江蘇省南京市2020屆高三年級(jí)5月份模擬考試數(shù)學(xué)含附加題（解析版）

1、一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上）1設(shè)集合Mm|3m2，mZ，NR，則MN 2復(fù)數(shù)z=i1+i復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第 象限3某次測(cè)驗(yàn)，將20名學(xué)生平均分為兩組，測(cè)驗(yàn)結(jié)果兩組學(xué)生成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別為90，6；80，4則這20名學(xué)生成績(jī)的方差為 4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為 5拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且四面上分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體，其底面落于桌面，記所得的數(shù)字分別為x，y，則xy為整數(shù)的概率是 6函數(shù)f（x）（x3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 7已知雙曲線(xiàn)x2m-3+y2m+5=1的離心率為43，那么此雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)

2、線(xiàn)方程為 8已知正四棱錐PABCD的體積為43，底面邊長(zhǎng)為2，則側(cè)棱PA的長(zhǎng)為 9已知函數(shù)f（x）sin（x+6）（02），若f（23）1，則函數(shù)yf（x）的最小正周期為 10已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足：a18，a26若將a1，a4，a5都加上同一個(gè)數(shù)m，所得的三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，則m的值為 11設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（x+3）和g（x）sin（6-x）的圖象在y軸左、右兩側(cè)靠近y軸的交點(diǎn)分別為M，N，已知O為原點(diǎn)，則OMON= 12設(shè)f（x）asin2x+bcos2x（a，bR），若f（x）的最大值為5，則a+b的取值范圍為 13在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b2，且co

3、s2B+cosB+cos（AC）1，則a+2c的最小值為 14已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x+2x+3y+4y=10，則xy的取值范圍為 二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15（14分）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m=(sinA，a)，n=(1，sinB)（1）當(dāng)mn=2sinA時(shí)，求b的值；（2）當(dāng)mn時(shí)，且cosC=12a，求tanAtanB的值16（14分）如圖，四棱錐ABCDE中，AB、BC、BE兩兩垂直且ABBCBE，DEBC，DE2BC，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)（1）求證：BF面ACD；（2）

4、求證：面ADE面ACD17（14分）為解決城市的擁堵問(wèn)題，某城市準(zhǔn)備對(duì)現(xiàn)有的一條穿城公路MON進(jìn)行分流，已知穿城公路MON自西向東到達(dá)城市中心點(diǎn)O后轉(zhuǎn)向東北方向（即AOB=34）現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條城市高架道路L，L在MO上設(shè)一出入口A，在ON上設(shè)一出入口B假設(shè)高架道路L在AB部分為直線(xiàn)段，且要求市中心O與AB的距離為10km（1）求兩站點(diǎn)A，B之間距離的最小值；（2）公路MO段上距離市中心O30km處有一古建筑群C，為保護(hù)古建筑群，設(shè)立一個(gè)以C為圓心，5km為半徑的圓形保護(hù)區(qū)則如何在古建筑群C和市中心O之間設(shè)計(jì)出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過(guò)保護(hù)區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）？18（16分）已知點(diǎn)

5、M是圓C：（x+1）2+y28上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)P在直線(xiàn)DM上，點(diǎn)N在直線(xiàn)CM上，且滿(mǎn)足DM=2DP，NPDM=0，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線(xiàn)E（）求曲線(xiàn)E的方程；（）若AB是曲線(xiàn)E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB面積S的最大值19（16分）設(shè)首項(xiàng)為a1的正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，q為非零常數(shù)，已知對(duì)任意正整數(shù)n，m，Sn+mSm+qmSn總成立（）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；（）若不等的正整數(shù)m，k，h成等差數(shù)列，試比較ammahh與ak2k的大小；（）若不等的正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，試比較am1mah1h與ak2k的大小20（16分）已知函數(shù)f（x）ex+ax，g（x）ex

