建筑制圖第二章 正投影基礎(chǔ)2

1、A 采用多面投影采用多面投影。 過空間點(diǎn)過空間點(diǎn)A作作H面的投射線面的投射線 （垂線），與投影面（垂線），與投影面H的交點(diǎn)即的交點(diǎn)即 為點(diǎn)為點(diǎn)A在在H面上的面上的投影投影。 B B1 B2 點(diǎn)在一個(gè)投影面上點(diǎn)在一個(gè)投影面上 的投影不能確定點(diǎn)的空的投影不能確定點(diǎn)的空 間位置。間位置。 一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影 22 22 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影 解決辦法？解決辦法？ H a H b H W V 二、點(diǎn)的三面投影二、點(diǎn)的三面投影 投影面投影面 正面投影面（簡(jiǎn)稱正正面投影面（簡(jiǎn)稱正 面或面或V面）面） 水平投影面（簡(jiǎn)稱水水平投影面（簡(jiǎn)稱水 平面或平面或H面）面） 側(cè)面投影面（簡(jiǎn)

2、稱側(cè)側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè) 面或面或W面）面） 投影軸投影軸 o X Z OX軸軸 OZ軸軸 OY軸軸 Y 三個(gè)投影面三個(gè)投影面 互相垂直互相垂直 V面與面與H面的交線面的交線 H面與面與W面的交線面的交線 V面與面與W面的交線面的交線 W H V o X 空間點(diǎn)空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影在三個(gè)投影面上的投影 a點(diǎn)點(diǎn)A的正面投影的正面投影 a點(diǎn)點(diǎn)A的水平投影的水平投影 a 點(diǎn)點(diǎn)A的側(cè)面投影的側(cè)面投影 空間點(diǎn)用大寫字母空間點(diǎn)用大寫字母 表示，點(diǎn)的投影用表示，點(diǎn)的投影用 小寫字母表示。小寫字母表示。 a a a A Z Y 向下翻向下翻 投影面展開投影面展開 a H a W YH a V X Z O

3、 W H V o X a a a A Z Y 不動(dòng)不動(dòng) 向右翻向右翻 Yw Y 點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律: Z az a X ayw O a ax ayH a YH Yw X Y Z O V H W A a a a x a az ayw ayH 點(diǎn)的水平投影與正面投影的連線垂直于OX軸 即 a aOX軸軸 點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸 即 a a OZ軸軸 點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投 影到OZ軸的距離，即 aax= a az a ax= a ayw=A到到H 面面的距離的距離 aayH= a az=A到到W 面面的距離的距離 =A到到V 面面的距離的距離 a a ax

4、 例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。 a a a ax az az 解法一解法一: 通過作通過作45線線 使使a az=aax 解法二解法二: 用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量 取取a az=aax a OX Z Y 三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置 Z X YH YW O aa a bb b x 坐標(biāo)大的在左坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上 判斷方法：判斷方法： B點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)之后點(diǎn)之后 之左、之下。之左、之下。 兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩 點(diǎn)在空間的點(diǎn)在空間的上下、前后、上下、前后、 左右左右位置關(guān)系。位置關(guān)系

5、。 a a a b b b B A 重影點(diǎn)：重影點(diǎn)： 空間兩點(diǎn)在某一投空間兩點(diǎn)在某一投 影面上的影面上的投影重合為一投影重合為一 點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該該 投影面投影面的重影點(diǎn)。的重影點(diǎn)。 A、C為為H面的重影點(diǎn)面的重影點(diǎn) a a c c 被擋住的投被擋住的投 影加影加( ) ( ) A、C為哪個(gè)投為哪個(gè)投 影面的重影點(diǎn)影面的重影點(diǎn) 呢？呢？ a c aa bb cc aa bb cc 例例2 2：已知各點(diǎn)的兩個(gè)投影，求其：已知各點(diǎn)的兩個(gè)投影，求其第三第三投影。投影。 b ba(c) a a a b b b 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn) 的同名投影用直線連接

