2.4圓錐曲線參數(shù)方程[上課課堂]

1、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 珠海市二中珠海市二中 馬清太馬清太 1課堂節(jié)課 1、 圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程 sin ,cos ry rx （1）圓心在原點(diǎn)半徑為）圓心在原點(diǎn)半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程 （2 2）圓心在（）圓心在（a a，b b），），半徑為半徑為r的圓參數(shù)方程的圓參數(shù)方程 sin cos rby rax 2課堂節(jié)課 引例、引例、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（ab0） 為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)與小圓的交點(diǎn)，過(guò) 點(diǎn)點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，

2、垂足為M， 求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. O A M x y N B 分析：分析： 點(diǎn)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同的橫坐標(biāo)相同, 點(diǎn)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同的縱坐標(biāo)相同. 而而A、B的坐標(biāo)可以通過(guò)引進(jìn)參的坐標(biāo)可以通過(guò)引進(jìn)參 數(shù)建立聯(lián)系數(shù)建立聯(lián)系. 設(shè)設(shè)XOA= 3課堂節(jié)課 O A M x y N B 解：解：設(shè)設(shè)XOA=, M(x, y), 則則 A: (acos, a sin), B: (bcos, bsin), 由已知由已知: 即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡參數(shù)方程參數(shù)方程. . sinby cosax ()

3、f為參數(shù) 消去參數(shù)得消去參數(shù)得: : , b y a 1 2 2 2 2 x 即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡普通普通方程方程. . 引例、引例、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（ab0） 為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)與小圓的交點(diǎn)，過(guò) 點(diǎn)點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M， 求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. 4課堂節(jié)課 cos , sin . xa X yb 焦點(diǎn)在 軸 （1） cos , sin . xb Y ya 焦點(diǎn)在 軸

4、 （2） 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 普通方程普通方程 2、 橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢圓分別是橢圓 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). ab 稱(chēng)為稱(chēng)為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù) 的取值范圍的取值范圍 是是 另外另外, 0,2 ) 說(shuō)明：說(shuō)明： 5課堂節(jié)課 O A M x y N B 辨析：辨析： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :1 2 2 2 2 b y a x 橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: : )( sinby cosa 為參數(shù)為參數(shù)

5、 x x y O 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: : 圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2 )( siny cos 為參數(shù)為參數(shù) r rx 的幾何意義：的幾何意義：AOP= P A 橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: : 是是AOX=,不是不是MOX=. 6課堂節(jié)課 【例例1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22 1 49 xy 2 2 1 16 y x (1)(2) 3 cos 5 sin x y 8 cos 10 sin x y (3)(4) 把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程 2 cos (1) 3sin x y cos (2) 4sin x

6、 y 2 2 64100 (4)1 y x 2 2 925 (3)1 y x （5）已知橢圓的參數(shù)方程為）已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是參數(shù)是參數(shù)) ， 則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ），短軸長(zhǎng)為（），短軸長(zhǎng)為（ ），焦），焦 點(diǎn)坐標(biāo)是（點(diǎn)坐標(biāo)是（ ) ，離心率是（，離心率是（ ）。）。 2cos sin x y 42 3 2 3,0 7課堂節(jié)課 例例2、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使，使P到到 直線直線 l：x-y+4=0的距離最小的距離最小. x y O P 分析分析1：平移直線平移直線 l 至首次與橢圓至首次與橢圓 相切，切點(diǎn)即為所求相切，切點(diǎn)即

7、為所求. 分析分析2：),sin,cos(P 22設(shè)設(shè) 2 22|4sincos| d則則 小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一 點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。 8課堂節(jié)課 例例3、已知橢圓已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD， 求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。 22 1 10064 xy :10cos ,8sinA解 設(shè) 20cos,16sin 2016sincos 160sin 2 ADAB S ,ABCD160所以 矩形最大面積為 y XO A2A1 B

8、1 B2 F1F2 A B C D y X 9課堂節(jié)課 引申引申1:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢在第一象限的橢 圓弧上求一點(diǎn)圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大. 2 2 94 1 y x 10課堂節(jié)課 : , ABCABP 解 橢圓參數(shù)方程 設(shè)點(diǎn)P(3cos ,2sin) S面積一定 需求 S最大即可 2 6 413 22 12360 |cossin6 | 2 sin() 23 , y x PAB xy d d P 3 32 2 即求點(diǎn)到線的距離最大值 線AB的方程為 66 所以當(dāng)=時(shí)有最大值 面

9、積最大 4 這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2) 11課堂節(jié)課 引伸2：P、Q是拋物線y2 = x與圓 (x-3)2+y2=1上 的兩動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值 x y A P Q 引伸3 點(diǎn)P在橢圓 上運(yùn)動(dòng)， 點(diǎn)Q在圓 上運(yùn)動(dòng)，求PQ的最大值 1 4 2 2 y x 4 1 2 3 2 2 xy X y P Q O A 1 2 PQPAAQPA所以只要求|PA|的最大值 12課堂節(jié)課 練習(xí)練習(xí)1 1.動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線在曲線 上變化上變化 ，求，求2x+3y的最的最 大值和最小值大值和最小值 22 y 1 94 x .,2626最最小小值值最最大大值值 2、取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A(4