6、lnx（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若曲線(xiàn)yf（x）在x1處的切線(xiàn)也是拋物線(xiàn)y24（x1）切線(xiàn)，求a的值；（2）若對(duì)于任意xR，f（x）0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a1時(shí)，是否存在x0（0，+），使曲線(xiàn)C：yg（x）f（x）在點(diǎn)xx0處的切線(xiàn)斜率與f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的x0的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由選做題（本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在答題相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）選修4-2：矩陣與變換（10分）21（10分）設(shè)矩陣A=1221，求矩陣A的逆矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量選修4-

7、4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22（10分）在極坐標(biāo)系中，求曲線(xiàn)2cos關(guān)于直線(xiàn)=4（R）對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程選修4-5：不等式選講（本小題滿(mǎn)分0分）23若關(guān)于x的不等式x2ax+b0的解集為（1，2），求函數(shù)f（x）（a1）x-3+（b1）4-x的最大值必做題（第22、23題，每小題10分，計(jì)20分請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）24（10分）某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過(guò)已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成（1）求出甲考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并

8、計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（2）若考生乙每題正確完成的概率都是23，且每題正確完成與否互不影響試從至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力25（10分）已知（x+1）na0+a1（x1）+a2（x1）+a3（x1）3+an（x1）n，（其中nN*）（1）求a0及Sn=i=1n ai；（2）試比較Sn與（n2）2n+2n2的大小，并說(shuō)明理由一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上）1設(shè)集合Mm|3m2，mZ，NR，則MN2，1，0，1【分析】可以求出集合M，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可【解答】解：M2，1，0，1，NR，MN2，1，0，1故答

9、案為：2，1，0，1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2復(fù)數(shù)z=i1+i復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分母變成一個(gè)實(shí)數(shù)，分子進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，看出所在的象限【解答】解：復(fù)數(shù)i1+i=i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i2=12+12i，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（12，12）復(fù)數(shù)i1+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故答案為：一【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的符號(hào)，是一個(gè)概念題，在解題時(shí)用到復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，是一個(gè)比較好的選擇或填空題，可

10、以出現(xiàn)在高考題的前幾個(gè)題目中3某次測(cè)驗(yàn)，將20名學(xué)生平均分為兩組，測(cè)驗(yàn)結(jié)果兩組學(xué)生成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別為90，6；80，4則這20名學(xué)生成績(jī)的方差為51【分析】由方差定義可得n個(gè)數(shù)與其平均數(shù)，方差間關(guān)系x12+x22+xn2=nS2+nx2，利用此關(guān)系可結(jié)合條件吧20 個(gè)數(shù)據(jù)中的前10個(gè)數(shù)，后10個(gè)數(shù)分別找出其平方和，及平均數(shù)，進(jìn)而求出20名學(xué)生成績(jī)的方差【解答】解：設(shè)x1，x2xn的方差S2=1n（x1-x）2+（x2-x）2+（xn-x）2=1nx12+x22+xn2-2x（x1+x2+xn）+nx2=1nx12+x22+xn2-nx2x12+x22+xn2=nS2+nx2，則x12+

11、x22+x102=1036+1090281360，x112+x122+x202=1016+1080264160，x1+x2+x2020=1090+108020=85S2=120x12+x22+x202-20x2=12081360+641602085251，故答案是：51【點(diǎn)評(píng)】本題依托平均數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差的定義關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和計(jì)算能力，屬于中低檔題4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為8【分析】根據(jù)程序框圖進(jìn)行模擬運(yùn)算即可【解答】解：第1次循環(huán)：k0，S1；第2次循環(huán)：S1212，k2；第3次循環(huán)：S2228，k3；此時(shí)不滿(mǎn)足循環(huán)條件k3，輸出S8故答案為：8【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查

