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文檔簡介
1、t x 第四章第四章 機械振動機械振動 前言前言 4-1 4-1 簡諧振動的動力學(xué)特征簡諧振動的動力學(xué)特征 4-2 4-2 簡諧振動的運動學(xué)簡諧振動的運動學(xué) 4-3 4-3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量 4-4 4-4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 * *振動的頻譜分析振動的頻譜分析 4-5 4-5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振 1、什么是振動:、什么是振動: 物體在一固定位置附近作來回的往復(fù)運動,稱為機械振動。物體在一固定位置附近作來回的往復(fù)運動,稱為機械振動。 廣義地,凡是描述物質(zhì)運動狀態(tài)的廣義地,凡是描述物質(zhì)運動狀態(tài)的物理量物理量,在某一固定,在某一固定 值附近作周期性變
2、化,都可稱該物理量作振動。值附近作周期性變化,都可稱該物理量作振動。 振動的概念振動的概念 任何一個具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運動狀態(tài)發(fā)生突變時任何一個具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運動狀態(tài)發(fā)生突變時, 都會發(fā)生振動。都會發(fā)生振動。 物體在發(fā)生搖擺、顛簸、打擊、發(fā)聲之處均有振動。物體在發(fā)生搖擺、顛簸、打擊、發(fā)聲之處均有振動。 2、振動的特征、振動的特征 (在時間上)具有某種重復(fù)性。在時間上)具有某種重復(fù)性。 任何一個物理量在某一量值附近隨時間作周期性任何一個物理量在某一量值附近隨時間作周期性 變化都可以叫做變化都可以叫做振動振動. . 周期和非周期振動周期和非周期振動 簡諧振動簡諧振動 最簡單、最基本
3、的振動最簡單、最基本的振動. . 諧振子諧振子: : 作簡諧運動的物體作簡諧運動的物體. . 例如例如交流電路中的電流、電壓,振蕩電路中的電交流電路中的電流、電壓,振蕩電路中的電 場強度和磁場強度等場強度和磁場強度等. . 簡諧運動簡諧運動復(fù)雜振動復(fù)雜振動 合成合成 分解分解 4-1 4-1 簡諧振動的動力學(xué)特征簡諧振動的動力學(xué)特征 任何一個振動都可看成若干不同頻率的簡諧振動的合成。任何一個振動都可看成若干不同頻率的簡諧振動的合成。 振動中最簡單最基本的是簡諧振動。振動中最簡單最基本的是簡諧振動。 4.1.1 彈簧振子模型彈簧振子模型 kl0 x m o AA 00Fx 彈簧振子模型彈簧振子模
4、型 makxF 0 d d 2 2 2 x t x mk 2 令令 )sin( d d tA t x v )cos( d d 2 2 2 tA t x a 積分常數(shù),根據(jù)初始條件確定積分常數(shù),根據(jù)初始條件確定 )cos(tAx x x F m o a 與與 x 方向方向相反相反 xa 2 tx圖圖 tv 圖圖 ta 圖圖 T A A 2 A 2 A x v a t t t A A o o o T T )cos(tAx 0取取 2 T ) 2 cos(tA )sin(tAv )cos( 2 tA )cos( 2 tAa 2)無阻尼時的自由振動)無阻尼時的自由振動 (1)平衡位置與坐標原點:)平衡
5、位置與坐標原點: 鉛直位置為角平衡位置,鉛直位置為角平衡位置,o為角坐標為角坐標 原點。原點。 (2)恢復(fù)力矩的特點:)恢復(fù)力矩的特點: 重力對過懸點重力對過懸點0/的水平軸的力矩為:的水平軸的力矩為: sinmglM 負號表示力矩方向始終與角位移方負號表示力矩方向始終與角位移方 向相反。向相反。 1 1)定義)定義 )5的擺動(在豎直平面內(nèi)作小角度在重力作用下,:條件 輕繩與質(zhì)點固聯(lián)一端固定的不可伸長的:構(gòu)成 o 1、單擺、單擺 / o 0 l gm T / o 0 4.1.2 微振動的簡諧近似微振動的簡諧近似 2 2 d d mghJ t 若不計阻力若不計阻力 2 g l 令 2 2 2