10、sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是 . A. 圓圓 B. 橢圓橢圓 C. 直線直線 D. 線段線段 B 析析:設(shè)中點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)M (x, y) x=2sin-2cos y=3cos+3sin 22 y 2 49 x 13課堂節(jié)課 的取值范圍求滿足實(shí)數(shù)yxx-9yyx, 2 ,. 1 ，并畫(huà)出草圖變化時(shí)，求圓心的軌跡a當(dāng) 的取 值取值范a數(shù)表示的 圖示的圖形為圓04 3a2aa2ayx2ayx已知方程2. 24222 3.已知橢圓C的參數(shù)方程是 5cos , ,02 4sin x y q qp q = 0,b0)的參數(shù)方程為： b 3 ,2

11、 ) 22 o 通 常 規(guī) 定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式 22 22 1 xy ab 22 sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實(shí)質(zhì)是三角代換的實(shí)質(zhì)是三角代換. 說(shuō)明：說(shuō)明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同的傾斜角不同. 16課堂節(jié)課 sec , tan . xa X yb 焦點(diǎn)在 軸 （1） tan , sec . xb Y ya 焦點(diǎn)在 軸（2） 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 普通方程普通方程 22 1

12、 sec,sectan1 cos 其 中則 3、 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 1 .在雙曲線的參數(shù)方程中，常數(shù)在雙曲線的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是雙分別是雙 曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng). a、b0 2. 稱(chēng)為稱(chēng)為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù) 3 22 0,2 ) 17課堂節(jié)課 例例 22 22 100 xy Mab ab OM A BMAOB (,) 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)， 為為原原點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與 兩兩漸漸近近線線交交于于 ， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)。探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積

13、積， 由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？ O B M A x y 18課堂節(jié)課 . b yx a 雙曲線的漸近線方程為： 解：解： tan(sec ).M b ybxa a A 不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為, 則直線的方程為 （asec ,btan ） ： b 將y=x代入，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 a A a x = （sectan ） 2 . B a x = （se同理可得，點(diǎn)B的橫坐cta 2 標(biāo)n為）. b a 設(shè) AOx= ,則tan. 19課堂節(jié)課 解：解： MAOB所以的面積為 MAOB S=|OA|OB|sin2 = AB xx sin2 coscos 222 2 a

14、 (sec-tan) =sin2 4cos tan. 2 bab a 22 aa = 22 MAOB由此可見(jiàn)，平行四邊形的面積恒為定值， 與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無(wú)關(guān)。 20課堂節(jié)課 o y x ) H M(x，y) 2 拋物線y =2px(p0)的參數(shù)方程為: 1 其中參數(shù)t=(0), tan 幾何意義為： , () . ttR y 2 x=2pt 為參數(shù)， 2pt 拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)。 . x 即P(x,y)為拋物線上任意一點(diǎn),則有t= y 4、 拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程 21課堂節(jié)課 2 1212 12 1212 1212 2 1() 2 , () ,

15、 11 , xpt t ypt MMt t M M AttBtt CD tttt 例例 . .若若曲曲線線為為參參數(shù)數(shù) 上上異異于于原原點(diǎn)點(diǎn)的的不不同同 兩兩點(diǎn)點(diǎn)，所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)分分別別是是則則弦弦 所所在在直直線線的的斜斜率率是是 、 、 C 22課堂節(jié)課 1 12 1212 22 111222 12 222 1212 , (2,2),(2,2) 221 22 M M M M ttMM MptptMptpt ptpt k ptpttt 解解：由由于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)方方程程分分 別別是是 和和 ，則則可可得得點(diǎn)點(diǎn)和和的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為 23課堂節(jié)課 2 2., 2

16、(0) , OA B ypx p OAOB OMABABM M 例例 如如圖圖 是是直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)是是拋拋物物線線 上上異異于于頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的兩兩動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn), ,且且 并并于于相相交交于于點(diǎn)點(diǎn)， 求求點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡方方程程。 x y o B A M 24課堂節(jié)課 22 11221212 22 1122 22 2121 22 1 21 21 2 :,( , ), (2,2),(2,2)(,0) ( , ),(2,2),(2,2) (2 (),2 () ,0, (2)(2 )0,1. M A Bx y ptptptpttttt OMx y OAptptOBptpt ABp ttp tt O

17、AOBOA OB pt tp t tt t 解解 根根據(jù)據(jù)條條件件 設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為 且且 則則 因因?yàn)闉樗砸约醇?所所以以.(8) 25課堂節(jié)課 22 2121 12 12 2 11 2 22 ,0, 2()2()0 ()0, (0).(9) (2,2), (2,2), OMABOM OB px ttpy tt x tty y ttx x AMxptypt MBptxptyA M B 因因?yàn)闉樗砸约醇?所所以以 即即 因因?yàn)闉?且且三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線， 26課堂節(jié)課 22 1221 121 2 22 (2)(2)(2)(2) ()20.(10) (8),(9)(10),

18、 ()20 20(0) xptptyptxypt y ttpt tx y ypx x xypxx M 所所以以 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)，得得 將將代代入入得得到到 即即 這這就就是是點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡方方程程 設(shè)出參數(shù)能大大簡(jiǎn)說(shuō)明：化運(yùn)算。 27課堂節(jié)課 3, ? A B AOB 在在例例 中中 點(diǎn)點(diǎn)在在什什么么位位置置時(shí)時(shí) 的的面面積積最最小小？最最 究究： 小小值值是是多多少少 探探 x y o B A M 28課堂節(jié)課 2222 1111 2222 2222 222 1 212 222222 1212 12 2 3 (2)(2)21 (2)(2)21 2(1) (1) 222()44 , 4. AOB OAptptp tt OBptptp tt AOB Spt ttt pttpttp ttA B