6、，就得到的同名投影用直線連接，就得到 直線的同名投影。直線的同名投影。 直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性 A B a b 直線平行于投影面直線平行于投影面 投影反映線段實(shí)長(zhǎng)投影反映線段實(shí)長(zhǎng) ab=AB 直線垂直于投影面直線垂直于投影面 投影重合為一點(diǎn)投影重合為一點(diǎn) ab=0 積聚性積聚性 A M B abm a b A B A 32 直線的投影直線的投影 直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面 投影比空間線段投影比空間線段 ab=ABa acos 一、一、直線的投影直線的投影 投影面平行線投影面平行線 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜 投

7、影面垂直線投影面垂直線 正平線（平行于面）正平線（平行于面） 側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面） 水平線（平行于面）水平線（平行于面） 正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面） 側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面） 鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面） 一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線 統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線 垂直于某一投影面垂直于某一投影面 二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性 以正平線為例，討論其投影特性以正平線為例，討論其投影特性 : OX Z Y a b a b a bA B a X a b a b b a O Z YH

8、YW 同樣，對(duì)于水平線和側(cè)平線也可得到類似的特性同樣，對(duì)于水平線和側(cè)平線也可得到類似的特性。 直線的正面投影直線的正面投影ab反映直線反映直線 AB 的實(shí)長(zhǎng)的實(shí)長(zhǎng),并且反映并且反映 直線直線 AB 對(duì)對(duì)H、W面的傾角面的傾角、。 直線的水平投影直線的水平投影ab和側(cè)面投影和側(cè)面投影 ab 分別平行分別平行 于于OX 軸和軸和OZ 軸。軸。 a 投影特性：投影特性： 1.正平線正平線只平行于正面投影面的直線只平行于正面投影面的直線 b a ab a b b a a b b a 投影面平行線投影面平行線 在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并 反映直線與另

9、兩投影面傾角反映直線與另兩投影面傾角。 另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。 水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線 投投 影影 特特 性：性： 與與H H面的夾角面的夾角: : 與與V V面的角面的角: : 與與W W面的夾角面的夾角: : 實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng) 實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng) b a a a b b 表 2-1 投 影 面 平 行 線 z z d 水 平 線 投 影 特 性 ab YH d c 立 體 圖 投 影 圖 名 稱 C b B z a x a o b X H b A o x YW a b o d c Y a W X H D a V z b 正 平

10、線 c V c e YH f YH e c f YW cd f x e Y d o W e H X f f YW o a e z f F o W Y 側(cè) 平 線 V e E z 1.ab=AB 2.ab/OX ab/OZ 3.ab反 映 AB的 傾 角a、 1.cd=CD 2.cd/OX cd/OYW 3.cd反 映 CD的 傾 角、 1.ef=EF 2.ef/OYH ef/OZ 3.ef反 映 EF的 傾 角a、 OX Z Y 2.投影面的垂直線：投影面的垂直線： 水平投影水平投影abOX, 側(cè)面投影側(cè)面投影abOZ。 投影特性投影特性: 直線直線AB的正面投影的正面投影ab積聚成一點(diǎn)積聚成

11、一點(diǎn); 只垂直于一個(gè)投影面的直線只垂直于一個(gè)投影面的直線。 以正垂線為例，討論其投影特性以正垂線為例，討論其投影特性: 同樣，對(duì)于鉛垂線、側(cè)垂線也可得到類似的特性。同樣，對(duì)于鉛垂線、側(cè)垂線也可得到類似的特性。 A B （a）b a b b a z X （a）b b a O YH YW a b 投影面投影面垂直線垂直線的的投影特性投影特性: : 鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線 側(cè)垂線側(cè)垂線 另外兩個(gè)投影另外兩個(gè)投影，反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相 直線在其垂直投影面上的直線在其垂直投影面上的投影，積聚為一點(diǎn)。投影，積聚為一點(diǎn)。 a (b ) a b b a c d c (d) c d

