人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第1課時 教案

1、2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（第1課時）教學(xué)目標(biāo)：1經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；2能用二次函數(shù)的觀點，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式問題，感悟數(shù)學(xué)知識的整體性和關(guān)聯(lián)性，提升邏輯推理、幾何直觀和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)教學(xué)重點：從實際問題中抽象出一元二次不等式模型，并會借助二次函數(shù)求解一元二次不等式，體會函數(shù)思想、化歸思想及數(shù)形結(jié)合的思想教學(xué)難點：理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的關(guān)系教學(xué)過程：1、 情境引入問題1：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區(qū)域種植花卉若柵欄的長度是2

2、4 m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20 m2，則這個矩形的邊長為多少米？師生活動：學(xué)生獨立思考，把實際問題中的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)模型表示出來預(yù)設(shè)的答案：1因為學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過基本不等式，所以部分學(xué)生會令矩形的一邊長為x，另一邊為y，可以得到此時還需要消元從而轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解2部分學(xué)生用一個未知數(shù)x即可表示問題中的不等式，但學(xué)生容易忘記自變量x的取值范圍追問：不等式即，與我們學(xué)習(xí)過的一元一次不等式有什么不同？你能再舉出一些類似的不等式嗎？師生活動：學(xué)生可以回答這個問題之后學(xué)生閱讀課本獲得定義，或者教師給出一元二次不等式的定義，一元二次不等式的一般形式：，并且強(qiáng)調(diào)二次項的系數(shù)a0設(shè)計意圖：通過具

3、體問題抽象出一元二次不等式的過程，明確一元二次不等式的定義和一般形式，體會一元二次不等式的現(xiàn)實意義2、 探究新知1探究一元二次不等式的解法問題2：在初中，我們學(xué)習(xí)了從一次函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法那么這三個“一次”之間的關(guān)系是什么？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回答問題，并強(qiáng)調(diào)從代數(shù)和幾何兩方面的理解，注意數(shù)形結(jié)合的思想師生共同總結(jié)如下：設(shè)計意圖：通過對三個“一次”的關(guān)系的總結(jié)，幫學(xué)生梳理函數(shù)和相應(yīng)的方程、不等式之間的關(guān)系，為下面的探索做好鋪墊問題3：類似地，能否從二次函數(shù)的觀點看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函數(shù)為例師生活動：學(xué)生類比研究，應(yīng)該有一部分

4、學(xué)生可以獲得思路教師設(shè)計追問，引導(dǎo)學(xué)生思考追問1：教師用信息技術(shù)畫出函數(shù)的圖象，圖象與x軸有兩個交點，并在函數(shù)圖象上任取一點P（x，y）當(dāng)點P在拋物線上移動時，請你觀察：隨著點P的移動，它的縱坐標(biāo)的符號怎樣變化？師生活動：學(xué)生觀察思考后回答預(yù)設(shè)的答案：當(dāng)點P移動到x軸上時，它的縱坐標(biāo)等于0（即）；當(dāng)點P移動到x軸上方時，它的縱坐標(biāo)大于0（即）；當(dāng)點P移動到x軸下方時，它的縱坐標(biāo)小于0（即）追問2：當(dāng)點P的縱坐標(biāo)=0時、0時、0時所對應(yīng)的橫坐標(biāo)x的取值范圍分別是什么？師生活動：學(xué)生獨立獲得答案預(yù)設(shè)的答案：當(dāng)=0時，即方程的解，并且也是二次函數(shù)的零點當(dāng)0時，即不等式的解集是，當(dāng)0時，即不等式的解集

5、是教師總結(jié)：利用函數(shù)的圖象，可以求得不等式和的解集追問3：問題1中的解答是什么？（略）設(shè)計意圖：在具體的例子中，類比三個“一次”的關(guān)系理解三個“二次”之間的關(guān)系，進(jìn)一步感受用函數(shù)觀點看方程和不等式，掌握利用函數(shù)求解方程和不等式的方法，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力2歸納一元二次不等式的一般解法問題4：求解一元二次不等式解集的方法，是否可以推廣到一般的一元二次不等式？對于一般的一元二次方程一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)之間是否也具有類似的關(guān)系？請你完成下表000yax2bxc(a0)的圖象ax2bxc0(a0)的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集師生活動：學(xué)生思考并對上述方