6、d 0 dt 單擺的小角度擺動是簡諧振動單擺的小角度擺動是簡諧振動. . 繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體稱之為繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體稱之為復(fù)擺復(fù)擺 . 2 mgh J 令 任何一個物理量的變化規(guī)律凡滿足式任何一個物理量的變化規(guī)律凡滿足式(4.4),且常量,且常量 決定于系統(tǒng)本身的性質(zhì),則該物理量作決定于系統(tǒng)本身的性質(zhì),則該物理量作簡諧振動簡諧振動. 35 5sin 3!5! Mmgl 簡諧振動的判斷(滿足其中一條即可)簡諧振動的判斷(滿足其中一條即可) x t x 2 2 2 d d 2 2)簡諧振動的動力學(xué)描述簡諧振動的動力學(xué)描述 kxF 1 1)物體受線性回復(fù)力作用物體受線性回
7、復(fù)力作用 平衡位置平衡位置0 x mk彈簧振子彈簧振子lg 單擺單擺 (由振動系統(tǒng)本身性質(zhì)決定)(由振動系統(tǒng)本身性質(zhì)決定) xa 2 簡諧振動的特征簡諧振動的特征 )sin(tAv )cos(tAx 3 3)簡諧振動的運動學(xué)描述簡諧振動的運動學(xué)描述 (在無外驅(qū)動力的情況下)(在無外驅(qū)動力的情況下) 例例4.14.1一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的物體懸掛于輕彈簧下端,不計空的物體懸掛于輕彈簧下端,不計空 氣阻力,試證其在平衡位置附近的振動是簡諧振動氣阻力,試證其在平衡位置附近的振動是簡諧振動. . 證證如圖所示,以平衡如圖所示,以平衡 位置位置A為原點,向下為為原點,向下為x 軸正向,設(shè)某一瞬時振軸正向,
8、設(shè)某一瞬時振 子的坐標為子的坐標為x,則物體,則物體 在振動過程中的運動方在振動過程中的運動方 程為程為 2 2 d () d x mk x lmg t 式中式中l(wèi)是彈簧掛上重物后的靜伸長,因為是彈簧掛上重物后的靜伸長,因為mgkl, 所以上式為所以上式為 2 2 d d x mkx t 2 2 2 d 0 d x x t 為即 式中式中 于是該系統(tǒng)作簡諧振動于是該系統(tǒng)作簡諧振動. . 2 . k m 例例4.2一輕彈簧的下端掛一重物,上端固定在支架上,一輕彈簧的下端掛一重物,上端固定在支架上, 彈簧伸長量彈簧伸長量l=9.8cm。如果給物體一個向下的瞬時沖擊。如果給物體一個向下的瞬時沖擊 力
9、,使它具有力,使它具有 的向下的速度,它就上下振動起的向下的速度,它就上下振動起 來。試證明物體是作簡諧振動,并寫出其振動方程式。來。試證明物體是作簡諧振動,并寫出其振動方程式。 1 1 sm :解 X o k m m 0 v 0 klmg x o 軸正方向,則有向下為 ,點取物體的平衡位置為原 2 2 dt xd mlxkmg x 第二定律 時,根據(jù)牛頓當(dāng)物體運動至某點 0 2 2 x m k dt xd 整理可得 動。由此可知物體作簡諧振 )(10 1 srad l g m k ,sin cos tAvtAx,速度方程為振動方程為 1 00 100 smvxt,時,初始條件: m v xA
10、1 . 0 10 1 0 22 0 2 0 2010 1 tan 0 0 x v 2 0sin0sin 0 Av mtx 2 10cos1 . 0 物體的振動方程為: :解 例例4.3 輕彈簧的一端固定,另一端與物體輕彈簧的一端固定,另一端與物體m間由柔軟間由柔軟 細繩連接,細繩跨于桌邊滑輪細繩連接,細繩跨于桌邊滑輪M上,而上,而m懸于細繩下懸于細繩下 端。已知彈簧的倔強系數(shù)端。已知彈簧的倔強系數(shù) ,滑輪的質(zhì)量為,滑輪的質(zhì)量為 M=1kg,半徑,半徑R=0.2米,物體質(zhì)量米,物體質(zhì)量m=1.5kg。若將物體。若將物體 由平衡位置向上托起由平衡位置向上托起0.15米,然后突然放手。證明物米,然后
11、突然放手。證明物 體做簡諧振動,并寫出振動方程。體做簡諧振動,并寫出振動方程。 m N k50 k m M 10 0 kxmg o處有在平衡位置 2 02 xxkT xo 處時點物體離開 2 T 1 T k m M 2 T 1 T 1 T mg 3 1 maTmgm對物體 4 2 1 2 21 MRRTTM對滑輪 10 0 kxmg 2 02 xxkT 5 Ra 且 6 2 1 2 2 2 xx Mm k dt xd a 解上述方程得 秒周期1.26.420 2 T mx v xAvmxt15. 0015. 0 0 0 2 0 2 000 ,時,又 6 2 1 2 2 2 xx Mm k dt
