數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念教學設計

1、數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念教學設計3.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念（人教版）華南師范大學 陳栩林 （僅供參考） 一、教學內容 數(shù)系的三次擴充過程，復數(shù)的引入過程，復數(shù)概念的知識二、教學目標知識與技能1、 了解數(shù)系擴充的過程及引入復數(shù)的需要2、 掌握復數(shù)的有關概念和代數(shù)符號形式、復數(shù)的分類方法及復數(shù)相等的充要條件過程與方法1、 通過數(shù)系擴充的介紹，讓學生體會數(shù)系擴充的一般規(guī)律2、 通過具體到抽象的過程，讓學生形成復數(shù)的一般形式情感態(tài)度與價值觀1、 體會數(shù)系的擴充過程中蘊含的創(chuàng)新精神與實踐精神，感受人類理性思維的作用2、 體會類比、分類討論、等價轉化的數(shù)學思想方法三、教學重點引入復數(shù)的必要性與復數(shù)的相

2、關概念、復數(shù)的分類，復數(shù)相等的充要條件四、教學難點虛數(shù)單位i的引進和復數(shù)的概念五、學生分析學生在本章之前已經學習了推理與證明的內容，有了一定的推理與證明能力，有利于本節(jié)課運用類比思想對實數(shù)集進行擴充。六、教學方法及教學用具啟發(fā)引導、類比探究并運用多媒體課件展示相關知識七、教學過程（一）問題引入問題：若，求（1）x+y的值； （2）求x和y的值生（獨立完成）：求出x+y=3或-3師：既然和能夠求出來，那能不能求出x和y的值呢？生：，由于的存在，我們求不了x、y的值師：事實上在實數(shù)范圍內x和y確實不存在？為什么會這樣呢？假設x和y是存在的，那么就肯定是一些不是實數(shù)的數(shù)，那么，這些數(shù)是什么呢？我們能

3、不能解決這個問題呢？這就是我們今天要學習的內容數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入（二）回顧數(shù)系的擴充歷程師：其實對于這種“數(shù)不夠用”的情況，我們并不陌生。大家記得嗎？從小學到現(xiàn)在，我們一直在經歷著數(shù)的不斷擴充?，F(xiàn)在就讓我們來回顧一下，看看我們以前是怎么解決“數(shù)不夠用”的問題的。原因1原因2規(guī)律自然數(shù)（N）計數(shù)1、實際需要、運算矛盾2、引入新數(shù)解決問題，運算保持，運算律不變整數(shù)（Z）具有相反意義的量減法在N不能完全運算有理數(shù)（Q）測量，分配除法在Z不能完全運算實數(shù)（R）單位正方形對角線長開平方在Q不能完全運算（三）類比，引入新數(shù)，將實數(shù)集擴充1、 類比數(shù)系的擴充規(guī)律，引導學生找出解決“實數(shù)不夠用”這個問題的

4、辦法生：引入新數(shù)，使得平方為負數(shù) 師：我們希望引入的數(shù)的平方為負數(shù)，但是負數(shù)有無窮多個，我們不肯能一下子引入那么多，只要引入平方為多少就行呢？ （引導學生找到，因為任何一個負數(shù)都可以寫成正數(shù)與-1的乘積）2、 歷史重現(xiàn)：在歷史上數(shù)學家們碰到我們前面這個問題的時候一開始是解決不了的，導致在此問題上徘徊了百年之久，直到18世紀末，數(shù)學家才認識到解決的重要性，于是他們就像我們一樣引入新的數(shù)，使得引入的數(shù)的平方等于，并把這個數(shù)記為英文字母，就是虛構、想象的意思。3、探究復數(shù)的一般形式： 首先，我們有：（1） （2）與實數(shù)可以做運算、并且運算律不變 師：我們不妨把添加到實數(shù)集里面成為一個新的集合A，根據(jù)

5、的性質，我們拿兩個實數(shù)a和b與任意的做加法、乘法運算，可以得到哪些數(shù)呢？生：。（引導學生觀察得到以上這些數(shù)都可以看成）師：那我們原來的實數(shù)和能不能也看成這種形式？生：能?？梢詫懗珊蛶熆偨Y：所有形式的都應該在新的數(shù)集里面，并且新的數(shù)集里面的數(shù)都可以寫成這種形式，我們不妨把這種形式寫成，這就是我們把實數(shù)集進行擴充后得到的數(shù)所具有的一般形式。（四）新的數(shù)集復數(shù)集1、形如的數(shù)叫做復數(shù)，用字母z表示，其中叫做復數(shù)的實部，叫做復數(shù)的虛部，稱為虛數(shù)單位，所有復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，記為C，即。那么，我們現(xiàn)在就把實數(shù)集擴充到了復數(shù)集了，而負數(shù)也就可以開平方了，至此，我們有NZQRC 判斷：是復數(shù)嗎，它的實部

6、是什么？虛部是什么？ 總結：實部和虛部都是實數(shù)；通常把一個復數(shù)化簡到才可以進行判斷。2、復數(shù)的應用：復數(shù)在數(shù)學、力學、電學及其他學科中都有廣泛的應用，復數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，是進一步學習數(shù)學的基礎。（五）復數(shù)的分類師：既然實數(shù)集是復數(shù)集的真子集，那么復數(shù)在什么條件下退化為實數(shù)呢？（引出復數(shù)的分類） 例1.實數(shù)m分別取什么值時，復數(shù)zm+1(m-1)i是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？ 分析：因為mR，所以m+1，m-1都是實數(shù)，由復數(shù)zabi是實、虛數(shù)、純虛數(shù)與零的條件可以確定實數(shù)m的值總結：前提是m為實數(shù)，否則必須化成的形式（六）復數(shù)相等的充要條件問1：什么

7、時候等于0？（，由此得出兩個復數(shù)相等的充要條件）問2：如何根據(jù)第一問推導出兩個復數(shù)相等的充要條件？總結：例2 已知,其中，x,yR，求x與y分析：因為x，yR，所以由兩個復數(shù)相等的定義，可列出關于x，y的方程組，解這個方程組，可求出x，y的值 總結：復數(shù)相等的充要條件可以把復數(shù)相等的問題轉化為求方程組的解的問題，是一種轉化的思想。（七） 課堂小結1、由于實際的需要，我們總結數(shù)的三次擴充過程的規(guī)律，運用類比的方法，我們引進了新的數(shù)i，并將實數(shù)集擴充到了復數(shù)集，認識到了復數(shù)的代數(shù)形式，并討論了復數(shù)的分類及復數(shù)相等的充要條件，并且利用相等的條件把復數(shù)問題轉化為方程組的解的問題2、那么，復數(shù)究竟是什么東西呢？