【新教材教案】2.1.2 兩條直線平行和垂直的判定 教學(xué)設(shè)計-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

1、2.1.2 兩條直線平行和垂直的判定 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)兩條直線平行和垂直的判定。直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關(guān)系，它們的判定在初中運用幾何法已經(jīng)進(jìn)行了學(xué)習(xí)，而在坐標(biāo)系下，運用代數(shù)方法即坐標(biāo)法，是一種新的觀點和方法，需要學(xué)生理解和感悟。兩直線平行和垂直都是由相應(yīng)的斜率之間的關(guān)系來確定的，并且研究討論的手段和方法也相類似，因此，在教學(xué)時采用對比方法，以便弄清平行與垂直之間的聯(lián)系與區(qū)別.值得注意的是，當(dāng)兩條直線中有一條不存在斜率時，容易得到兩條直線垂直的充要條件，這也值得略加說明.課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解兩條直線平行與垂

2、直的條件.B.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.C.能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題.1.數(shù)學(xué)抽象：兩條直線平行與垂直的條件2.邏輯推理：根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直3.數(shù)學(xué)運算：利用兩直線平行或垂直的條件解決問題4.直觀想象：直線斜率的幾何意義，及平行與垂直的幾何直觀1.教學(xué)重點：理解兩條直線平行或垂直的判斷條件 2.教學(xué)難點：會利用斜率判斷兩條直線平行或垂直多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境導(dǎo)學(xué) 過山車是一項富有刺激性的娛樂項目.實際上,過山車的運動包含了許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)原理.過山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道,它們靠著一根根巨大的柱形鋼筋支撐著,為了使設(shè)備安全,柱子之間還

3、有一些小的鋼筋連接,這些鋼筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到過山車中的平行和垂直嗎?兩條直線的平行與垂直用什么來刻畫呢?二、探究新知（一）、兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l1,l2,傾斜角分別為1,2,斜率存在時斜率分別為k1,k2.則對應(yīng)關(guān)系如下:前提條件1=2901=2=90對應(yīng)關(guān)系l1l2k1=k2l1l2兩直線斜率都不存在圖示點睛：若沒有指明l1,l2不重合,那么k1=k2l1l2,或l1與l2重合,用斜率證明三點共線時,常用到這一結(jié)論.1.對于兩條不重合的直線l1,l2,“l(fā)1l2”是“兩條直線斜率相等”的什么條件?答案:必要不充分條件,如果兩不重合直線斜率相等

4、,則兩直線一定平行;反過來,兩直線平行, 有可能兩直線斜率均不存在.2.已知直線l1經(jīng)過兩點(-1,-2),(-1,4),直線l2經(jīng)過兩點(2,1),(x,6),且l1l2,則x=.解析:由題意知l1x軸.又l1l2,所以l2x軸,故x=2.答案:23思考辨析(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行()(2)若l1l2，則k1k2.()(3)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直()(4)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行()答案：(1)也可能重合(2)l1l2，其斜率不一定存在(3)不一定垂直，只有另一條直線斜率為0時才垂直(4)

5、 （二）、兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系 對應(yīng)關(guān)系l1與l2的斜率都存在,分別為k1,k2,則l1l2k1k2=-1l1與l2中的一條斜率不存在,另一條斜率為零,則l1與l2的位置關(guān)系是l1l2.圖示點睛：“兩條直線的斜率之積等于-1”是“這兩條直線垂直”的充分不必要條件.因為兩條直線垂直時,除了斜率之積等于-1,還有可能一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在.4.若直線l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的兩根,則l1與l2的位置關(guān)系是.解析:由根與系數(shù)的關(guān)系,知k1k2=-1,所以l1l2.答案:l1l2三、典例解析例1 判斷下列各小題中的直線l1與l2是否平行:(1)l1經(jīng)過點A(

6、-1,-2),B(2,1),l2經(jīng)過點M(3,4),N(-1,-1);(2)l1的斜率為1,l2經(jīng)過點A(1,1),B(2,2);(3)l1經(jīng)過點A(0,1),B(1,0),l2經(jīng)過點M(-1,3),N(2,0);(4)l1經(jīng)過點A(-3,2),B(-3,10),l2經(jīng)過點M(5,-2),N(5,5).思路分析: 斜率存在的直線求出斜率,利用l1l2k1=k2進(jìn)行判斷,若兩直線斜率都不存在,可通過觀察并結(jié)合圖形得出結(jié)論.解:(1)k1=1-(-2)2-(-1)=1,k2=-1-4-1-3=54,k1k2,l1與l2不平行.(2)k1=1,k2=2-12-1=1,k1=k2,故l1l2或l1與l