12、 xd a 解上述方程得 秒 作諧振動,且圓頻率為 5 5 . 05 . 1 0 . 5 2 1 Mm k m 1cos cos 0 得由AAx mttAxm 5cos15. 0cos 的振動方程為 注意:注意:(1)解題中O點的確定原則:物體保持靜止的位 置。(2)解得的初相要結(jié)合初始速度作正確取舍。 微分方程微分方程 2 2 0 2 d 0cos() d x xxAt t 00 cos()sin() 2 tt 0 2 令 sin()xAt 簡諧振動的運動規(guī)律也可用正弦函數(shù)表示簡諧振動的運動規(guī)律也可用正弦函數(shù)表示. 4.2.1 簡諧振動的運動學(xué)方程簡諧振動的運動學(xué)方程 以彈簧振子為例,其動力
13、學(xué)方程為以彈簧振子為例,其動力學(xué)方程為 4-2 4-2 簡諧振動的運動學(xué)簡諧振動的運動學(xué) 1 1、振幅振幅A A max xA 2 2 0 2 0 v xA 0 0 0 tan x v 00 0vv xxt 初始條件初始條件 00 cosxA 00 sinA v 對給定振動系統(tǒng),周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定,對給定振動系統(tǒng),周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定, 振幅和初相由初始條件決定振幅和初相由初始條件決定. 0 sin()At v 0 cos()xAt 4.2.2 描述簡諧振動的三個重要參量描述簡諧振動的三個重要參量 0 0cosA 0 2 00 sin0A v 00 sin0 2 取取 0, 0, 0vx
14、t已知已知 求求 0 討論討論 x v o cos() 2 xAt A A x T 2 T t o 0 cos()xAt 2 2、周期、頻率、圓頻率周期、頻率、圓頻率 2 T 周期周期 2 1 T 頻率頻率 T 2 2 圓頻率圓頻率 0 cos ()AtT tx 圖圖 A A x T 2 T t o k m T2彈簧振子周期彈簧振子周期 周期和頻率僅與振動系統(tǒng)周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)有關(guān)的物理性質(zhì)有關(guān) 注意注意 2 l T g 單擺單擺2 J T mgh 復(fù)擺復(fù)擺 例例4.4 如圖所示系統(tǒng)(細線的如圖所示系統(tǒng)(細線的 質(zhì)量和伸長可忽略不計),細質(zhì)量和伸長可忽略不計),細 線靜止
15、地處于鉛直位置,重物線靜止地處于鉛直位置,重物 位于位于O 點時為平衡位置點時為平衡位置. . 若把重物從平衡位置若把重物從平衡位置O 略略 微移開后放手微移開后放手, , 重物就在平衡重物就在平衡 位置附近往復(fù)的運動這一振位置附近往復(fù)的運動這一振 動系統(tǒng)叫做動系統(tǒng)叫做單擺單擺. . 求求單擺小角單擺小角 度振動時的周期度振動時的周期 l m o A 5 l m o A mglmglMsin 2 2 d d t Jmgl 2 mlJ l g t 2 2 d d 2 2 2 d d t )cos( m t l g 2 令令T F P glT2 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 正向正向 sin,5 時時 解解 1 1)
16、 存在一一對應(yīng)的關(guān)系存在一一對應(yīng)的關(guān)系; ; 0 ( , )txv 20 2 2)相位在相位在 內(nèi)變化,質(zhì)點內(nèi)變化,質(zhì)點無相同無相同的運動狀態(tài);的運動狀態(tài); 3 3、位相和初位相位相和初位相 0 t 3 3)初)初相位相位 描述質(zhì)點描述質(zhì)點初始初始時刻的運動狀態(tài)時刻的運動狀態(tài). . 0( 0)t ) (2nn相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質(zhì)點運動狀態(tài)質(zhì)點運動狀態(tài)全同全同. .(周期性)周期性) 0 02( ( 取取 或或 ) ) tx 圖圖 A A x T 2 T t o 0 sin()At v 0 cos()xAt 簡諧運動中,簡諧運動中, 和和 間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系. .
