高等數(shù)學(xué)習(xí)題答案(同濟(jì)第六版下)

1、高等數(shù)學(xué)習(xí)題答案(同濟(jì)第六版下)第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論理解多元函數(shù)的概念，會(huì)表達(dá)函數(shù)，會(huì)求定義域；理解二重極限概念，注意是點(diǎn)以任何方式趨于;注意理解本節(jié)中相關(guān)概念與一元函數(shù)中相應(yīng)內(nèi)容的區(qū)分與聯(lián)系。習(xí)題 811.求下列函數(shù)表達(dá)式:(1)，求解：(2)，求解：2.求下列函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形:(1) 解：(2)解：(3) 解：3.求下列極限:(1) 解：(2)解一：解二：(3)(4)解一：解二：(4)解一：解二：4.證明下列函數(shù)當(dāng)時(shí)極限不存在:(1)解：(2)解：5.下列函數(shù)在何處是間斷的?(1) 解：(2)解：第二節(jié)

2、偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在的某一鄰域有定義，則，.的幾何意義為曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率. 在任意點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)、稱為偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù).求時(shí)，只需把視為常數(shù)，對(duì)求導(dǎo)即可.2.高階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為二階偏導(dǎo)數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為三階偏導(dǎo)數(shù)，如此類推. 二階偏導(dǎo)數(shù)依求導(dǎo)次序不同，有如下4個(gè)：，其中后兩個(gè)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).若兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)皆為連續(xù)函數(shù)，則它們相等，即可交換求偏導(dǎo)數(shù)的次序.高階混合偏導(dǎo)數(shù)也有類似結(jié)果.習(xí)題 821.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)(8)解：(8)解：2.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)

3、處的一階偏導(dǎo)數(shù):（1），求解：（2），求解：3.求下列函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù):(1)， 求，解：(2)，求，解：(3)， 求， 解：4.設(shè) ，求和.解：5.設(shè)， 求證解: 6.設(shè)， 證明證明: 由輪換對(duì)稱性, 第三節(jié) 全微分本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.全微分的定義若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量表示成則稱在點(diǎn)可微，并稱為在點(diǎn)的全微分，記作.2.可微的必要條件：若在可微，則 （1）在 處連續(xù)； （2）在處可偏導(dǎo)，且，從而 .一般地，對(duì)于區(qū)域內(nèi)可微函數(shù)， .3.可微的充分條件：若在的某鄰域內(nèi)可偏導(dǎo)，且偏導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，則在可微。 注：以上定義和充分條件、必要條件均可推廣至多元函數(shù)。習(xí)題 831.求下列函數(shù)的

4、全微分(1) (2)解: (2)解: (3) 解: (4)解: (5)解: 所以(6)解: 2.求函數(shù)，當(dāng)時(shí)的全微分.解: 3.求函數(shù)，當(dāng) 時(shí)的全增量與全微分.解: 4.研究函數(shù)在點(diǎn)處的可微性.解: 由于，所以在點(diǎn)連續(xù)，又又所以所以在點(diǎn)處可微5.計(jì)算的近似值.解：令，則，再設(shè)則6.已知邊長(zhǎng) 的矩形，如果邊增加5cm，而邊減少10cm，求這個(gè)矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)度變化的近似值.解：對(duì)角線長(zhǎng)為，則，所以第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）如下：1.設(shè)在可偏導(dǎo)，在相應(yīng)點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在 的偏導(dǎo)數(shù)為2.推廣：(1)多個(gè)中間變量：設(shè)， 則且(2)只

5、有一個(gè)中間變量：設(shè)則且(3)只有一個(gè)自變量：設(shè)，則且 習(xí)題841.求下列復(fù)合函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2.求下列復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(1)解：(2)解：3.求下列復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（是類函數(shù)）(1)解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：，4.設(shè)且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：5.已知，其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求解：6.設(shè)，其中有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求解：第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.一個(gè)方程的情形（1）若方程確定隱函數(shù)， 則.（2）若方程確定隱函數(shù)，則；.2.方程組的情形（1）若確定，則，.（2）若確定，則，；，.習(xí)題851求下列方程所確定的