12、了程序框圖的識(shí)別和判斷問(wèn)題，根據(jù)條件模擬運(yùn)算是解題的關(guān)鍵5拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且四面上分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體，其底面落于桌面，記所得的數(shù)字分別為x，y，則xy為整數(shù)的概率是12【分析】本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的正四面體，共有44種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是xy為整數(shù)，包括當(dāng)y1時(shí)，有4種結(jié)果，以此類(lèi)推，列舉出所有結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果【解答】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的正四面體，記所得的數(shù)字分別為x，y，共有4416種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是xy為整數(shù)，包括當(dāng)y1時(shí)，有4種結(jié)果，當(dāng)y2時(shí)，有

13、2種結(jié)果，當(dāng)y3時(shí)，有1種結(jié)果，當(dāng)y4時(shí)，有1種結(jié)果，共有4+2+1+18種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=816=12，故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型，是一個(gè)與數(shù)字結(jié)合的古典概型問(wèn)題，數(shù)字問(wèn)題是經(jīng)常出現(xiàn)的概率問(wèn)題，并且?？汲Ｐ?，是一個(gè)基礎(chǔ)題6函數(shù)f（x）（x3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+）【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解不等式求出即可【解答】解：f（x）（x2）ex，令f（x）0，解得：x2，f（x）在（2，+）遞增，故答案為：（2，+）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題7已知雙曲線(xiàn)x2m-3+y2m+5=1的離心率為43，那么此雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程

14、為y=928【分析】利用雙曲線(xiàn)x2m-3+y2m+5=1的離心率為43，求出a，c，再求出雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程【解答】解：雙曲線(xiàn)x2m-3+y2m+5=1的離心率為43，（m3）（m+5）0，ca=43，5m3，m+5+3-mm+5=169，m=-12，a=322，c22，雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=928故答案為：y=928【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，考查離心率，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題8已知正四棱錐PABCD的體積為43，底面邊長(zhǎng)為2，則側(cè)棱PA的長(zhǎng)為3【分析】設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，則由題意可得OA=2，再根據(jù) 1322PO=43，求得棱錐的高PO的值，可得PA=PO2+

15、OA2 的值【解答】解：設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，則由底面邊長(zhǎng)為2可得OA=2再根據(jù)正四棱錐PABCD的體積為 1322PO=43，求得棱錐的高PO1，故PA=PO2+OA2=1+2=3，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題9已知函數(shù)f（x）sin（x+6）（02），若f（23）1，則函數(shù)yf（x）的最小正周期為4【分析】由條件求得=12，f（x）sin（12x+6），再根據(jù)函數(shù)yAsin（x+）的周期為 ，得出結(jié)論【解答】解：由于f（x）sin（x+6）（02），f（23）sin（23+6）1，23+6=2k+2 kz，即3k+12，=12，f（x）

16、sin（12x+6），故函數(shù)f（x）的最小正周期為 212=4，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的值求角，函數(shù)yAsin（x+）的周期性，利用了函數(shù)yAsin（x+）的周期為 ，屬于基礎(chǔ)題10已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足：a18，a26若將a1，a4，a5都加上同一個(gè)數(shù)m，所得的三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，則m的值為1【分析】由題意可得公差da2a12，從而ana1+（n1）d2n10，設(shè)所加的這個(gè)數(shù)為x，根據(jù) (a4+x)2=（a1+x）（a5+x），解出x的值【解答】解：已知等差數(shù)列an中，a18，a26，公差da2a12，ana1+（n1）d2n10將a1，a4，a5都加上同一個(gè)數(shù)，所得的

17、三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，設(shè)所加的這個(gè)數(shù)為x，則有 (a4+x)2=（a1+x）（a5+x），即 （2+x）2（8+x）（0+x），解得 x1故答案為1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得 an2n10，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題11設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（x+3）和g（x）sin（6-x）的圖象在y軸左、右兩側(cè)靠近y軸的交點(diǎn)分別為M，N，已知O為原點(diǎn)，則OMON=-89【分析】令f（x）g（x），根據(jù)題意，通過(guò)三角函數(shù)的輔助角公式，計(jì)算可得M、N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即得結(jié)果【解答】解：根據(jù)題意，令f（x）g（x），即f（x）g（x）0，則3sin（x+3