17、 x v v v v 1、旋轉(zhuǎn)矢量的規(guī)定法則、旋轉(zhuǎn)矢量的規(guī)定法則 (1) 旋轉(zhuǎn)矢量的制作旋轉(zhuǎn)矢量的制作 (2) 旋轉(zhuǎn)矢量的作用:旋轉(zhuǎn)矢量的作用: 使使描描述述諧諧振振動動的的三三個個重重要要 參參量量A A、形形象象化化 (3)旋轉(zhuǎn)矢量本身不是諧振動旋轉(zhuǎn)矢量本身不是諧振動 若已知一個諧振動若已知一個諧振動 x = A cos( t+ 0) 相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示。相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示。 習(xí)慣上用習(xí)慣上用 振動在y軸上的投影描述電A 振動在x軸上投影描述機械A(chǔ) A的位置 x t+ t 時刻時刻 t=0 時刻時刻 A的位置的位置 x0 X O 以以 為為 原點旋轉(zhuǎn)矢原點旋轉(zhuǎn)矢 量量 的端點的端點
18、 在在 軸上的軸上的 投影點的運投影點的運 動為簡諧運動為簡諧運 動動. . x A o x o 0 A 00 cosxA 當(dāng)當(dāng) 時時 0t 0 x T 2 以以 為為 原點旋轉(zhuǎn)矢原點旋轉(zhuǎn)矢 量量 的端點的端點 在在 軸上的軸上的 投影點的運投影點的運 動為簡諧運動為簡諧運 動動. . x A o x o A tt 0 t 時時 x 0 x T 2 0 cos()xAt 0 cos()xAt 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 矢量矢量 的的 端點在端點在 軸上的投軸上的投 影點的運影點的運 動為簡諧動為簡諧 運動運動. . x A A m v 0 cos() 2 Atv 2 0 cos()aAt 2 n Aa 0 2
19、 t m v v x y 0 A 0 t 0 cos()xAt n a a A - A O O T 2 T 4 T 4 3T 4 5T * 0 xx t A - A 用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的 圖圖 tx (旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間)(旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間) * * * * * * * 2T 0 4 0 cos()xAt (旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間)(旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間) 2T 用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的 圖圖 tx 例例4.5 如圖所示,輕質(zhì)彈簧一端固定,另一端系一如圖所示,輕質(zhì)彈簧一端固定,另一端系一 輕繩,繩過定滑輪掛一質(zhì)量為
20、輕繩,繩過定滑輪掛一質(zhì)量為m的物體的物體. .設(shè)彈簧的勁度設(shè)彈簧的勁度 系數(shù)為系數(shù)為k,滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為,滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J,半徑為,半徑為R. .若物體若物體m在在 其初始位置時彈簧無伸長,然后由靜止釋放其初始位置時彈簧無伸長,然后由靜止釋放.(1).(1)試證試證 明物體明物體m的運動是諧振動;的運動是諧振動;(2)(2)求此振動系統(tǒng)的振動周求此振動系統(tǒng)的振動周 期;期;(3)(3)寫出振動方程寫出振動方程. . 解解(1)(1)若物體若物體m離開初始位置離開初始位置 的距離為的距離為b時,受力平衡,則時,受力平衡,則 此時有此時有 mg mgkbb k 即 以此平衡位置以此平衡位置O為坐
21、標原點,為坐標原點, 豎直向下為豎直向下為x軸正向,當(dāng)物軸正向,當(dāng)物 體體m在坐標在坐標x處時,處時, 所以,此振動系統(tǒng)的運動是諧振動所以,此振動系統(tǒng)的運動是諧振動. . 0 , 2 2 2 2211 2 21 1 kx dt xd R J m TTTT Ra bxkT JRTRT maTmg 聯(lián)合求解上面五式: 即即 0 2 2 2 R J m kx dt xd (2) (2) 振動系統(tǒng)的圓頻率振動系統(tǒng)的圓頻率 2 / k mJ R 2 / 2 2 mJ R T k (3)(3)依題意知依題意知t0 0時,時, b b, 0 0,可求出,可求出 0 x 0 v 2 2 0 0 2 mg Ax
