ， 滑輪軸光滑試求該滑輪軸光滑試求該 2 2 1 MR 物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關系物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關系 三、計算題三、計算題 m M R 解：根據牛頓運動定律和轉動定律列方程解：根據牛頓運動定律和轉動定律列方程 對物體：對物體： mgT ma 3分分 對滑輪：對滑輪： 3分分 運動學關系：運動學關系： 2分分 T M R T mg a 將、式聯立得將、式聯立得 M) 2 1

49、mg/(ma v00， M) 2 1 mgt/(mata JTR ar 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 5質量分別為質量分別為m和和2m、半徑分別為、半徑分別為r和和2r的兩個均勻圓盤，同軸地的兩個均勻圓盤，同軸地 粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉動，對粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉動，對 轉軸的轉動慣量為轉軸的轉動慣量為9mr2 / 2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都 掛一質量為掛一質量為m的重物，如圖所示求盤的角加速度的大小的重物，如圖所示求盤的角加速度的大小 三、計算題三、計算題 m r m

50、m 2m 2r T2 a2 T1 2 P 1 P a1 解：受力分析如圖解：受力分析如圖 mgT2 = ma2 T1mg = ma1 T2 (2r)T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 r = a1 解上述解上述5個聯立方程，得：個聯立方程，得： r g 19 2 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 標準化作業(yè)（標準化作業(yè)（8） D 一、選擇題一、選擇題 1.1.花樣滑冰運動員繞通過自身的豎直軸轉動，開始時兩臂伸開，花樣滑冰運動員繞通過自身的豎直軸轉動，開始時兩臂伸開， 轉動慣量為轉動慣量為J J0 0，角速度為，角速度為 然后她將兩臂收回，使轉動慣量減然后她將兩臂收回，使轉

51、動慣量減 少為少為 3 1 J J0 0這時她轉動的角速度變?yōu)檫@時她轉動的角速度變?yōu)?3 1 0 (B) 3/ 1 3 (A) (C) 0 0(D) 3 0 0 2.一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的光滑固定軸一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的光滑固定軸O以角速度以角速度按圖示按圖示 方向轉動方向轉動.若如圖所示的情況那樣，將兩個大小相等方向相反但若如圖所示的情況那樣，將兩個大小相等方向相反但 不在同一條直線的力不在同一條直線的力F沿盤面同時作用到圓盤上，則圓盤的沿盤面同時作用到圓盤上，則圓盤的 角速度角速度 O F F (A) 必然增大必然增大 (B) 必然減少必然減少 (C) 不會改變不會改變 (D)

52、 如何變化，不能確定如何變化，不能確定 A 解：雖然兩個力的大小相等方向相反，但不在同一條直線上，所以兩個力所產生的力矩不解：雖然兩個力的大小相等方向相反，但不在同一條直線上，所以兩個力所產生的力矩不 相等，圓盤的角速度必然改變，由圖可見左邊的力產生的力矩大，所以圓盤角速度增大。相等，圓盤的角速度必然改變，由圖可見左邊的力產生的力矩大，所以圓盤角速度增大。 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 二、填空題二、填空題 4.質量為質量為m、長為、長為l的棒，可繞通過棒中心且與棒垂直的豎直光滑固的棒，可繞通過棒中心且與棒垂直的豎直光滑固 定軸定軸O在水平面內自由轉動在水平面內自由轉動(轉動慣

53、量轉動慣量Jm l 2 / 12) 開始時棒靜止，現有一子彈，質量也是開始時棒靜止，現有一子彈，質量也是m，在水平，在水平 面內以速度面內以速度v0垂直射入棒端并嵌在其中則子彈嵌垂直射入棒端并嵌在其中則子彈嵌 入后棒的角速度入后棒的角速度 _ m O m l 0 v 俯視圖 3v0 / (2l) ) 412 ( 2 22 0 mlmlmlv 3. 一飛輪以角速度一飛輪以角速度 0繞光滑固定軸旋轉，飛輪對軸的轉動慣量繞光滑固定軸旋轉，飛輪對軸的轉動慣量 為為J1；另一靜止飛輪突然和上述轉動的飛輪嚙合，繞同一轉軸；另一靜止飛輪突然和上述轉動的飛輪嚙合，繞同一轉軸 轉動，該飛輪對軸的轉動慣量為前者的

54、二倍嚙合后整個系轉動，該飛輪對軸的轉動慣量為前者的二倍嚙合后整個系 統的角速度統的角速度 _ 0 3 1 101 3JJ 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 三、計算題三、計算題 6一根放在水平光滑桌面上的勻質棒，可繞通過其一端的豎直固定光滑軸一根放在水平光滑桌面上的勻質棒，可繞通過其一端的豎直固定光滑軸O轉動轉動 棒的質量為棒的質量為m = 1.5 kg，長度為，長度為l = 1.0 m，對軸的轉動慣量為，對軸的轉動慣量為J = 2 3 1 ml 初始時棒靜止今有一水平運動的子彈垂直地射入棒的另一端，初始時棒靜止今有一水平運動的子彈垂直地射入棒的另一端， 并留在棒中，如圖所示子彈的