18、）sin（6-x）=3sin（x+3）cos（x+3）=2sin(x+3-6) =2sin(x+6)=0，所以x+6=k，其中kZ，化簡(jiǎn)，得x=k-16，kZ，所以M（-16，32），N（56，-32），則OMON=（-16，32）（56，-32）=-1656+32（-32）=-89【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題12設(shè)f（x）asin2x+bcos2x（a，bR），若f（x）的最大值為5，則a+b的取值范圍為-10，10【分析】由條件利用輔助角公式、正弦函數(shù)的最值求得a2+b25，再利用基本不等式求得 （a+b）210，從而求得a+b的取值范圍

19、【解答】解：f（x）asin2x+bcos2x=a2+b2sin（2x+）（a，bR），若f（x）的最大值為a2+b2=5，a2+b25，（a+b）2a2+b2+2ab2（ a2+b2 ）10，-10a+b10，故a+b的取值范圍為-10，10，故答案為：-10，10【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題13在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b2，且cos2B+cosB+cos（AC）1，則a+2c的最小值為42【分析】利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合正弦定理以及基本不等式求解即可【解答】解：由cos2B+cosB+cos（A

20、C）112sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC112sin2BcosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC1sinAsinCsin2B，由正弦定理得到acb2，而a+2c22ac=2b2，由b2，可得(a+2c)min=42故答案為：42【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理基本不等式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力14已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x+2x+3y+4y=10，則xy的取值范圍為1，83【分析】設(shè)xym可得x=my，代入已知可得關(guān)于易得一元二次方程（2+3m）y210my+m2+4m0，由0可得m的不等式，解不等式可得【解答】解：設(shè)

21、xym，則x=my，x+2x+3y+4y=10，my+2ym+3y+4y=10，整理得（2+3m）y210my+m2+4m0，x，y是正實(shí)數(shù)，0，即100m24（2+3m）（m2+4m）0，整理得m（3m8）（m1）0，解得1m83，或m0（舍去）xy的取值范圍是1，83故答案為：1，83【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式求最值，涉及換元的思想和一元二次方程根的存在性，屬中檔題二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15（14分）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m=(sinA，a)，n=(1，sinB)（

22、1）當(dāng)mn=2sinA時(shí)，求b的值；（2）當(dāng)mn時(shí)，且cosC=12a，求tanAtanB的值【分析】（1）由題意得mn=sinA+asinB=2sinA，即asinA=1sinB，由正弦定理有：asinA=bsinB，聯(lián)立即可得解b的值（2）由平行條件得asinAsinB，由cosC=12a，則可得cosAcosB=12a，聯(lián)立即可得解【解答】解：（1）由題意得：mn=sinA+asinB=2sinA，（2分）即得asinA=1sinB，在三角形中由正弦定理有：asinA=bsinB，（4分）由以上兩式可知：b1（6分）（2）由平行條件得asinAsinB，（8分）cosC=-cos(A+B

23、)=sinAsinB-cosAcosB=12a，（10分）則可得到：cosAcosB=12a，（12分）tanAtanB=sinAsinBcosAcosB=2（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和的余弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題16（14分）如圖，四棱錐ABCDE中，AB、BC、BE兩兩垂直且ABBCBE，DEBC，DE2BC，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)（1）求證：BF面ACD；（2）求證：面ADE面ACD【分析】（1）取AD的中點(diǎn)M，連接CM、MF，推導(dǎo)出四邊形BCMF為平行四邊形，從而CMBF，由此能證明BF面ACD（2）作DE中點(diǎn)