7、2重合.(3)k1=0-11-0=-1,k2=0-32-(-1)=-1,則有k1=k2.又kAM=3-1-1-0=-2-1,則A,B,M不共線.故l1l2.(4)由已知點的坐標(biāo),得l1與l2均與x軸垂直且不重合,故有l(wèi)1l2.延伸探究 已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若ABMN,則m的值為.解析:當(dāng)m=-2時,直線AB的斜率不存在,而直線MN的斜率存在,MN與AB不平行,不合題意;當(dāng)m=-1時,直線MN的斜率不存在,而直線AB的斜率存在,MN與AB不平行,不合題意;當(dāng)m-2,且m-1時,kAB=4-mm-(-2)=4-mm+2,kMN=3-1m+2-1=2m+

8、1.因為ABMN,所以kAB=kMN,即4-mm+2=2m+1,解得m=0或m=1.當(dāng)m=0或1時,由圖形知,兩直線不重合.綜上,m的值為0或1.答案:0或1 判斷兩直線是否平行的步驟例2(1)直線l1經(jīng)過點A(3,2),B(3,-1),直線l2經(jīng)過點M(1,1),N(2,1),判斷l(xiāng)1與l2是否垂直;(2)已知直線l1經(jīng)過點A(3,a),B(a-2,3),直線l2經(jīng)過點C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,求a的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的條件判斷;若一條直線的斜率不存在,再看另一條直線的斜率是否為0,若為0,則垂直.(2)當(dāng)兩直線的斜率都存在時,由斜率之積等

9、于-1求解;若一條直線的斜率不存在,由另一條直線的斜率為0求解.解:(1)直線l1的斜率不存在,直線l2的斜率為0,所以l1l2.(2)由題意,知直線l2的斜率k2一定存在,直線l1的斜率可能不存在.當(dāng)直線l1的斜率不存在時,3=a-2,即a=5,此時k2=0,則l1l2,滿足題意.當(dāng)直線l1的斜率k1存在時,a5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.由l1l2,知k1k2=-1,即3-aa-5a-5-3=-1,解得a=0.綜上所述,a的值為0或5. 兩直線垂直的判定方法 兩條直線垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提條件是兩條直線斜率都存

10、在,若其中一條直線斜率不存在,另一條直線斜率為零,此時兩直線也垂直.跟蹤訓(xùn)練1 已知定點A(-1,3),B(4,2),以AB為直徑作圓,與x軸有交點P,則交點P的坐標(biāo)是.解析:設(shè)以AB為直徑的圓與x軸的交點為P(x,0).kPB0,kPA0,kPAkPB=-1,即0-3x+10-2x-4=-1,(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故點P的坐標(biāo)為(1,0)或(2,0).答案:(1,0)或(2,0)例3 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OPQR的頂點坐標(biāo)按逆時針順序依次為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t0.試判斷四邊

11、形OPQR的形狀.思路分析:利用直線方程的系數(shù)關(guān)系,或兩直線間的斜率關(guān)系,判斷兩直線的位置關(guān)系.解:由斜率公式得kOP=t-01-0=t,kRQ=2-(2+t)-2t-(1-2t)=-t-1=t,kOR=2-0-2t-0=-1t,kPQ=2+t-t1-2t-1=2-2t=-1t.所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,從而OPRQ,ORPQ.所以四邊形OPQR為平行四邊形.又kOPkOR=-1,所以O(shè)POR,故四邊形OPQR為矩形.延伸探究1 將本例中的四個點,改為“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),順次連接A,B,C,D四點,試判斷四邊形ABCD的形狀.”由斜率公式可得

12、kAB=5-32-(-4)=13,kCD=0-3-3-6=13,kAD=0-3-3-(-4)=-3,kBC=3-56-2=-12.所以kAB=kCD,由圖可知AB與CD不重合,所以ABCD,由kADkBC,所以AD與BC不平行.又因為kABkAD=13(-3)=-1,所以ABAD,故四邊形ABCD為直角梯形.解:由題意A,B,C,D四點在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖,延伸探究2 將本例改為“已知矩形OPQR中四個頂點按逆時針順序依次為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),試求頂點R的坐標(biāo).”解:因為OPQR為矩形,所以O(shè)Q的中點也是PR的中點.設(shè)R(x,y),則由中點坐標(biāo)公式知0+

