初中：平面解析幾何必備公式

1、初中：平面解析幾何必備公式 （文/李文龍）初三的同學(xué)們現(xiàn)在應(yīng)該學(xué)習(xí)二次函數(shù)了吧。再此之前你必須把平面解析幾何的一些常識和公式弄清楚。本文將從我們熟知的定理出發(fā)，通過一系列證明，最后得出好用的結(jié)論。記住這些結(jié)論，從初三到高三你就可以自由的暢游在坐標(biāo)系中，游刃有余。以下內(nèi)容有的很基礎(chǔ)，有的則需借助高中知識，對于學(xué)生學(xué)習(xí)水平的要求也不一樣，我以精英班，目標(biāo)班和提高班為要求，每一部分后面會有能力等級的標(biāo)注。學(xué)習(xí)是考試必備的技能，學(xué)習(xí)能讓你做題更快，學(xué)習(xí)可以讓你做題方法增多。文章較長，因此 建議先收藏再慢慢學(xué)目錄（一）兩點之間1、求距離2、取中點3、算斜率4、速求解析式5、構(gòu)造圓（二）點線之間1、距離公

2、式 利用圓方程 利用斜率關(guān)系 利用相似（三）兩線之間1、平行2、垂直（一）兩點之間在坐標(biāo)系下給出兩個已知的定點可以算出那些東西呢？以下結(jié)論不要錯過！1，求距離 如下圖坐標(biāo)系中有兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），求線段AB的長度我們分別作水平和豎直線如下圖所示，可以得到RtABC，其中C（x2,y1），這樣AC的長為丨x2-x1丨由于不知道x2和x1誰大，線段長度為正，因此需要加絕對值。同理BC長為丨y2-y1丨。根據(jù)勾股定理可知舉例：A（2,1），B（-2，4）則這樣就免去畫圖了，一步出答案。因此必須記住這個公式。2，取中點 坐標(biāo)系中有兩點A（x1，y1） 和B（x2，y2），求AB中點

3、C的坐標(biāo)若A和B在x軸同側(cè)，如下圖，則y1和y2都大于零我們向橫軸作垂線，AD=y1，BF=y2，四邊形ADFB是直角梯形，CE是中位線，y=CE=（y1+y2）/2，同理都向縱軸作做垂線，可得x=（x1+x2）/2若A和B在x軸兩側(cè)，如圖，y10，y20我們作水平和豎直輔助線如下圖：BN=y2-y1，CM為ABN中位線，CM=（y2-y1）/2。而EM=-y1則y=CE=（y2-y1）/2-（-y1）=（y1+y2）/2。同理x=（x1+x2）/2因此，給定平面的兩點我們就可以求出其中點坐標(biāo)x=（x1+x2）/2y=（y1+y2）/2就是算術(shù)平均數(shù)！這在二次函數(shù)利用對稱軸求對稱點很實用，反過

4、來，讓你求點A關(guān)于點B的對稱點也可以利用這個公式。3，算斜率 如下圖，已知A（x1,y1）B（x2,y2），求AB直線解析式的k利用待定系數(shù)法設(shè)AB：y=kx+b，將A（x1,y1）B（x2,y2）帶入得兩式相減并化簡得這樣我們就可以快速求出直線斜率了：縱坐標(biāo)之差除以橫坐標(biāo)之差注意要對應(yīng)，若2縱坐標(biāo)的在前面，則對應(yīng)的2的橫坐標(biāo)也應(yīng)該在前面。舉例，若A（-2,5），B（1，-4），則4，速求解析式 如下圖，已知A（x1,y1）B（x2,y2），求AB直線解析式。我相信小伙伴們用待定系數(shù)法求這個一定很666，但每次都重復(fù)同樣的步驟煩不煩？如何快速寫出來解析式呢？首先根據(jù)上面的推導(dǎo)你已經(jīng)知道這個直線

5、的斜率k了我假設(shè)AB上有任意一點C（x,y）則AC的斜率也是k，那么由于x1，y1和k是已知數(shù)，C（x,y）代表AB上的任意點，故AB的解析式為如果用BC算，也可以寫成舉例，若A（-2,5），B（1,-4），則口算可知k=-3若利用點A，可得AB解析式為：y-5=-3（x+2）若利用點B，可得AB解析式為：y+4=-3（x-1）化簡完是一樣的。這樣求解析式可以為我們省去解二元一次方程組，我們知道一個點和一個斜率就可以寫出解析式，這種表示解析式的方法我們又稱為 “點斜式”把解析式寫成點斜式有什么好處？比如過點A（2,5）的直線與拋物線y=-x²-2x-3只有一個交點，求直線解析式我們就