12、 e f e f e (f ) 應(yīng)的投影軸。應(yīng)的投影軸。 立 體 圖 投 影 圖 投 影 特 性 名 稱 正 垂 線 鉛 垂 線側(cè) 垂 線 X Y W V z X D V Y W E f X Y F o W V z A B a b z o C f e YW YHYH YW a x b YH YW z 1.ab積 聚 成 一 點(diǎn) ; 2.ab、 ab=AB 1.cd 積 聚 成 一 點(diǎn) ； 2.c d 、 c d = CD 1.e f 積 聚 成 一 點(diǎn) ; 2.ef 、 e f = EF. c(d) a(b) c d d c c(d) b a e (f) a(b) ab e f efe (f)

13、 c d c d 表 2-2 投 影 面 垂 直 線 zz x x 且 ab OX,ab OZ且 cd OX,cd OYW 且 ef OYH,efOZ Z Z b b a a c c X X 0 0 Y Yw w c c a a b b Y YH H A AB B 是是 線線， 反反映映 A AB B 實(shí)實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)； A AC C 是是 線線。 反反映映 A AC C 實(shí)實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng) 正正平平線線a ab b a ac c b b a a c c 例例5 5： 已知直線已知直線ABAB、ACAC的兩投影，求兩直線的第的兩投影，求兩直線的第 三投影三投影, ,并指出其空間位置和反映實(shí)長(zhǎng)的投影。并指出其空間

14、位置和反映實(shí)長(zhǎng)的投影。 水平線水平線 OX Z Y 三個(gè)三個(gè)投影投影都都小于實(shí)長(zhǎng)小于實(shí)長(zhǎng)，而且而且與三根投影軸都與三根投影軸都傾斜傾斜。 投影特性：投影特性： 3. 一般位置直線一般位置直線 與三個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜都傾斜的直線。的直線。 a b b a b a Z X aa a O YH YW b b b b b a a 例例4 4：已知立體上直線：已知立體上直線 ABAB、CD CD 的空間位置，的空間位置， 在投影圖中標(biāo)注其投影位置，并填空。在投影圖中標(biāo)注其投影位置，并填空。 a a b b c c d d a a b b c c （d d） (c(c ) ) (d(d ) ) 鉛

15、垂鉛垂 一般位置一般位置 一般位置直線一般位置直線 投影特性：投影特性： 三個(gè)投影三個(gè)投影 都縮短了。即都縮短了。即: 都不反映空間都不反映空間 線段的實(shí)長(zhǎng)及線段的實(shí)長(zhǎng)及 與三個(gè)投影面與三個(gè)投影面 夾夾 角，且與角，且與 三根投影軸都三根投影軸都 傾斜。傾斜。 H X V a W A a O a Y B b b b b a g 三、三、直線與點(diǎn)的相對(duì)位置直線與點(diǎn)的相對(duì)位置 點(diǎn)與直線的相對(duì)位置可以分為兩種，即點(diǎn)與直線的相對(duì)位置可以分為兩種，即點(diǎn)在點(diǎn)在 直線上直線上和和點(diǎn)不在直線上點(diǎn)不在直線上。 （1）若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線）若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線 的同名投影上，并將線

16、段的各個(gè)投影分割成定比。的同名投影上，并將線段的各個(gè)投影分割成定比。 如圖所示，C點(diǎn)在直 線AB上，則C點(diǎn)的正面投 影 c在直線 AB 的正面投 影 ab上，C點(diǎn)的水平投影 c在直線 AB 的水平投影ab 上，同樣c在ab上,而且 AC/CB= ac/cb B c a a H b c A A C a C W V b = ac/cb=ac/cb， （2）若點(diǎn)的投影有一）若點(diǎn)的投影有一 個(gè)不在直線的同名投影個(gè)不在直線的同名投影 上，則該點(diǎn)肯定不在該上，則該點(diǎn)肯定不在該 直線上。直線上。 反之，若點(diǎn)的各投反之，若點(diǎn)的各投 影分別屬于直線的同名影分別屬于直線的同名 投影，且分割線段的投投影，且分割線段

