第十四章 冪級(jí)數(shù)習(xí)題課

1、第十四章 冪級(jí)數(shù)習(xí)題課 第十四章 冪級(jí)數(shù)習(xí)題課一 疑難解析與注意事項(xiàng)1如何求缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑？答：如果一個(gè)冪級(jí)數(shù)有無限多個(gè)項(xiàng)的系數(shù)為零這樣的冪級(jí)數(shù)稱為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，對(duì)這種冪級(jí)數(shù)，不能直接用公式常用方法是：1）進(jìn)行變量替換將原冪級(jí)數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)無缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)計(jì)算出后一冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，再根據(jù)兩變量之間的關(guān)系得出原冪級(jí)數(shù)的收斂半徑例如冪級(jí)數(shù)，可令，化為冪級(jí)數(shù)，而冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，從而當(dāng)時(shí)，原冪級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，原冪級(jí)數(shù)發(fā)散，由此推出原冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2）對(duì)缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)需要按照類似于定理142來求例如求冪級(jí)數(shù)（缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)）的收斂半徑對(duì)于冪級(jí)數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即，收斂，則原來級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，即，發(fā)散，

2、則原來級(jí)數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑 2如何求冪級(jí)數(shù)的收斂域？答：1）首先求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑；2）寫收斂區(qū)間；3）討論端點(diǎn)處的收斂性，即討論，的收斂性，如果兩個(gè)都收斂，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，如果兩個(gè)都發(fā)散，則收斂域?yàn)?，如果其中一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，則收斂域?yàn)椋ㄊ諗浚ㄊ諗浚?冪級(jí)數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)都絕對(duì)收斂，那么在端點(diǎn)處斂散性如何？答：1）冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)處可能收斂可能發(fā)散例如冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是，在端點(diǎn)1處，級(jí)數(shù)發(fā)散，在端點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂，收斂域是2）如果是收斂，可能是絕對(duì)收斂，可能是條件收斂在端點(diǎn)處是條件收斂，收斂域是，在端點(diǎn)1與處都是絕對(duì)收斂的4冪級(jí)數(shù)與逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分后冪級(jí)數(shù)具有相同的收斂半徑、收斂區(qū)間，但收斂

3、域相同嗎？ 答：不一定，例如收斂域?yàn)?，但逐?xiàng)積分和冪級(jí)數(shù)為收斂域?yàn)樵O(shè)冪級(jí)數(shù)，收斂域分別是，則有如果一個(gè)冪級(jí)數(shù)經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積后其收斂性發(fā)生了變化，則變化的只能是收斂區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的收斂性一般來說，逐項(xiàng)求導(dǎo)后，系數(shù)由變?yōu)椋粫?huì)使收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性變好；而逐項(xiàng)求積后，系數(shù)由變?yōu)?，不?huì)使收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性變壞5如何求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)？答：首先求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域，然后可通過以下幾種方法求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：（1）變量替換法通過變量替換，化為一較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)（2）拆項(xiàng)法將冪級(jí)數(shù)分拆成兩個(gè)（或幾個(gè)）簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和（3）逐項(xiàng)求導(dǎo)法通過逐項(xiàng)求導(dǎo)得出另一冪級(jí)數(shù)，而此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是不難求得的；然

4、后再通過牛頓萊布尼茲公式，得到原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（4）逐項(xiàng)積分法通過逐項(xiàng)求積得出另一冪級(jí)數(shù)，而此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是可以求得的；然后再通過求導(dǎo)數(shù)，得到原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)一般通過逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分向等比級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化，系數(shù)含有，向的冪級(jí)數(shù)展開形式轉(zhuǎn)化，系數(shù)含有向展開形式轉(zhuǎn)化注意：上述運(yùn)算過程在冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)總是可行的（而在冪級(jí)數(shù)的收斂域上卻不一定可行）因此，我們一般只限定在冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)進(jìn)行上述運(yùn)算，由此得到在收斂區(qū)間上的和函數(shù)，而求冪級(jí)數(shù)在其收斂域上的和，還需要討論在端點(diǎn)的函數(shù)值，利用函數(shù)在端點(diǎn)的左（右）連續(xù)性來求還需指出，這里所介紹的方法，僅僅是可供選擇的幾種途經(jīng)對(duì)具體問題，常常要綜合利用上述方法，

5、或?qū)で笃渌椒ú拍艿玫絾栴}的解6如何利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和？答：選擇合適的冪級(jí)數(shù)，使該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)在某收斂點(diǎn)處的值然后求出冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則便是原數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和7如何求函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開式？答：主要有以下兩種方法：（1）直接法計(jì)算函數(shù)在處的各階導(dǎo)數(shù)，寫出它的泰勒級(jí)數(shù)，然后證明（2）間接法借助某些基本函數(shù)的展開式，通過適當(dāng)變換，四則運(yùn)算，逐項(xiàng)求導(dǎo)或者逐項(xiàng)求積等方法，導(dǎo)出所求函數(shù)色冪級(jí)數(shù)展開式這是常用的方法注意求展開式時(shí)，一定要寫展開式成立的范圍三 典型例題1求冪級(jí)數(shù)的收斂域：1）； 2）；3）； 4）；5）解：1）由于，因此收斂半徑，當(dāng)時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)為，通項(xiàng)記為，則有=，于是，所以當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)