6、隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2求下列方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(1)解：(2)解：(3)解：，(4)解：3求下列方程所確定的隱函數(shù)的指定偏導(dǎo)數(shù)(1)設(shè)解：(2)設(shè) 解：(3)設(shè)解：(4)設(shè)解：4設(shè)，而是由方程所確定的隱函數(shù)，求解：又，所以5.求由下列方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)，求 解：(2)設(shè)，求 解：6.設(shè)，求解：又所以7.設(shè)，而是由方程所確定的的函數(shù)，其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).試證明 解：由，又所以第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.空間曲線的切線與法平面 設(shè)點(diǎn)，(1)參數(shù)方程情形： 若，則切向量為；其中；

7、切線方程為；法平面方程為.(2)一般方程情形：若 ，則切向量為；切線方程為；法平面方程為.2.空間曲面的切平面與法線 設(shè)點(diǎn) .(1)隱式方程情形 若，則法向量為；切平面為；法線為 .(2)顯式方程情形 若，則法向量為，切平面為；法線為.(3)參數(shù)方程情形 若，則法向量 ，切平面為；法線為.習(xí)題861求曲線 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線和法平面方程.解：切線：法平面：2求下列曲面在指定點(diǎn)處的切平面與法線方程（1），點(diǎn) 解：切平面：法線：（2），點(diǎn)解：切平面：即法線：3求出曲線上的點(diǎn)，使在該點(diǎn)的切線平行于平面.解：設(shè)曲線在點(diǎn)的切向量為平面的法向量為，由題意可知所以，該點(diǎn)為4求橢球面上平行于平面的切平面方程.解

8、：設(shè)曲面在點(diǎn)處的法向量為，則，由題意可知，令，又，所以，代入得所以切平面方程為或即或5試證曲面上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于1.證明：設(shè)為曲面上任一點(diǎn)，則曲面在該點(diǎn)處的法向量為，那么切平面的方程為即，該平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為，故6求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程.解：曲線在點(diǎn)處的切向量為所以切線的方程為法平面為，即第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.方向?qū)?shù)(1)定義 設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，是任一非零向量， ，則在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)定義為表示函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的變化率.(2)計(jì)算公式若在點(diǎn)處可微，則對(duì)任一單位向量，有（此也為方向?qū)?shù)存在的充分條件）.2.梯

9、度(1)定義 設(shè)，則梯度grad為下式定義的向量：grad（或）.(2)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系(3)梯度的特征刻畫梯度是這樣的一個(gè)向量，其方向?yàn)樵邳c(diǎn)處增長(zhǎng)率最大的一個(gè)方向；其模等于最大增長(zhǎng)率的值.習(xí)題871求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處沿指定方向的方向?qū)?shù)(1)為從點(diǎn)（1，2）到點(diǎn)（2，2+）的方向解：方向?yàn)?，而所?2)解：而所以2求函數(shù)在拋物線上點(diǎn)（1，2）處，沿著這拋物線在該點(diǎn)處偏向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù).解：拋物線在點(diǎn)處的切向量為3求函數(shù) 在點(diǎn)處沿方向角為的方向的方向?qū)?shù).解：4設(shè)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，已給四個(gè)點(diǎn)，若在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)等于3，而沿方向的方向?qū)?shù)等于26，求在點(diǎn)處沿方向的方向