17、的投 影長(zhǎng)度成定比，則該點(diǎn)影長(zhǎng)度成定比，則該點(diǎn) 肯定在該直線上。肯定在該直線上。 B c a a H b c A A C a C W V b c c a YH c X a b O a WH b Z b Yw 其投影為：其投影為： B c a a H b c A A C a C W V b 例例1：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)K是否在線段是否在線段AB上。上。 a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點(diǎn)故點(diǎn)K不在不在 AB 上。上。 應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理 a b k a b k 另一判斷法另一判斷法? 四、兩直線的相對(duì)位置四、兩直線的相對(duì)位置 空間兩直線的相對(duì)位置分為：空間兩直線的相對(duì)位置分為：

18、平行平行、相交相交、交叉交叉。 兩直線平行兩直線平行 投影特性：投影特性： 空間兩直線平空間兩直線平 行，則其各行，則其各同名投同名投 影影必相互平行，反必相互平行，反 之亦然。之亦然。 a V H c b c d A B C D b d a a b c d c a b d 例例2：判斷圖中兩條直線是否平行：判斷圖中兩條直線是否平行 對(duì)于一般位置直對(duì)于一般位置直 線，只要有兩個(gè)同名線，只要有兩個(gè)同名 投影互相平行，空間投影互相平行，空間 兩直線就平行。兩直線就平行。 AB/CD b d c a c b a d d b a c 求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知： AB與與CD不平行。不平行

19、。 例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。 求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影 如何判斷？如何判斷？ H V A B C DK a b c d k a b c k d a bc d b a c d k k 兩直線相交兩直線相交 判別方法：判別方法： 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同名投影則其同名投影 必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn) 的投影規(guī)律的投影規(guī)律。 交點(diǎn)是兩直交點(diǎn)是兩直 線的共有點(diǎn)線的共有點(diǎn) d b a a b c d c 1 (2 ) 3(4 ) 兩直線交叉兩直線交叉 投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，

20、 但但 “交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空間不符合空間 一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上是兩直線上 的一的一 對(duì)對(duì)重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影， 用其可幫助判斷兩直線用其可幫助判斷兩直線 的空間位置。的空間位置。 、是面的重影點(diǎn)，是面的重影點(diǎn)， 、是是H面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。 為什么？為什么？ 1 2 3 4 兩直線相交嗎？?jī)芍本€相交嗎？ 兩直線垂直相交（或垂直交叉）兩直線垂直相交（或垂直交叉） 直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面 上的投影仍為直角。上的投影仍為直角。 設(shè)設(shè) 直角邊直角邊BC/H面面 因因

21、 BCAB, 同時(shí)同時(shí)BCBb 所以所以 BCABba平面平面 直線在直線在H面上的面上的 投影互相垂直投影互相垂直 即即 abc 為直角為直角 因此因此 bcab 故故 bc ABba平面平面 又因又因 BCbc A B C a b c H a c b a b c . 證明：證明： b a a c b c b a a c b c a a b c b c a bc a b c d d b b c c b b c c P PV PH PV PH QV QH QH QV Q Q為側(cè)垂面 一般位置平面 PH 平面平面P的水平面跡線的水平面跡線 PV 平面平面P的正面跡線的正面跡線 二、平面的投影特性

22、二、平面的投影特性 平行平行垂直垂直 傾斜傾斜 投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-實(shí)形性實(shí)形性 平面垂直投影面平面垂直投影面-積聚性積聚性 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-相似性相似性 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性 平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類： 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 一般位置平面一般位置平面 特殊位置平面特殊位置平面 垂直于某一投影面，垂直于某一投影面， 傾斜于另兩個(gè)投影面傾斜于另兩個(gè)投影面 平行于某一投影面，平行于某一投影面， 垂直于另兩個(gè)投影面垂直于另兩個(gè)投影面 與三個(gè)投影面都傾斜