24、N，連接CN，推導(dǎo)出CMAD，BFAE，CMAE，由此能證明面ADE面ACD【解答】證明：（1）取AD的中點(diǎn)M，連接CM、MFF、M分別為AE、AD中點(diǎn)，DE=2MF，又DE=2BC，F(xiàn)M=BC，四邊形BCMF為平行四邊形，CMBF，又BF面ACD，CM面ACD，BF面ACD（6分）（2）作DE中點(diǎn)N，連接CN，DE=2BC，N為DE中點(diǎn)N，DNBC，又AB、BC、BE兩兩垂直，且ABBCBE，ACCD，M為AD中點(diǎn)，CMAD，又F是AE的中點(diǎn)，且ABBE，BFAE，CMBF，CMAE，又ADAEA，AE、AD面ADE，CM面ADE，CM面ACD，面ADE面ACD（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面

25、平行、面面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)17（14分）為解決城市的擁堵問(wèn)題，某城市準(zhǔn)備對(duì)現(xiàn)有的一條穿城公路MON進(jìn)行分流，已知穿城公路MON自西向東到達(dá)城市中心點(diǎn)O后轉(zhuǎn)向東北方向（即AOB=34）現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條城市高架道路L，L在MO上設(shè)一出入口A，在ON上設(shè)一出入口B假設(shè)高架道路L在AB部分為直線(xiàn)段，且要求市中心O與AB的距離為10km（1）求兩站點(diǎn)A，B之間距離的最小值；（2）公路MO段上距離市中心O30km處有一古建筑群C，為保護(hù)古建筑群，設(shè)立一個(gè)以C為圓心，5km為半徑的圓形保護(hù)區(qū)則如何在古建筑群C和市中心O之間設(shè)計(jì)出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過(guò)保護(hù)區(qū)

26、（不包括臨界狀態(tài)）？【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OEAB于點(diǎn)E，設(shè)AOE，利用三角函數(shù)的知識(shí)求得AB的最小值；（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓C的方程，利用圓心到直線(xiàn)AB的距離，列方程求出OA的取值范圍【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OEAB于點(diǎn)E，則OE10，設(shè)AOE，則42，所以BOE=34-，所以ABAE+BE10tan+1+10tan（34-）=52coscos(34-)；解得coscos（34-）=12sin（2-4）-24；所以當(dāng)=38時(shí)，AB取得最小值為20（2+1）；（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則圓C的方程為（x+30）2+y225，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykx+t

27、，（k0，t0）；|t|1+k2=10，|-30k+t|1+k25，解得t20k或t60k（舍），OA20，又當(dāng)ABON時(shí)，OA102，所以102OA20；綜上知，當(dāng)102OA20時(shí)，即設(shè)計(jì)出入口A離市中心O的距離在102km到20km之間時(shí)，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過(guò)保護(hù)區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的綜合應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，是中檔題18（16分）已知點(diǎn)M是圓C：（x+1）2+y28上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)P在直線(xiàn)DM上，點(diǎn)N在直線(xiàn)CM上，且滿(mǎn)足DM=2DP，NPDM=0，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線(xiàn)E（）求曲線(xiàn)E的方程；（）若AB

28、是曲線(xiàn)E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB面積S的最大值【分析】（）由已知得NP為DM的垂直平分線(xiàn)，|ND|NM|，|CN|+|ND|=222，由此能求了軌跡E的方程（）法一：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykx+m，由y=kx+mx22+y2=1，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，結(jié)合已知條件能求出AOB面積S的最大值（）法二：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykx+m，由y=kx+mx22+y2=1，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，結(jié)合已知條件能求出AOB面積S的最大值【解答】（）解：

29、因?yàn)镈M=2DP，NPDM=0，所以NP為DM的垂直平分線(xiàn)，所以|ND|NM|，又因?yàn)閨CN|+|NM|=22，所以|CN|+|ND|=222（4分）所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（1，0），D（1，0）為焦點(diǎn)的長(zhǎng)軸為22的橢圓所以軌跡E的方程為x22+y2=1（7分）（）解法一：因?yàn)榫€(xiàn)段AB的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykx+m，由y=kx+mx22+y2=1，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220（9分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又16k2m24（1+2k2）（2m22）0，所以x1+x2=-