22、b k v 0 2 mgk cos()cos km+(J/R ) xAtt 注意:注意:(1)解題中O點的確定原則:物體保持靜止的位 置。(2)解得的初相要結(jié)合初始速度作正確取舍。 0arctan 0 0 0 x v 0 例例4.6 已知一簡諧振動的已知一簡諧振動的 位移曲線如圖所示,寫位移曲線如圖所示,寫 出振動方程。出振動方程。 )(st1 )(cmx 1 2 1 2 0 :解從圖可知 mcmA02. 02 ; 0, 2 0 00 v A xt時, ; 0, 0 1vxt時, o t 1t 2 A x 0t 3 2 6 7 23 2 )( 3 2 6 7 cos02. 0SItx 2 1
23、1 2 0 x 1 p 1 p ., ,;, , ,:7 . 4 21 1 1 相位矢量描述則由 正向運動如果質(zhì)點向相位述 矢量描則由負向運動質(zhì)點向 如果處任意時刻質(zhì)點位于例 po x opx x 將空間分為四個象限,判斷旋轉(zhuǎn)矢量在哪個象限。 x 1 A 2 A 3 A 4 A 0 0 v 0 x 0 v 0 x 0 v 0 x 0 v 0 x 200 0 , 0, 0 vx第一象限 200 , 0, 0 vx第二象限 200 , 0, 0 vx第三象限 0, 0, 0 200 vx象限第四 x 由位移時間曲線(x-t)形狀判斷速度的正負, 進一步確定其位相。 V0 t 1 x 2 x 3 x
24、 4 x 5 x 曲線下降,質(zhì)點向x軸負向運動,v0 當(dāng)x1,x2,x3.為不同坐標軸時, 其初位相分別為 02 2 2 0 5 2 3 4 321 或 或 一、動能一、動能 2 2 1 mvEk )( 2 m k 二、勢能二、勢能 2 2 1 kxEP 三、總能三、總能2 2 1 kAEEE Pk 四、動能和勢能在一個周期內(nèi)的平均值四、動能和勢能在一個周期內(nèi)的平均值 2cos1 2 1 sin)2cos1 ( 2 1 cos 22 )(sin 2 1 0 222 tAm )(sin 2 1 0 22 tkA )(cos 2 1 0 22 tkA 2 max 2 1 mv 22 2 1 Am
25、設(shè)設(shè)x(t)=Acos(t+0 ) v(t)=-Asin(t+ 0) 4-3 4-3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量 ,其值在間周期性變化,周期為振動動能和勢能均隨時 2 1 T 零。;勢能最大時,動能為動能最大時,勢能為零2 化。振動總能量不隨時間變3 之間。 222 2 1 2 1 0AmkA 同理平均勢能同理平均勢能 2 0 0 22 4 1 )(cos 2 11 KAdttKA T E T P EkAEE Pk 2 1 4 1 2 2 2 1 kAE E t x 0 x x=Acost 在一個周期在一個周期 T 內(nèi)的平均動能內(nèi)的平均動能 )(sin 2 11 0 0 22 T K dtt
26、KA T E 2 4 1 KA )(2cos1 2 1 2 11 0 0 2 T dttKA T 線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力,作,作簡諧簡諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機械能守恒機械能守恒 以彈簧振子為例以彈簧振子為例 0 0 cos() sin() xAt At v kxF 2222 kp 111 222 m EEEkAmAmv mk / 2 2222 k0 11 sin () 22 EmmAtv 222 p0 11 cos () 22 EkxkAt 0 222 0 0 1 ( )d 111 sind 24 T k k T EE tt T kAttkA T 2 p 1 4 EkA同理 動能
27、和勢能在一個周期內(nèi)的動能和勢能在一個周期內(nèi)的平均值相等平均值相等,且均等,且均等 于總能量的一半于總能量的一半. 動能和勢能在一個周期內(nèi)的平均值動能和勢能在一個周期內(nèi)的平均值 2 p 11 42 kEEkAE 簡簡 諧諧 振振 動動 能能 量量 圖圖 tx tv 2 2 1 kAE 0 tAxcos tAsinv v, x to T 4 T 2 T 4 3T 能量能量 o T t tkAE 22 p cos 2 1 tAmE 222 k sin 2 1 0000 () m mumM VVu mM 解解(1)(1)子彈射入木塊過子彈射入木塊過 程中,水平方向動量守恒程中,水平方向動量守恒. .