13、1-2t2=1+x2,0+2+t2=t+y2,解得x=-2t,y=2.所以R點的坐標(biāo)是(-2t,2).利用兩條直線平行或垂直來判斷圖形形狀的步驟點睛：利用平行、垂直關(guān)系式的關(guān)鍵在于正確求解斜率，特別是含參數(shù)的問題，必須要分類討論；其次要注意的是斜率不存在并不意味著問題無解金題典例 已知點A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四邊形ABCD為直角梯形,求點D的坐標(biāo).思路分析:分析題意可知,AB、BC都不可作為直角梯形的直角邊,所以要考慮CD是直角梯形的直角邊和AD是直角梯形的直角邊這兩種情況;設(shè)所求點D的坐標(biāo)為(x,y),若CD是直角梯形的直角邊,則BCCD,ADCD,根據(jù)已知可得kBC

14、=0,CD的斜率不存在,從而有x=3;接下來再根據(jù)kAD=kBC即可得到關(guān)于x、y的方程,結(jié)合x的值即可求出y,那么點D的坐標(biāo)便不難確定了,同理再分析AD是直角梯形的直角邊的情況.解:設(shè)所求點D的坐標(biāo)為(x,y),如圖所示,由于kAB=3,kBC=0,則kABkBC=0-1,即AB與BC不垂直,故AB、BC都不可作為直角梯形的直角邊.若CD是直角梯形的直角邊,則BCCD,ADCD,kBC=0,CD的斜率不存在,從而有x=3.又kAD=kBC,y-3x=0,即y=3.此時AB與CD不平行.故所求點D的坐標(biāo)為(3,3).若AD是直角梯形的直角邊,則ADAB,ADCD,kAD=y-3x,kCD=yx

15、-3.由于ADAB,則y-3x3=-1.又ABCD,yx-3=3.解上述兩式可得x=185,y=95,此時AD與BC不平行.故所求點D的坐標(biāo)為185,95.綜上可知,使四邊形ABCD為直角梯形的點D的坐標(biāo)可以為(3,3)或185,95.反思感悟：先由圖形判斷四邊形各邊的關(guān)系,再由斜率之間的關(guān)系完成求解.特別地,注意討論所求問題的不同情況.通過生活中的現(xiàn)實情境，提出問題，明確研究問題運用代數(shù)方法探究兩直線平行與垂直問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧初中兩直線平行與垂直的幾何知識，為探究運用斜率判斷直線平行和垂直作知識上的準(zhǔn)備。由坐標(biāo)系中的直線，讓學(xué)生理解直線傾斜角和斜率的概念。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽

16、象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。 通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生加深對利用直線斜率判斷兩直線平行和垂直的方法，提升運用能力。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進(jìn)一步讓理解運用直線斜率判斷直線平行u垂直的方法，提升推理論證能力，進(jìn)一步體會坐標(biāo)法解決問題的基本思想。三、達(dá)標(biāo)檢測1下列說法正確的是()A若直線l1與l2傾斜角相等，則l1l2B若直線l1l2，則k1k21C若直線的斜率不存在，則這條直線一定平行于y軸D若兩條直線的斜率不相等，則兩直線不平行解析：A中，l1與l2可能重合；B中，l1，l2可能存在其一沒斜率；C中，直線也可能與y軸重合；D正確，選D.答案 D2.若直

17、線l1的斜率為a,l1l2,則直線l2的斜率為() A.1aB.aC.-1aD.-1a或不存在解析:若a0,則l2的斜率為-1a;若a=0,則l2的斜率不存在.答案:D 3.已知直線l1的傾斜角為45,直線l1l2,且l2過點A(-2,-1)和B(3,a),則a的值為.解析:由題意,得a-(-1)3-(-2)=1,即a=4.答案:4 4.已知ABC的三個頂點分別是A(2,2),B(0,1),C(4,3),點D(m,1)在邊BC的高所在的直線上, 則實數(shù)m=.解析:設(shè)直線AD,BC的斜率分別為kAD,kBC,由題意,得ADBC,則有kADkBC=-1,所以有1-2m-23-14-0=-1,解得m=52.答案:525.順次連接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點,判斷四邊形ABCD形狀.解:kAB=13,kBC=-12,kCD=13,kAD=-3, 所以直線AD垂直于直線AB與CD,而且直線BC不平行于任何一條直線,所以四邊形ABCD是