55、質量為并留在棒中，如圖所示子彈的質量為m m = = 0.020 kg0.020 kg，速率為，速率為 v v = = 400 ms400 ms-1 -1試問： 試問： (1) (1) 棒開始和子彈一起轉動時角速度棒開始和子彈一起轉動時角速度 有多大？有多大？ (2) (2) 若棒轉動時受到大小為若棒轉動時受到大小為MrMr = 4.0 Nm = 4.0 Nm的恒定的恒定 阻力矩作用，棒能轉過多大的角度阻力矩作用，棒能轉過多大的角度 ？ m, l O v m 5 5解：解：(1) (1) 角動量守恒：角動量守恒： 22 3 1 lmmllm v lmm m 3 1 v 15.4 rads15.

56、4 rads-1 -1 (2) ) 3 1 ( 22 lmmlM r 20 2 r M lmm 2 3 1 22 15.4 rad 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 一、選擇題一、選擇題 1. 關于剛體對軸的轉動慣量，下列說法中正確的是關于剛體對軸的轉動慣量，下列說法中正確的是 （A）只取決于剛體的質量）只取決于剛體的質量,與質量的空間分布和軸的位置與質量的空間分布和軸的位置 無關無關 （B）取決于剛體的質量和質量的空間分布，與軸的位置無）取決于剛體的質量和質量的空間分布，與軸的位置無 關關 （C）取決于剛體的質量、質量的空間分布和軸的位置）取決于剛體的質量、質量的空間分布和軸的位

57、置 （D）只取決于轉軸的位置，與剛體的質量和質量的空間分）只取決于轉軸的位置，與剛體的質量和質量的空間分 布無關布無關 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 二、填空題二、填空題 1.1.有一半徑為有一半徑為R R的勻質圓形水平轉臺，可繞通過盤心的勻質圓形水平轉臺，可繞通過盤心O O 且垂直于盤面的豎直固定軸且垂直于盤面的豎直固定軸OOOO轉動，轉動慣量為轉動，轉動慣量為J J 臺上有一人，質量為臺上有一人，質量為m m當他站在離轉軸當他站在離轉軸r r處時處時( (r rR R) )， 轉臺和人一起以轉臺和人一起以 的角速度轉動，如圖若轉軸處摩的角速度轉動，如圖若轉軸處摩 擦可以忽略

58、，問當人走到轉臺邊緣時，轉臺和人一起擦可以忽略，問當人走到轉臺邊緣時，轉臺和人一起 轉動的角速度轉動的角速度 _ O r 1 O 2 2 1 2 mRJ mrJ 1 根據角動量守恒根據角動量守恒 )()( 2 1 2 mRJmrJ 可得可得 3.半徑為半徑為r1.5 m的飛輪，初角速度的飛輪，初角速度010 rad s-1，角加速度，角加速度 5 rad s-2，則在，則在t_時角位移為零，而此時邊緣時角位移為零，而此時邊緣 上點的線速度上點的線速度v_ 4.一可繞定軸轉動的飛輪，在一可繞定軸轉動的飛輪，在20 Nm的總力矩作用下，在的總力矩作用下，在10s內轉內轉 速由零均勻地增加到速由零均

59、勻地增加到8 rad/s，飛輪的轉動慣量，飛輪的轉動慣量J_ 4 s 15 ms-1 25 kgm2 標準化作業(yè)（標準化作業(yè)（9） 力學第力學第04章剛體定軸轉動章剛體定軸轉動 m R O 0 v 2 2 1 MR 5.一質量均勻分布的圓盤，質量為一質量均勻分布的圓盤，質量為M，半徑為，半徑為R，放在一粗糙水平面上，放在一粗糙水平面上(圓盤與圓盤與 水平面之間的摩擦系數為水平面之間的摩擦系數為 )，圓盤可繞通過其中心，圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉的豎直固定光滑軸轉 動開始時，圓動開始時，圓盤靜止，一質量為盤靜止，一質量為m的的 子彈以水平速度子彈以水平速度v0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊

60、緣并嵌在垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在 盤邊上，求盤邊上，求 (1) 子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度 (2) 經過多少時間后，圓盤停止轉動經過多少時間后，圓盤停止轉動 (圓盤繞通過圓盤繞通過O的豎直軸的轉動慣量為的豎直軸的轉動慣量為 ，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩) 三、計算題三、計算題 解：解：(1) 以子彈和圓盤為系統，在子彈擊中圓盤過程中，對軸以子彈和圓盤為系統，在子彈擊中圓盤過程中，對軸O的的 角動量守恒角動量守恒 )mRMR 2 1 (Rmv 22 0 RmM 2 1 m 0 v (2) 設設表示圓盤單位面積的質量，可