6、法進(jìn)行了歸納、概括，獲得求解一般一元二次不等式的解法預(yù)設(shè)的答案：求解一元二次不等式的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的圖象與x軸的相關(guān)位置確定不等式對應(yīng)的x的取值范圍，而確定x的取值范圍需要先求出相應(yīng)一元二次方程的根這種關(guān)系體現(xiàn)在下表中000yax2bxc(a0)的圖象ax2bxc0(a0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1x2)有兩個相等的實數(shù)根x1x2沒有實數(shù)根ax2bxc0(a0)的解集x|xx1，或xx2x|xRax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2設(shè)計意圖：通過問題引導(dǎo)學(xué)生從具體的“三個二次”的關(guān)系，歸納、概括、獲得一般的一元二次不等式的解法在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括的能力，以及從

7、具體到抽象，從特殊到一般的研究問題的基本方法并體會數(shù)形結(jié)合和函數(shù)思想的應(yīng)用3應(yīng)用舉例例1 求下列不等式的解集：（1） （2） （3）追問：求解不等式的依據(jù)是什么？步驟是什么？第（3）題與（1）（2）題有何異同？能否轉(zhuǎn)化為（1）（2）題師生活動：學(xué)生獨立完成后展示交流，師生總結(jié)求解思路對于二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)（即)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化成正數(shù)，再求解預(yù)設(shè)的答案：（1）解：對于方程，因為0，所以它有兩個實數(shù)根，解得，畫出二次函數(shù)的圖象（圖2.3-2）結(jié)合圖象得不等式的解集為（2）解：對于方程，因為=0，所以它有兩個相等的實數(shù)根，解得，畫出二次函數(shù)的圖象（圖2.3-3），結(jié)合圖象得不等式的解集為

8、（3）解：不等式可化為，因為=-80，所以方程無實數(shù)根，畫出二次函數(shù)的圖象（圖2.3-4），結(jié)合圖象得不等式的解集為因此原不等式的解集為追問：通過這三道題的學(xué)習(xí)，請你試著總結(jié)一下：解一元二次不等式的一般步驟是什么？師生活動：學(xué)生總結(jié)，教師完善預(yù)設(shè)的答案：步驟是：（1）先把二次項系數(shù)化為正數(shù)；（2）求判別式的值；（3）求相應(yīng)方程的實數(shù)根；（4）結(jié)合函數(shù)圖象寫出一元二次不等式的解集設(shè)計意圖：這三道例題對應(yīng)的三個二次函數(shù)的圖象分別與軸有兩個交點、有一個交點和沒有交點，再次鞏固了利用二次函數(shù)解二次不等式的方法并要注重代數(shù)問題的求解程序的提煉總結(jié)，以便學(xué)生有序地思考，規(guī)范地求解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)注

9、重數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性例2 已知一元二次不等式的解集為，則的解集為_追問：如何利用“三個二次”的關(guān)系求解？能大致畫出不等式對應(yīng)的函數(shù)的草圖嗎？師生活動：學(xué)生先獨立思考，畫出函數(shù)的草圖，從而可以確定并利用方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，及韋達(dá)定理求出a，b，c之間的關(guān)系（而不是具體的值），再化簡求值預(yù)設(shè)的答案：解：根據(jù)題意可知令由根與系數(shù)的關(guān)系得圖2-3-5解得代入所求不等式得又，化為對于方程，因為0，所以它有兩個實數(shù)根，解得，畫出二次函數(shù)的圖象（圖2-3-5），結(jié)合圖象得不等式的解集為設(shè)計意圖：進(jìn)一步理解三個“二次”之間的關(guān)系，在較復(fù)雜的情境中應(yīng)用新知識，提高學(xué)生分析問題的能

10、力三、歸納小結(jié)問題4：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解一元二次不等式，那么我們是如何去研究一元二次不等式解的過程的？在這個過程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)方法和思想？師生活動：師生共同總結(jié)，教師強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵點是從具體的實際問題入手，利用函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系，結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)圖象，求一元二次不等式的解集其中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸及函數(shù)思想追問：請簡單說明如何解一元二次不等式？師生活動：提醒學(xué)生注意二次項系數(shù)的正負(fù)，如果是負(fù)的話先化成正的，然后求方程的解，再畫出函數(shù)圖象，最后觀察函數(shù)圖象得到不等式的解集設(shè)計意圖：完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解，以及本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法和研究方法要將重點放在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系上，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系性和整體性的認(rèn)識四、目標(biāo)檢測設(shè)計1不等式的解集為（ ）A BC D設(shè)計意圖：考查學(xué)生對一元二次不等式的解法2不等式（其中）的解集為（ ）A(，) B(，) C(