28、設(shè)子彈陷入木塊后兩者的設(shè)子彈陷入木塊后兩者的 共同速度為共同速度為 ,則有,則有 0 V 例例4.8 如圖所示,光滑水平面上的彈簧振子由質(zhì)量如圖所示,光滑水平面上的彈簧振子由質(zhì)量 為為M M的木塊和勁度系數(shù)為的木塊和勁度系數(shù)為k k的輕彈簧構(gòu)成的輕彈簧構(gòu)成. .現(xiàn)有一個質(zhì)現(xiàn)有一個質(zhì) 量為量為m m,速度為,速度為 的子彈射入靜止的木塊后陷入其中,的子彈射入靜止的木塊后陷入其中, 此時彈簧處于自由狀態(tài)此時彈簧處于自由狀態(tài).(1).(1)試寫出該諧振子的振動方試寫出該諧振子的振動方 程;程;(2)(2)求出求出 處系統(tǒng)的動能和勢能處系統(tǒng)的動能和勢能. . 0 u 2 A x 初始條件為初始條件為
29、,子彈射入木塊后諧振,子彈射入木塊后諧振 系統(tǒng)的圓頻率為系統(tǒng)的圓頻率為 000 00 xV,v k mM 設(shè)諧振系統(tǒng)的振動方程為設(shè)諧振系統(tǒng)的振動方程為 ,將初始,將初始 條件代入得條件代入得 0 cos()xAt 0 00 0cos sin0 A VA 0 3 2 00 0 sin() Vmu A k mM 諧振子的振動方程為諧振子的振動方程為 0 0 3 cos()cos() 2 muk xAtt mM k mM (2)x(2)xA/2A/2時諧振系統(tǒng)的勢能和動能分別為時諧振系統(tǒng)的勢能和動能分別為 22 22 0 22 222 0 11 () 2228 3113 2888 p kp m uA
30、 Ekxk mM m u EEEkAkAkA mM 4.4.1 同方向同頻率諧振動的合成同方向同頻率諧振動的合成 x1 = A1cos ( t+ 1) x2 = A2 cos ( t+ 2) 求求: x x1 x2 1 1、 計算法計算法 )cos()cos( 20210121 tAtAxxx 202202 101101 sinsincoscos sinsincoscos tAtA tAtA )sinsin(sin )coscos(cos 202101 202101 AAt AAt 0202101 0202101 sinsinsin coscoscos AAA AAA 令 4-4 4-4 簡諧
31、振動的合成簡諧振動的合成 *振動的頻譜分析振動的頻譜分析 )tAcos( sinsincoscos 0 00 tAtAx 上式 兩個同方向、同頻率的諧振動的合振動仍然是一個同兩個同方向、同頻率的諧振動的合振動仍然是一個同 頻率的諧振動。頻率的諧振動。 合振幅合振幅 )cos(2 102021 2 2 2 1 AAAAA 初位相初位相 coscos sinsin 202101 202101 1 0 AA AA tg 其中其中 xx t oo 02010 2 k 120 ()cos()xAAt A 21 AAA 0 1 A 2 A T 1 1)位相差位相差 2010 2 k ), 2 1 0( ,
32、k 22 12122010 2cos()AAAA A 討論討論 xx t oo 21 AAA 02 )cos()( 12 tAAx 22 12122010 2cos()AAAA A T 2 A 20 1 A A 2 2)位相差位相差 2010 (21)k) , 1 0( ,k tAxcos 11 )cos( 22 tAx 3 3)一般情況一般情況 2121 AAAAA 21 AAA 2 2)相位差相位差 1 1)相位差相位差 21 AAA 2k)10( , k 相互加強相互加強 相互削弱相互削弱 ) 12(k)10( , k 2010 相位差相位差 22 12122010 2cos()AAAA