23、與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面 2、 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性 a b c a c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面 類似形類似形 類似形類似形 積聚性積聚性 鉛垂面鉛垂面 投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直在它垂直的投影面上的投影積聚成直 線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面 與另外兩投影面夾角的大小。與另外兩投影面夾角的大小。 另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。 為什么？為什么？ 是什么位置是什么位置 的平

24、面？的平面？ OX Z Y PH P PH OX Z Y Q QV A c C a b B b a a b a b a c c c 投影特性投影特性 ：1) 1) a a b b c c 積聚為一條線積聚為一條線 2) 2) abcabc、 a a b b c c 為為 ABCABC的類似形的類似形 3) 3) a a b b c c 與與OXOX、 OZOZ的夾角反映的夾角反映 、 角的角的 真實(shí)大小真實(shí)大小 OX Z Y Q QV QV OX Z Y SWS C a b A B c b a a b a b a cc c 投影特性投影特性 1) 1) a a b b c c 積聚為一條線積聚

25、為一條線 2) 2) abc abc、 a a b b c c 為為 ABCABC的類似形的類似形 3) 3) a a b b c c 與與OZOZ、 OYOY的夾角反映的夾角反映、角角 的真實(shí)大小的真實(shí)大小 OX Z Y V W Sw S Z X O Y Sw Y OX Z Y C A Ba b c b a c ab c c abb b a a cc 投影特性：投影特性： 1) 1) a a b b c c 、 a a b b c c 積聚為一條線，具有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 2) 2) 水平投影水平投影 abcabc反映反映 ABCABC實(shí)形實(shí)形 OX Z Y 投影特性：投影特性：

26、 1) 1) abcabc 、 a a b b c c 積聚為一條線，具有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 2) 2) 正平面投影正平面投影 a a b b c c 反映反映 ABCABC實(shí)形實(shí)形 c a b b a c b c a b a c a b c b ca C B A OX Z Y a b b b a c c c a 投影特性：投影特性： 1) 1) abcabc 、 a a b b c c 積聚為一條線，具有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 2) 2) 側(cè)平面投影側(cè)平面投影 a a b b c c 反映反映 ABCABC實(shí)形實(shí)形 b b b a c a c cC A B a OX Z

27、Y a b c c a b b a a a b b c c b a c A B C 投影特性：投影特性： (1) (1) abc abc 、 a a b b c c 、 a a b b c c 均為均為 ABCABC 的類似形的類似形 (2) (2) 不反映不反映a a、 、 的真實(shí)角度的真實(shí)角度 例例13:13:已知立體上平面已知立體上平面P P、Q Q、R R的空間位置，在的空間位置，在 投影圖中標(biāo)注其投影位置投影圖中標(biāo)注其投影位置, ,并填空并填空。 r r p p r r q q 水平水平 鉛垂鉛垂 側(cè)垂側(cè)垂 r r p p p p q q q q （1 1） （2 2） 是是 面面是

28、是 面面 例例14:14:已知平面的兩個(gè)投影已知平面的兩個(gè)投影, ,求作其第三投影求作其第三投影, ,并并 填空。填空。 鉛垂鉛垂側(cè)垂側(cè)垂 三、平面上的直線和點(diǎn)三、平面上的直線和點(diǎn) 平面上取任意直線平面上取任意直線 判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù) 定理一定理一: 若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平 面內(nèi)面內(nèi). 定理二定理二: 若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上 的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)的另一直線，則此直線在該平面內(nèi). a b c b c a a b c b c a d m n n m

29、 d 例例1010：已知平面由直線：已知平面由直線ABAB、ACAC所確定，試在平面所確定，試在平面 內(nèi)任作一條直線。內(nèi)任作一條直線。 解法一：解法一：解法二：解法二： 根據(jù)定根據(jù)定 理一理一 根據(jù)定根據(jù)定 理二理二 例例1111：在平面：在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H H面的面的 距離為距離為10mm10mm。 n m n m 10 c a b c a b 試想直線試想直線mnmn 是否唯一呢是否唯一呢? ? 是唯一是唯一 的！的！ 平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作 為輔助線，然后再在該直線上確定