10、導(dǎo)數(shù).解：所以5設(shè)，求grad及grad解：6問函數(shù)在點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？并求此方向?qū)?shù)的最大值.解：沿梯度方向的方向的方向?qū)?shù)最大第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法本節(jié)主要概念，定理，公式和重要結(jié)論1.極大（?。┲祮栴}必要條件. 若在點(diǎn)有極值且可偏導(dǎo)，則.使偏導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）.駐點(diǎn)與不可偏導(dǎo)點(diǎn)都是可疑極值點(diǎn)，還須用充分條件檢驗(yàn).充分條件. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)是類函數(shù)，駐點(diǎn)，記（1）當(dāng)時(shí)，是極值，且是極小（大）值；（2）當(dāng)時(shí)，不是極值；（3）當(dāng)時(shí)，還需另作判別.2.最大（?。┲祮栴}首先找出在上的全部可疑極值點(diǎn)（設(shè)為有限個(gè)），算出它們的函數(shù)值，并與的邊界上的最大.最小值進(jìn)行比較

11、，其中最大、最小者即為在上的最大、最小值.對(duì)于應(yīng)用問題，若根據(jù)問題的實(shí)際意義，知目標(biāo)函數(shù)在內(nèi)一定達(dá)到最大（?。┲担趦?nèi)的可疑極值點(diǎn)唯一時(shí)，無須判別，可直接下結(jié)論：該點(diǎn)的函數(shù)值即為在內(nèi)的最大（?。┲?3.條件極值（拉格朗日乘子法）求目標(biāo)函數(shù)在約束方程下的條件極值，先作拉格朗日函數(shù),然后解方程組，則可求得可疑極值點(diǎn).對(duì)于二元以上的函數(shù)和多個(gè)約束條件，方法是類似的。習(xí)題 881求下列函數(shù)的極值（1）解：，故在處取得極大值（2）解：可疑極值點(diǎn)有四個(gè)，即點(diǎn)-6600006-6-6600-36-363636是否極值點(diǎn)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)不是不是2求下列函數(shù)在約束方程下的最大值與最小值（1）解：令最大值最小值

12、（2）解：令最大值，最小值3從斜邊之長(zhǎng)為的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形.解：令所以當(dāng)直角三角形的兩直角邊時(shí)，該直角三角形的周長(zhǎng)最大，且為4求兩曲面交線上的點(diǎn)與面距離最小值.解：設(shè)兩曲面交線上的點(diǎn)為，由題意可得令，所以當(dāng)時(shí)，到面的距離最短。5求拋物線到直線之間的最短距離.解：設(shè)拋物線上任一點(diǎn)到直線的距離為，則令所以，點(diǎn)到直線的距離為為最小，且 6求表面積為1500cm2，全部棱長(zhǎng)之和為200cm的長(zhǎng)方體體積的最大值和最小值.解：設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為，由題意可知，令當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有最大和最小值，即7拋物面被平面截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最短距離.解：曲線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原

13、點(diǎn)的距離為，則令當(dāng)時(shí)，矛盾，所以，即，代入得所以，即習(xí)題9-1 1. 設(shè)有一平面薄板(不計(jì)其厚度), 占有xOy面上的閉區(qū)域D, 薄板上分布有密度為m =m(x, y)的電荷, 且m(x, y)在D上連續(xù), 試用二重積分表達(dá)該板上全部電荷Q. 解 板上的全部電荷應(yīng)等于電荷的面密度m(x, y)在該板所占閉區(qū)域D上的二重積分. 2. 設(shè), 其中D1=(x, y)|-1x1, -2y2; 又, 其中D2=(x, y)|0x1, 0y2. 試?yán)枚胤e分的幾何意義說明I1與I2的關(guān)系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3與平面x=1, y=2以及z=0圍成的立體V的體積. I2表示由曲面z=(x

14、2+y2)3與平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0圍成的立體V1的體積. 顯然立體V關(guān)于yOz面、xOz面對(duì)稱, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故V=4V1, 即I1=4I2. 3. 利用二重積分的定義證明: (1) (其中s為D的面積); 證明 由二重積分的定義可知, 其中Dsi表示第i個(gè)小閉區(qū)域的面積. 此處f(x, y)=1, 因而f(x, h)=1, 所以, . (2) (其中k為常數(shù)); 證明 . (3), 其中D=D1D2, D1、D2為兩個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域. 證明 將D1和D2分別任意分為n1和n2個(gè)小閉區(qū)域和, n1+n2=n, 作和 . 令各和的直徑中

