五奧第9講容斥原理

1、五奧第9講容斥原理第九講 容斥原理教學目標： 讓學生掌握容斥原理的基本類型，并能運用此類題的解題方法靈活地解決問題。教學重點： 1、學會基本的容斥原理公式及其分類。2、運用容斥原理的基本方法解決問題，做到不重不漏。教學難點：1、能解決較復雜的容斥原理問題。2、含三類的容斥原理。教學過程一、故事引入，揭示課題，明確容斥原理的基本類型與解題方法。故事引入：森林里住著很多動物，獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計鳥的種數(shù)，蝙蝠跑去說：“我有翅膀，我算鳥類。”仙鶴把蝙蝠統(tǒng)計進去了，結(jié)果得出森林中共有80種鳥類。獅子大王又派大象去統(tǒng)計獸類的種類，蝙蝠又跑去說：“我沒有羽毛，我算獸類。”結(jié)果統(tǒng)計出森林中共有70種獸類。最

2、后獅子大王問：“森林中共有鳥類和獸類多少種？”狐貍軍師聽了仙鶴和大象的統(tǒng)計結(jié)果，向獅子大王報告：“森林中鳥類與獸類共計150種。”這個統(tǒng)計對嗎？兔子跑過來說：“不對，因為在這個統(tǒng)計中，蝙蝠被算了兩次?！闭_答案應該是80+701=149（種）。師：在計數(shù)時，必須注意無一重復，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。 知識點：如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù)總和= 屬于

3、A類元素個數(shù)+ 屬于B類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)。二、教學例題，掌握技巧。例1、一個班有學生45人，參加數(shù)學興趣小組有30人，參加音樂興趣小組的有22人，并且每人至少參加一個班，這個班兩組都參加的有多少人？分析：直接用公式解答： 30+2245=7（人）課堂練習 32頁 練習1答案 25+20=45（人）4010=30.（人）4530=15（人）小結(jié)：先計算出所有情況情況，再減去多算的。就可以計算出所用數(shù)目。師：剛才我們學了最簡單的容斥原理，下面看一個較復雜的例2、在1到1000 的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有多少個？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個？分析：先分別求出能被3與被5整

4、除的個數(shù)，再減去既能被3整除又能被5整除（即能被15）整除的數(shù)。解答： 10003=333（個）1 10005=200（個）3，5=15 100015=66（個）10 333+20066=467（個）1000467=533（個）課堂練習：在1到100的自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)共有多少個？答案 1002=50（個）100 3=33（個）1 2，3=6 1006=16（個）6 50+3316=67（個）小結(jié)：通過分析，將題目轉(zhuǎn)化為容斥原理。即先分別求出能被3與被5整除的個數(shù)，再減去既能被3整除又能被5整除的數(shù)。答：能被3或5整除的數(shù)共有467個，不能被3或5整除的數(shù)共有533個,。師：前面的都

5、是含兩個的容斥原理，下面我們來學習三個的。知識點：如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)既是A類又是C類的元素個數(shù)既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。例3、（原例4）某校六（1）班有學生54人，每人在暑假里都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人，問：三項都參加的多少人？分析：本題是一道容斥原理2的應用，直接用公式即可解答： 25+22

6、+34121814=37（人） 5437=17（人）答：三項都參加的17人。課堂練習33頁第5題 答案 ：24+31+20567+3=60（人）剛才是一個直接的容斥原理，下面我們來看一個容斥原理的應用。這一題需要較強的分析能力。例4、（原例5）在一根長木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份，如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？分析：師：題目中沒有告訴我們木棍的長度，那鋸成幾段后該怎樣計算？能不能設一個長度呢？生：能。師：那設什么數(shù)最簡單呢?生：10,12,15的最小公倍數(shù)。解答：10，12，15=60 6010=6