30、點(diǎn)的位置。為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。 例例1 1：已知：已知K K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABCABC上，求上，求K K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。 b a c c a k b 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法： 首先面上取線首先面上取線 a b c a b k c d d 利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解 通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解 k k b c k a d a d b c a d a d b c k b c 例例1212：已知：已知ACAC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCDABCD 的水平投影。的水平投影。 解法一解法一 解法二解法二

31、2.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置直線與平面及兩平面的相對(duì)位置 相對(duì)位置包括相對(duì)位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。 一、平行問題一、平行問題 直線與平面平行直線與平面平行 平面與平面平行平面與平面平行 直線與平面平行直線與平面平行 定理：定理： 若一直線平行于平面上的某一直線，則若一直線平行于平面上的某一直線，則 該直線與此平面必相互平行。該直線與此平面必相互平行。 n a c b m a b c m n 例例1515：過：過M M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。 AbcAbc為平面內(nèi)為平面內(nèi) 的任一直線的任一直線 試想試想:可作多少條這樣的直線可作多少條這樣

32、的直線MN? 無數(shù)條無數(shù)條! 正平線正平線 例例1616：過：過M M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。 c b a m a b c m n n 試想試想:可作多少條這樣的直線可作多少條這樣的直線MN? 唯一的一條唯一的一條! 兩平面平行兩平面平行 若一平面上的若一平面上的兩相兩相 交直線交直線對(duì)應(yīng)平行于另對(duì)應(yīng)平行于另 一平面上的一平面上的兩相交直兩相交直 線線，則這兩平面相互，則這兩平面相互 平行。平行。 若兩若兩投影面垂直投影面垂直 面面相互平行，則它們相互平行，則它們 具有具有積聚性積聚性的那組投的那組投 影必相互平行。影必相互平行。 f h a b

33、 c d e f h a b c d e c f b d e a a b c d e f 二、相交問題二、相交問題 直線與平面相交直線與平面相交 平面與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交直線與平面相交 其其交點(diǎn)交點(diǎn)是是直線與平面直線與平面的的公共點(diǎn)。公共點(diǎn)。 要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面的交點(diǎn)交點(diǎn); ; 判別可見性判別可見性, ,即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)即判別兩者之間的相互遮擋關(guān) 系。系。 P a b cm n c n b a m 平面為特殊位置平面為特殊位置 例例1717：求直線：求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K并判別可見性。并判別可

34、見性。 空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC是一鉛垂面，是一鉛垂面， 其水平投影積聚成一條直其水平投影積聚成一條直 線，該直線與線，該直線與mnmn的交點(diǎn)即的交點(diǎn)即 為為K K點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段 在平面前，故正面投影在平面前，故正面投影 上上k k n n 為可見。為可見。 還可通過重影點(diǎn)判別可見性。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。 k 1 (2 ) 作作 圖圖 k 2 1 k m(n) b m n c b a a c 直線為特殊位置直線為特殊位置 空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MNMN為鉛

35、垂線，其水為鉛垂線，其水 平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交 點(diǎn)點(diǎn)K K的水平投影也積聚在該點(diǎn)的水平投影也積聚在該點(diǎn) 上。上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)位于平面上，在位于平面上，在 前；點(diǎn)前；點(diǎn)位于位于MNMN上，在后。上，在后。 故故k k 2 2 為不可見。為不可見。 1 (2 ) k 2 1 作圖作圖 用面上取點(diǎn)法用面上取點(diǎn)法 X H V Z a b c A a B b c a c b C Y （3）直線和平面都在一般位置）直線和平面都在一般位置 直線和平面的交點(diǎn)的投影必為平面和直線的投影的共直線和平面的交點(diǎn)的投影必為平面和直線的投影的共 有點(diǎn)有點(diǎn), ,且滿