15、最大值分別為l1和l2, 又l=max(l1l2), 則有 , 即 . 4. 根據(jù)二重積分的性質(zhì), 比較下列積分大小: (1)與, 其中積分區(qū)域D是由x軸, y軸與直線x+y=1所圍成; 解 區(qū)域D為: D=(x, y)|0x, 0y, x+y1, 因此當(dāng)(x, y)D時(shí), 有(x+y)3(x+y)2, 從而. (2)與, 其中積分區(qū)域D是由圓周(x-2)2+(y-1)2=2所圍成; 解 區(qū)域D如圖所示, 由于D位于直線x+y=1的上方, 所以當(dāng)(x, y)D時(shí), x+y1, 從而(x+y)3(x+y)2, 因而. (3)與, 其中D是三角形閉區(qū)域, 三角頂點(diǎn)分別為(1, 0), (1, 1)

16、, (2, 0); 解 區(qū)域D如圖所示, 顯然當(dāng)(x, y)D時(shí), 1x+y2, 從而0ln(x+y)1, 故有 ln(x+y)2 ln(x+y), 因而 . (4)與, 其中D=(x, y)|3x5. 0y1. 解 區(qū)域D如圖所示, 顯然D位于直線x+y=e的上方, 故當(dāng)(x, y)D時(shí), x+ye, 從而 ln(x+y)1, 因而 ln(x+y)2ln(x+y),故 . 5. 利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值: (1), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 因?yàn)樵趨^(qū)域D上0x1, 0y1, 所以 0xy1, 0x+y2, 進(jìn)一步可得 0xy(x+y)2, 于是 , 即 . (

17、2), 其中D=(x, y)| 0xp, 0yp; 解 因?yàn)?sin2x1, 0sin2y1, 所以0sin2xsin2y1. 于是 , 即 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y2; 解 因?yàn)樵趨^(qū)域D上, 0x1, 0y2, 所以1x+y+14, 于是 , 即 . (4), 其中D=(x, y)| x2+y2 4. 解 在D上, 因?yàn)?x2+y24, 所以 9x2+4y2+94(x2+y2)+925. 于是 , ,即 . 習(xí)題9-2 1. 計(jì)算下列二重積分: (1), 其中D=(x, y)| |x|1, |y|1; 解 積分區(qū)域可表示為D: -1x1, -1y1. 于是 . (

18、2), 其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線x+y=2所圍成的閉區(qū)域: 解 積分區(qū)域可表示為D: 0x2, 0y2-x. 于是 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 . (4), 其中D是頂點(diǎn)分別為(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為D: 0xp, 0yx. 于是, . . 2. 畫出積分區(qū)域, 并計(jì)算下列二重積分: (1), 其中D是由兩條拋物線, 所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x, y)| 0x1, . 于是 . (2), 其中D是由圓周x2+y2=4及y軸所圍成的右半閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x,

19、 y)| -2y2, . 于是 . (3), 其中D=(x, y)| |x|+|y|1; 解 積分區(qū)域圖如, 并且 D=(x, y)| -1x0, -x-1yx+1(x, y)| 0x1, x-1y-x+1. 于是 =e-e-1. (4), 其中D是由直線y=2, y=x及y=2x軸所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x, y)| 0y2, . 于是 . 3. 如果二重積分的被積函數(shù)f(x, y)是兩個(gè)函數(shù)f1(x)及f2(y)的乘積, 即f(x, y)= f1(x)f2(y), 積分區(qū)域D=(x, y)| axb, c yd, 證明這個(gè)二重積分等于兩個(gè)單積分的乘積, 即 證明 ,