6、可以直接設(shè)直線為y-5=k（x-2），然后和拋物線聯(lián)立，令=0即可5，構(gòu)造圓 如下圖，已知A（x1,y1）B（x2,y2），以A為圓心，AB為半徑做圓，求這個圓的表達(dá)式設(shè)C（x,y）是圓上任意一點，我們只需要找到x與y的等式關(guān)系即可因為AB=AC，而AB的長我們可求，也就是圓的半徑r整理得這就是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程舉例：若A（2,1），B（-2，4），可求AB=5，則以A為圓心，AB為半徑的圓的表達(dá)式為（x-2）²+（y-1）²=5同問：掌握圓的表達(dá)式有什么用？這時候假如讓你求某條直線和這個圓相交的問題，就可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的表達(dá)式聯(lián)立解一元二次方程求交點的問題了，避免了作幾何輔助

7、線，可以把幾何問題通過建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題。（二）點線之間1，距離公式給定一個點，和一條直線，比較常見的是求點到直線的距離如圖所示，已知直線y=kx+b（以下簡稱直線）和點P（x0，y0）。其中，k,b,x0,y0 都是常數(shù)。求P到直線的距離PQ下面我將跟大家分享三種求法 利用圓方程 假設(shè)PQ=r，那么以P為圓心r為半徑的圓為和直線y=kx+b聯(lián)立，因為直線與圓相切，故只有一個交點，因此這個方程組只有一個解，利用=0，可以解出r但這畢竟用了圓的方程以前沒學(xué)過，不好理解，那我們換一個。 利用斜率關(guān)系相信很多同學(xué)知道兩直線垂直，斜率乘積得-1這個事吧！因為PQ和直線垂直，則PQ的斜率為 -

8、1/k，因此PQ的解析式為再與直線y=kx+b聯(lián)立，可得交點Q的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點之間的距離公式得出PQ的長。以上兩種思路都涉及到了一點點以前沒涉及到的知識（其實也不難理解）。大家可以想想，點是定的，直線是定的，說明距離也是定的，那么有沒有現(xiàn)成的點到直線距離公式？我以后直接套公式不就得了？當(dāng)然有！接下來我用初中方法給大家推導(dǎo) 利用相似如下圖，過P作x軸的垂線，交直線于A，交x軸與B，設(shè)直線與x軸交于C，易證APQACB，我們只需要利用四個已知參數(shù)k，b，x0，y0表示出線段AP，AC，BC。再通過相似的比例關(guān)系可以求出PQ我們先求AP這里需要注意，直線和點P是任意的，因此A和P的縱坐標(biāo)不一定誰大

9、，所以線段AP的長度需要加絕對值接下來求BC最后求AC準(zhǔn)備工作都做完啦，因為APQACB上面這個紅色的式子就是點到直線的距離公式，其實很好記先把直線y=kx+b變成kx+b-y=0的形式，然后把x和y換成給定點的坐標(biāo)，再除以根號下1+k²，就可以了注意加絕對值。舉例，求點P（2,3）到直線y=2x+3的距離先把y=2x+3變成2x+3-y=0，然后把P（2,3）帶入得2×2+3-3=4，再除以根號5即可（三）兩線之間兩條線的關(guān)系，?？嫉氖瞧叫泻痛怪?、平行兩條平行線的斜率k相等，截距b不等。這是常識，不多講了，使我們感興趣的是兩條平行線間的距離怎么求？如下圖我們想求兩平行線之間的距離PQ，因為我們知道點到直線的距離，所以在b2的直線上任取一點P（x0，kx0+b2）。再利用點到直線距離求出PQ即可紅色的就是兩條平行線的距離公式，更好記，用截距的距離除以根號下1+k²舉例：求y=3x-1與y=3x-7的距離2，垂直兩直線垂直只需要知道斜率互為負(fù)倒數(shù)即可，這個推導(dǎo)方法我之前寫過戳兩