7、6012=5 6015=4師：每隔4，5，6就會鋸一段，但是中間會有重復的，4，5=20 4，6=12 5，6=30 4，5，6=606020=3 （段） 6012=5（段） 6030=2（段） 6060=1（段） 10+12+15352+1=28（段）答：，木棍總共被鋸成28段。小結(jié)：本題首先要明白如何設數(shù)，在數(shù)字大小對題目結(jié)果沒有影響的前提下，一般情況下設最小公倍數(shù)。其次，將分析實際問題中的條件，再用公式解題。例5（原例3）分母是1001的最簡分數(shù)一共有多少個？注：將“最簡分數(shù)”改為“最簡真分數(shù)”并且老師需首先講解什么是“最簡真分數(shù)”如時間不夠，可選擇不講本題。分析：要求最簡分數(shù)就只需要求

8、分子不是1001的因數(shù)，即求出1001的因數(shù)再用1001去減就可以了。1001=711137的倍數(shù)有1113個，11的倍數(shù)有713個，13的倍數(shù)有711個，既是7又是11的倍數(shù)有13個，既是7又是13的倍數(shù)有11個，既是13又是11的倍數(shù)有11個，既是7又是11又是13的倍數(shù)有1個，解答：1001=711131113+713+71171113+1=143+91+7771113+1=281（個）1001281=720（個）答：分母是1001的最簡分數(shù)一共有720個？例6、實驗小學舉辦書法展，學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有28幅不是五年級的，有24幅不是六年級的，五、六年級參展作

9、品共有20幅，一、二年級參展的作品總數(shù)比三、四年級參展的作品總數(shù)少4幅。一、二年級參展的書法作品共有多少幅？分析：師：有28幅不是五年級的，有24幅不是六年級的，說明什么問題？ 生：一+二+三+四+六=28（幅） 一+二+三+四+五=24（幅） 師：28+24表示什么呢？ 生： 一二三四年級的兩倍+五六年級的 師：那我們可以求出 一二三四年級的和，再用和差問題就可以求出一二年級的。解答：（28+2420）2=322=16（幅） （ 164）2=6（幅）答：一、二年級參展的書法作品共有6幅。小結(jié)：將“不是”轉(zhuǎn)化為“是”，再進行對比，找到突破口。例7、森林里住著100只小白兔，凡是不愛吃蘿卜的小白

10、兔都愛吃白菜，其中愛吃蘿卜的小白兔的數(shù)量是愛吃白菜的2倍，而不愛吃白菜的小白兔的數(shù)量是不愛吃蘿卜的3倍，那么它們當中有多少只小白兔既愛吃蘿卜又愛吃白菜？0分析：不愛吃蘿卜的小白兔+愛吃蘿卜的小白兔=100（只） 不愛吃白菜的小白兔+愛吃白菜的小白兔=100（只）還知道他們之間的倍數(shù)關系，因此可以用方程來解。解答：解：設愛吃白菜的小白兔有X只，則不愛吃白菜的小白兔有（100X）只，愛吃蘿卜的小白兔有2X只，不愛吃蘿卜的小白兔有（1002X）只， 100X=3（1002X） 100X=3006X 5X=200 X=40愛吃白菜 40只 不愛吃蘿卜的小白兔有：100240=20（只）不愛吃蘿卜 20

11、只4020=20（只）答：它們當中有20只小白兔既愛吃蘿卜又愛吃白菜。小結(jié)：碰到 較復雜題目 可以考慮方程 例8題目有問題總結(jié)：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復。如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù)總和= 屬于A類元素個數(shù)+ 屬于B類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)。如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)既是A類又是C類的元素個數(shù)既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。板書設計A、B兩類 例1 例2A類B類總和= A類+ B類既A又B 例3 例4A、B、C三類 例5 例6A類B類C類數(shù)總和= A類+ B類+C類既A又是B既A又C既B又C +既A又B且C，作業(yè) ：32頁2、3、4 33頁 6。訓練題答案訓練A1、25+20=45（人）4010=30.