20、 而 , 故 . 由于的值是一常數(shù), 因而可提到積分號(hào)的外面, 于是得 4. 化二重積分為二次積分(分別列出對(duì)兩個(gè)變量先后次序不同的兩個(gè)二次積分), 其中積分區(qū)域D是: (1)由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并且D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 或. (2)由x軸及半圓周x2+y2=r2(y0)所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 , 或. (3)由直線y=x, x=2及雙曲線(x0)所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)|

21、(x, y)|,所以 , 或. (4)環(huán)形閉區(qū)域(x, y)| 1x2+y24. 解 如圖所示, 用直線x=-1和x=1可將積分區(qū)域D分成四部分, 分別記做D1, D2, D3, D4. 于是 用直線y=1, 和y=-1可將積分區(qū)域D分成四部分, 分別記做D1, D2, D3, D 4, 如圖所示. 于是 5. 設(shè)f(x, y)在D上連續(xù), 其中D是由直線y=x、y=a及x=b(ba)圍成的閉區(qū)域, 證明:. 證明 積分區(qū)域如圖所示, 并且積分區(qū)域可表示為 D=(x, y)|axb, ayx, 或D=(x, y)|ayb, yxb. 于是 , 或. 因此 . 6. 改換下列二次積分的積分次序:

22、 (1); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D=(x, y)|0y1, 0xy, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D=(x, y)|0x1, xy1, 所以 . (2); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D=(x, y)|0y2, y2x2y, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D=(x, y)|0x4, , 所以 . (3); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為, 所以 (4); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為, 所以 . (5); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D=(x, y)|1xe, 0yln x, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D

23、=(x, y)|0y1, eyx e, 所以 (6)(其中a0) 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為 , 所以 . 7. 設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線x+y=2, y=x和x軸所圍成, 它的面密度為m(x, y)=x2+y2, 求該薄片的質(zhì)量. 解 如圖, 該薄片的質(zhì)量為 . 8. 計(jì)算由四個(gè)平面x=0, y=0, x=1, y=1所圍成的柱體被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立體的體積. 解 四個(gè)平面所圍成的立體如圖, 所求體積為 . 9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所圍成的柱體被平面z=0及拋物面x2+y2=6-z截得的立體的體積. 解 立體

24、在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈=(x, y)|0x1, 0y1-x, 所求立體的體積為以曲面z=6-x2-y2為頂, 以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積, 即 . 10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所圍成的立體的體積. 解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2+y22, 因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對(duì)稱, 并且被積函數(shù)關(guān)于x, y都是偶函數(shù), 所以 . 11. 畫出積分區(qū)域, 把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分, 其中積分區(qū)域D是: (1)(x, y)| x2+y2a2(a0); 解 積分區(qū)域D如圖. 因?yàn)镈=(r, q)

25、|0q2p, 0ra, 所以 . (2)(x, y)|x2+y22x; 解 積分區(qū)域D如圖. 因?yàn)? 所以 . (3)(x, y)| a2x2+y2b2, 其中0a0)所圍成的閉區(qū)域; 解 因?yàn)榉e分區(qū)域可表示為D=(x, y)|ay3a, y-axy, 所以 . (4), 其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域(x, y)| a2x2+y2b2. 解 在極坐標(biāo)下D=(r, q)|0q2p, arb, 所以 . 16. 設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線r=2q上一段弧()與直線所圍成, 它的面密度為m(x, y)=x2+y2. 求這薄片的質(zhì)量. 解 區(qū)域如圖所示. 在極坐標(biāo)下, 所以所求質(zhì)量 . 17. 求由平面y

26、=0, y=kx(k0), z=0以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積. 解 此立體在xOy面上的投影區(qū)域D=(x, y)|0qarctank, 0rR. . 18. 計(jì)算以xOy平面上圓域x2+y2=ax圍成的閉區(qū)域?yàn)榈? 而以曲面z=x2+y2為頂?shù)那斨w的體積. 解 曲頂柱體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈=(x, y)|x2+y2ax. 在極坐標(biāo)下, 所以 . 習(xí)題9-3 1. 化三重積分為三次積分, 其中積分區(qū)域W分別是: (1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0zxy, 0