33、 A 2、旋轉(zhuǎn)矢量合成法、旋轉(zhuǎn)矢量合成法 x y 0 A1 10 A2 20 A 0 x1 x2 x 1 y 2 y y 利用正切函數(shù)求得合振動的初位相。利用正切函數(shù)求得合振動的初位相。 兩振動頻率相同,則它們的旋轉(zhuǎn)矢量以相同的角速度兩振動頻率相同,則它們的旋轉(zhuǎn)矢量以相同的角速度 旋旋 轉(zhuǎn),故形成穩(wěn)定的平形四邊形。轉(zhuǎn),故形成穩(wěn)定的平形四邊形。 利用矢量加法的平行四邊形法則,合振動的旋轉(zhuǎn)矢量為利用矢量加法的平行四邊形法則,合振動的旋轉(zhuǎn)矢量為A, 振幅最大振幅最大 Amax=A1+A2 振幅最小振幅最小 Amin= |A1 A2| 3、位相差對合振幅的影響、位相差對合振幅的影響 2 , 1 , 0
34、 2 )()( 10201020 k ktt (1 1)若位相差)若位相差 2 , 1 , 0 ) 12( kk (2 2)若位相差)若位相差 (3 3)若位相差)若位相差 1020 為其它任意值時為其它任意值時 振幅振幅A A AminA Amax 從圖可看出,因兩旋轉(zhuǎn)矢量的角從圖可看出,因兩旋轉(zhuǎn)矢量的角 速度速度 1 1、 2 2 不相同,所以由兩不相同,所以由兩 矢量矢量A A1 1、A A2 2合成的平行四邊形的合成的平行四邊形的 形狀要發(fā)生變化,矢量形狀要發(fā)生變化,矢量A A的大小的大小 也隨之而變,出現(xiàn)了振幅有周期也隨之而變,出現(xiàn)了振幅有周期 性地變化。性地變化。 1、利用旋轉(zhuǎn)矢量
35、合成法、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成法 4.4.2 同方向不同頻率簡諧振動的合成同方向不同頻率簡諧振動的合成 1 o x 1 A 2 A A 2 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個的兩個同方向同方向簡諧運動的簡諧運動的 合成,其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫合成,其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. . 合振動頻率合振動頻率振幅部分振幅部分 2112 討論討論 的情況的情況 2121 2cos()cos() 22 xAtt 11 cos()xAt 22 cos()xAt 1212 cos()cos()xxxAtAt 2121 2cos()cos() 22 xAtt | 21拍
36、 max 2AA 0 min A 21 2cos 2 AAt 12 () 2 振幅振幅 振動頻率振動頻率 振幅時大時小的現(xiàn)象叫做振幅時大時小的現(xiàn)象叫做“拍拍”.合振幅每變化一合振幅每變化一 個周期稱為一拍,單位時間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)個周期稱為一拍,單位時間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)(合振合振 幅變化的頻率幅變化的頻率)叫做叫做拍頻拍頻. | | 222 拍21 21拍 拍頻等于兩個分拍頻等于兩個分 振動頻率之差振動頻率之差 確定一個復(fù)雜振動能包含的各種簡諧振動的頻率確定一個復(fù)雜振動能包含的各種簡諧振動的頻率 及其對應(yīng)的振幅稱為及其對應(yīng)的振幅稱為頻譜分析頻譜分析. . ()( )x t Tx t 按傅里葉級數(shù)展
37、開為按傅里葉級數(shù)展開為 0 1 ( )cossin 2 nn n a x tan tbn t 2 2 T *4.4.3 振動的頻譜分析振動的頻譜分析 0123 222 sinsin3sin5 235 AAAA xtttxxxx 式中第一項可看成周期為無式中第一項可看成周期為無 窮大的零頻項,第二、三、窮大的零頻項,第二、三、 四項就是頻率分別為四項就是頻率分別為 , , , , 的諧振動,其振動曲線的諧振動,其振動曲線 分別如圖分別如圖( (b b) ),( (c c) ),( (d d) )所示,所示, 它們的合振動曲線就接近方它們的合振動曲線就接近方 波了波了. . 0 0 3 0 5 1