36、足投影規(guī)律且滿足投影規(guī)律. . 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共交線是兩平面的共 有線，有線，同時(shí)同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。 要討論的問題：要討論的問題： 求求兩平面的兩平面的交線交線 方法：方法：確定兩平面的確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。判別可見性。 還可通過正面投影直觀地進(jìn)

37、行判別。還可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。 a b c d e f c f d b e a m (n ) 空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC與與DEFDEF都為都為正正 垂面垂面，其正面投影都積聚，其正面投影都積聚 成直線。成直線。交線為正垂線交線為正垂線， 只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn) 便可作出交線的投影。便可作出交線的投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 作作 圖圖 n m 例例1818：求兩平面的交線并求：求兩平面的交線并求MNMN并判別可見性。并判別可見性。 b c f h a e a b c e f h 1(2) 空間及投影分析空間及投影分析 平面

38、平面EFHEFH是一水平面，是一水平面， 它的正面投影有積聚性。它的正面投影有積聚性。 a a b b 與與e e f f 的交點(diǎn)的交點(diǎn)m m 、 b b c c 與與f f h h 的交點(diǎn)的交點(diǎn)n n 即為兩個(gè)即為兩個(gè) 共有點(diǎn)的正面投影，故共有點(diǎn)的正面投影，故m m n n 即即MNMN的正面投影。的正面投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)在在FHFH上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在BCBC上，上，點(diǎn)點(diǎn) 在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在下，故在下，故fhfh可見，可見， n2n2不可見。不可見。 作作 圖圖 m n 2 n m 1 c d e f a b a b c d e f 投影分析投影分析 N N點(diǎn)的水

39、平投影點(diǎn)的水平投影n n 位于位于defdef的外面，的外面， 說明點(diǎn)說明點(diǎn)N N位于位于DEFDEF所所 確定的平面內(nèi)，但不確定的平面內(nèi)，但不 在在DEFDEF這個(gè)圖形內(nèi)。這個(gè)圖形內(nèi)。 故故ABCABC和和DEFDEF的交的交 線應(yīng)為線應(yīng)為MKMK。 n n m k m k 互交互交 三、平面上的直線和點(diǎn)三、平面上的直線和點(diǎn) 判斷直線在平面判斷直線在平面 內(nèi)的方法內(nèi)的方法 定定 理理 一一 若一直線過平面若一直線過平面 上的兩點(diǎn)，則此上的兩點(diǎn)，則此 直線必在該平面直線必在該平面 內(nèi)。內(nèi)。 定定 理理 二二 若一直線過平面上的若一直線過平面上的 一點(diǎn)，且平行于該平一點(diǎn)，且平行于該平 面上的另一

40、直線，則面上的另一直線，則 此直線在該平面內(nèi)。此直線在該平面內(nèi)。 平面上取任意直線平面上取任意直線 a b c c a a b c b c a m n n m 例例1：已知平面由直線：已知平面由直線AB、AC所確定，試所確定，試 在平面內(nèi)任作一條直線。在平面內(nèi)任作一條直線。 解法一解法一解法二解法二 根據(jù)定理二根據(jù)定理二 根據(jù)定理一根據(jù)定理一 有無數(shù)解。有無數(shù)解。 d d 有多少解？有多少解？ b 例例2：在平面：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距離為面的距離為10mm。 n m n m 10 c a b c a b 唯一解！唯一解！ 有多少解？有多少解？ 平面

41、上取點(diǎn)平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作 為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。 例例3：已知：已知K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABC上，求上，求K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。 b a c c a k b k 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法： 首先面上取線首先面上取線 a b c a b k c d k d 利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解 c k a d a d b c a d a d b c k c 例例4：已知已知AC為正平線，為正平線，補(bǔ)全平行四邊形補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。的水平投影。 解法一解法一 解法二解法二 bb 屬于平面的水平線和正平線屬于平面的水平線和正平線 參看：參看：例題例題5 5 例題例題6 6 平面上