27、y1-x, 0x1, 于是 . (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為 , 于是 . (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域; 解 曲積分區(qū)域可表示為 , 于是 . 提示: 曲面z=x2+2y2與z=2-x2的交線在xOy面上的投影曲線為x2+y2=1. (4)由曲面cz=xy(c0), , z=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 曲積分區(qū)域可表示為 , 于是 . 提示: 區(qū)域W的上邊界曲面為曲面cz=xy , 下邊界曲面為平面z=0. 2. 設(shè)有一物體, 占有空間閉區(qū)域W=(x, y, z)|0x1, 0y1, 0z1, 在點(diǎn)(x,

28、y, z)處的密度為r(x, y, z)=x+y+z, 計(jì)算該物體的質(zhì)量. 解 . 3. 如果三重積分的被積函數(shù)f(x, y, z)是三個(gè)函數(shù)f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘積, 即f(x, y, z)= f1(x)f2(y)f3(z), 積分區(qū)域W=(x, y, z)|axb, cyd, lzm, 證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積, 即 . 證明 . 4. 計(jì)算, 其中W是由曲面z=xy, 與平面y=x, x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0zxy, 0yx, 0x1, 于是 . 5. 計(jì)算, 其中W為平面x=0, y=0, z=0,

29、x+y+z=1所圍成的四面體. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0z1-x-y, 0y1-x, 0x1, 于是 . 提示: . 6. 計(jì)算, 其中W為球面x2+y2+z2=1及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 于是 . 7. 計(jì)算, 其中W是由平面z=0, z=y, y=1以及拋物柱面y=x2所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0zy, x2y1, -1x1, 于是 . 8. 計(jì)算, 其中W是由錐面與平面z=h(R0, h0)所圍成的閉區(qū)域. 解 當(dāng)0zh時(shí), 過(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立體W的

30、截面為圓Dz: , 故Dz的半徑為, 面積為, 于是 =. 9. 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W是由曲面及z=x2+y2所圍成的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r1, , 于是 . (2), 其中W是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域. 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r2, , 于是 . 10. 利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W是由球面x2+y2+z2=1所圍成的閉區(qū)域. 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0jp, 0r1, 于是 . (2), 其中閉區(qū)域W由不等式x2+y2+(z-a

31、)2a2, x2+y2z2 所確定. 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 11. 選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W為柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 別解: 用直角坐標(biāo)計(jì)算 . (2), 其中W是由球面x2+y2+z2=z所圍成的閉區(qū)域; 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (3), 其中W是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所圍成的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (4), 其中閉區(qū)域W由不等式, z0所

32、確定. 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 12. 利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成的立體的體積: (1)z=6-x2-y2及; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2 p, 0r2, rz6-r2, 于是 . (2)x2+y2+z2=2az(a0)及x2+y2=z2(含有z軸的部分); 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (3)及z=x2+y2; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r1, r2zr, 于是 . (4)及x2+y2=4z . 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 13. 球心在原點(diǎn)、半徑為R的球體, 在其上任意一點(diǎn)的密

33、度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比, 求這球體的質(zhì)量. 解 密度函數(shù)為. 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0jp, 0rR, 于是 . 習(xí)題9-4 1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax內(nèi)部的那部分面積. 解 位于柱面內(nèi)的部分球面有兩塊, 其面積是相同的. 由曲面方程z=得, ,于是 . 2. 求錐面z=被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面積. 解 由z=和z2=2x兩式消z得x2+y2=2x, 于是所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為x2+y22x. 由曲面方程得, ,于是 . 3. 求底面半徑相同的兩個(gè)直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面