38、10 cos()xAt 220 cos()yAt 22 2 20102010 22 1212 2 cos()sin () xyxy AAA A 振動方向互相垂直的同頻諧振的軌跡是一橢圓曲線,振動方向互相垂直的同頻諧振的軌跡是一橢圓曲線, 曲線的形狀則與兩分振動的位相差有很大關(guān)系。曲線的形狀則與兩分振動的位相差有很大關(guān)系。 * *4.4.4 4.4.4 兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成 用用 旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 矢矢 量量 描描 繪繪 振振 動動 合合 成成 圖圖 李李 薩薩 如如 圖圖 形形 * *4.4.5 4.4.5 兩個相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成兩個相互
39、垂直的不同頻率簡諧振動的合成 振幅隨時間不斷衰減的振動叫做振幅隨時間不斷衰減的振動叫做阻尼振動阻尼振動. . 討論諧振子系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減的情況:討論諧振子系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減的情況: d d r x fv t 以彈簧振子為例以彈簧振子為例 2 2 dd dd xx mkx tt 2 22 00 2 dd 220 dd kxx x mmtt 令, 4.5.1 阻尼振動阻尼振動 4-5 4-5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振 00 cos() t xA et 22 0 0 222 T 阻尼阻尼振動的準周期振動的準周期 ,A0和和 依然是由初始條件確定依然是由初始條件確定
40、的兩個積分常數(shù)的兩個積分常數(shù). 22 0 0 弱阻尼弱阻尼 )1( 0 過阻尼過阻尼:若介質(zhì)的阻尼很大,物體從開始的最大:若介質(zhì)的阻尼很大,物體從開始的最大 位移處緩慢地逼近平衡位置,其后靜止不動位移處緩慢地逼近平衡位置,其后靜止不動. . 臨界阻尼臨界阻尼:物體不能作往復(fù)運動的臨界情況:物體不能作往復(fù)運動的臨界情況. . 012 () t xcc t e 2222 00 ()() 012 tt xc ec e 欠阻尼欠阻尼: : 物體在介質(zhì)中振動,若介質(zhì)的阻尼不大物體在介質(zhì)中振動,若介質(zhì)的阻尼不大 (如水中),可近似看成振幅逐漸減小的簡諧運(如水中),可近似看成振幅逐漸減小的簡諧運 動動.
41、. b b)過阻尼)過阻尼 a a)欠阻尼)欠阻尼 c c)臨界阻尼)臨界阻尼 t O x a b 三種阻尼振動位移時間曲線三種阻尼振動位移時間曲線 c 1、弱阻尼諧振子系統(tǒng)諧受迫振動微分方程、弱阻尼諧振子系統(tǒng)諧受迫振動微分方程 以彈簧振子為例以彈簧振子為例 2 0 2 cos d xdx mkxFpt dtdt 其運動方程為其運動方程為 , 2 0 m k 令,2 m 0 0 F f m 4.5.2 4.5.2 受迫振動受迫振動 2 2 00 2 2cos d xdx xfpt dtdt 則得則得 外界作用外界作用 不討論不討論隨機外力隨機外力 cosptcospt只討論諧和策動力只討論諧和策動力F F周期性外力周期性外力 用下的新平衡點用下的新平衡點將坐
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