6、散，從而可知這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?）令，則級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為（缺陷冪級(jí)數(shù)），下面先求的收斂域，因?yàn)?，即?duì)任意，都收斂，因此的收斂域?yàn)椋虼说氖諗坑驗(yàn)?）令，則級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為，下面先求的收斂域，由于=，所以收斂半徑，因而級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為=收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為=，收斂（收斂，因?yàn)椋l(fā)散，故發(fā)散，因此的收斂域?yàn)椋?jí)數(shù)的收斂域?yàn)榈慕饧?，?）因?yàn)?，又，所以，從而收斂半徑，又?dāng)時(shí)，可見級(jí)數(shù)在時(shí)發(fā)散，故這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?）法1: (將其看成不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù) ) 設(shè) ， 法2: 令， 收斂半徑為2， 故 法3: (將其視為以為參數(shù)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或視為一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)) ，當(dāng) 即 時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂， 當(dāng)時(shí)發(fā)散， 故即

7、收斂半徑為，收斂區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，為發(fā)散，因此收斂域?yàn)?應(yīng)用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積分方法求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（應(yīng)同時(shí)指出它們的收斂域）：（1）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；（2）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；（3）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；（4）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；（5）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；（6）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；（7）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)注：應(yīng)用：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)思想：一般是通過逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分向等比級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化(假如系數(shù)含有，向的展開形式轉(zhuǎn)化，假如系數(shù)含有向展開形式轉(zhuǎn)化)必須的知識(shí)點(diǎn)：1）等比級(jí)數(shù)，-；2）牛頓萊布尼茲公式；3）注意點(diǎn)：1）求和函數(shù)時(shí)必須先要求收斂域；2）求時(shí)必須要看級(jí)數(shù)展開式中第一項(xiàng)；例 設(shè)，先看展開式中第一項(xiàng)是，因此常

8、見錯(cuò)誤，有些人把0直接代通項(xiàng)，設(shè)，先看展開式中第一項(xiàng)是，因此3）涉及到除以時(shí)，要討論為0不為0冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)步驟:j 求其收斂半徑和收斂域k 在收斂區(qū)間內(nèi)求和函數(shù)(利用變量替換， 逐項(xiàng)求積， 逐項(xiàng)求導(dǎo)等方法) ，(假如系數(shù)含有，向的展開形式轉(zhuǎn)化，假如系數(shù)含有向展開形式轉(zhuǎn)化)；l 收斂域若不是開區(qū)間， 還須討論在收斂域端點(diǎn)處的和，若左端點(diǎn)收斂，則在左端點(diǎn)右連續(xù)，若右端點(diǎn)收斂，則在右端點(diǎn)左連續(xù)m 寫出和函數(shù)， 注明定義域解（1）1）求收斂域；（或）；收斂半徑；收斂區(qū)間；當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散因此收斂域?yàn)?)向等比級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化；分析：因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)系數(shù)為或，而的系數(shù)為，要向等比級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化必須要把抵消，此題可

9、以通過逐項(xiàng)求導(dǎo)就可以把抵消令，在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)求導(dǎo)（注意冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積），當(dāng)時(shí)，（若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的左（右）端點(diǎn)上收斂，則其和函數(shù)也在這一端點(diǎn)上右（左）連續(xù)）（2）1）求收斂域；收斂域?yàn)?)向等比級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化；分析：要向等比級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化，必須要把系數(shù)中的抵消，但是只有的求導(dǎo)才能出現(xiàn)，必須要乘一個(gè)，除以一個(gè)，而要除以，就必須討論為0不為0當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（只需要求出就會(huì)求出，下面求）令，收斂域在收斂區(qū)間上逐項(xiàng)求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，于是（3） 收斂域?yàn)榱睿瑢?duì)在上逐項(xiàng)積分；，（4）解1：收斂域?yàn)榻? 由于=，且當(dāng)時(shí)，這個(gè)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，所以冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋O(shè)，令在上對(duì)逐項(xiàng)積分得，=所以=，從而 （

10、）（5）討論級(jí)數(shù)，因?yàn)椋?dāng)，即，收斂，收斂；當(dāng)，即，發(fā)散，發(fā)散，因此收斂半徑，收斂區(qū)間為，且時(shí)，與都是發(fā)散級(jí)數(shù)，所以冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，設(shè)，在逐項(xiàng)求導(dǎo)可得，所以 （），（6）由知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 又時(shí)， 級(jí)數(shù)均收斂， 故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榱顒t 由于， 有 從而， 有 于是 而由的定義， 此外， 當(dāng)時(shí)， 在處右連續(xù)， 在處左連續(xù) 故 綜上知 （7）易求收斂域?yàn)椋?利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和1）求級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和；2) 求級(jí)數(shù)的和；方法：先選擇適當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)， 使該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是所選冪級(jí)數(shù)在某收斂點(diǎn)處的值， 然后求出和函數(shù)， 則便為所求之和解（1）法1：級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?，令，逐項(xiàng)積分，兩邊求導(dǎo)，得，所以，從而 通過如下代數(shù)運(yùn)算，使其求和過程非常簡(jiǎn)便法2 令 ， ， ，所以 ，（2）作冪級(jí)數(shù)，并設(shè)和函數(shù)為，則，兩邊求導(dǎo)，得 ，因?yàn)樵谑諗繀^(qū)間內(nèi)，故用帶入上式得4求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 1）將函數(shù)，展開成的冪級(jí)數(shù)； 2）將函數(shù)展開成