34、積. 解 設(shè)A1為曲面相應(yīng)于區(qū)域D: x2+y2R2上的面積. 則所求表面積為A=4A1. . 4. 設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D如下, 求均勻薄片的質(zhì)心: (1)D由, x=x0, y=0所圍成; 解 令密度為m=1. 因?yàn)閰^(qū)域D可表示為, 所以 , , , 所求質(zhì)心為 (2)D是半橢圓形閉區(qū)域; 解 令密度為m=1. 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸, 所以. (橢圓的面積), , 所求質(zhì)心為. (3)D是介于兩個(gè)圓r=acosq, r=bcosq(0aa0), z=0; 解 由對(duì)稱性可知, 重心在z軸上, 故. (兩個(gè)半球體體積的差), , 所求立體的質(zhì)心為. (3)z=x2+y2, x+y=a, x=0

35、, y=0, z=0. 解 , , , , 所以立體的重心為. 8. 設(shè)球體占有閉區(qū)域W=(x, y, z)|x2+y2+z22Rz, 它在內(nèi)部各點(diǎn)的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方, 試求這球體的質(zhì)心. 解 球體密度為r=x2+y2+z2. 由對(duì)稱性可知質(zhì)心在z軸上, 即. 在球面坐標(biāo)下W可表示為: , 于是 , , 故球體的質(zhì)心為. 9. 設(shè)均勻薄片(面密度為常數(shù)1)所占閉區(qū)域D如下, 求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: (1), 求Iy; 解 積分區(qū)域D可表示為 , 于是 . 提示: . (2)D由拋物線與直線x=2所圍成, 求Ix和Iy; 解 積分區(qū)域可表示為 , 于是 , . (3)D為矩形

36、閉區(qū)域(x, y)|0xa, 0yb, 求Ix和Iy. 解 , . 10. 已知均勻矩形板(面密度為常量m)的長(zhǎng)和寬分別為b和h, 計(jì)算此矩形板對(duì)于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 取形心為原點(diǎn), 取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸, 建立坐標(biāo)系. , . 11. 一均勻物體(密度r為常量)占有的閉區(qū)域W由曲面z=x2+y2和平面z=0, |x|=a, |y|=a所圍成, (1)求物體的體積; 解 由對(duì)稱可知 . (2)求物體的質(zhì)心; 解 由對(duì)稱性知. . (3)求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 . 12. 求半徑為a、高為h的均勻圓柱體對(duì)于過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(設(shè)密度r=1). 解

37、 建立坐標(biāo)系, 使圓柱體的底面在xOy面上, z軸通過圓柱體的軸心. 用柱面坐標(biāo)計(jì)算. . 13. 設(shè)面密度為常量m的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片占有閉區(qū)域, 求它對(duì)位于z軸上點(diǎn)M0(0, 0, a)(a0)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F . 解 引力F=(Fx, Fy, Fz ), 由對(duì)稱性, Fy=0, 而 , . 14. 設(shè)均勻柱體密度為r, 占有閉區(qū)域W=(x, y, z)|x2+y2R2, 0zh, 求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0, 0, a)(ah)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力. 解 由柱體的對(duì)稱性可知, 沿x軸與y軸方向的分力互相抵消, 故Fx=Fy=0, 而 . 總習(xí)題九 1. 選擇以下各題中給出的四個(gè)結(jié)論中

38、一個(gè)正確的結(jié)論: (1)設(shè)有空間閉區(qū)域 W1=(x, y, z)|x2+y2+z2R2, z0, W2=(x, y, z)|x2+y2+z2R2, x0, y0, z0, 則有_. (A); (B); (C); (D). 解 (C). 提示: f(x, y, z)=x是關(guān)于x的奇函數(shù), 它在關(guān)于yOz平面對(duì)稱的區(qū)域W1上的三重積分為零, 而在W2上的三重積分不為零, 所以(A)是錯(cuò)的. 類似地, (B)和(D)也是錯(cuò)的. f(x, y, z)=z是關(guān)于x和y的偶函數(shù), 它關(guān)于yOz平面和zOx面都對(duì)稱的區(qū)域W1上的三重積分可以化為W1在第一卦部分W2上的三重積分的四倍. (2)設(shè)有平面閉區(qū)域D=(