30、4km1+2k2，x1x2=2(m2-1)1+2k2（10分）因?yàn)閨AB|2，所以(1+k2)(x2-x1)2=2，即(1+k2)(x2+x1)2-4x1x2=4所以(1+k2)(-4km1+2k2)2-8(m2-1)1+2k2=4，即11+k2=2(1-m2)，因?yàn)?+k21，所以12m21 （12分）又點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離h=|m|1+k2，因?yàn)镾=12|AB|h=h，所以S2h22m2（1m2）=-2(m2-12)2+12（14分）所以0S212，即S的最大值為22（15分）（）解法二：因?yàn)榫€(xiàn)段AB的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x垂直，故可設(shè)直線(xiàn)AB

31、的方程為ykx+m，由y=kx+mx22+y2=1，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又16k2m24（1+2k2）（2m22）0，所以x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2(m2-1)1+2k2（10分）因?yàn)閨AB|2，所以(1+k2)(x2-x1)2=2因?yàn)?1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=4，所以(1+k2)(-4km1+2k2)2-8(m2-1)1+2k2=4，所以m2=2k2+12(1+k2)，（12分）又點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離h=|m|1+k2，所以S=12|AB|h=h所以S2h2=m21+k2=2k2+1

32、2(1+k2)2=11+k2-12(1+k2)2設(shè)t=11+k2，則S2=-12t2+t(0t1)，（14分）所以0S212，即S的最大值為22 （15分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查三有形面積的最大值的求法，解題時(shí)要注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的合理運(yùn)用19（16分）設(shè)首項(xiàng)為a1的正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，q為非零常數(shù)，已知對(duì)任意正整數(shù)n，m，Sn+mSm+qmSn總成立（）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；（）若不等的正整數(shù)m，k，h成等差數(shù)列，試比較ammahh與ak2k的大小；（）若不等的正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，試比較am1mah1h與ak2k的大小【

33、分析】（）令nm1，得a2qa1，令m1，得Sn+1S1+qSn（1），從而Sn+2S1+qSn+1兩式相減即可得出an+2qan+1，進(jìn)而可判斷出數(shù)列an是等比數(shù)列（）根據(jù)m，k，h成等差數(shù)列，可知m+h2k，進(jìn)而可判定m2+h212(m+h)2=2k2，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分q大于、等于和小于1三種情況判斷（）正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，則mhk2，判斷出1m+1h21mh=2k，進(jìn)而根據(jù)等差根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分a1和q大于、等于和小于1三種情況判斷【解答】（）證：因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，m，Sn+mSm+qmSn總成立，令nm1，得S2S1+qS1，則a2qa1令m1，得Sn+1S

34、1+qSn（1），從而Sn+2S1+qSn+1（2），（2）（1）得an+2qan+1，（n1）綜上得an+1qan（n1），所以數(shù)列an是等比數(shù)列（）正整數(shù)m，k，h成等差數(shù)列，則m+h2k，所以m2+h212(m+h)2=2k2，則ammahh=a1mqm2-ma1hqh2-h=a12kqm2+h2-m-h當(dāng)q1時(shí)，ammahha12kak2k當(dāng)q1時(shí)，ammahh=a12kqm2+h2-m-ha12kq2k2-2k=(a1qk-1)2k=ak2k當(dāng)0q1時(shí)，ammahh=a12kqm2+h2-m-ha12kq2k2-2k=(a1qk-1)2k=ak2k（）正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，則m

35、hk2，則1m+1h21mh=2k，所以am1mah1h=(a1qm-1)1m(a1qh-1)1h=a11m+1hq2-1m-1h=q2(a1q)1m+1h，ak2k=q2(a1q)2k當(dāng)a1q，即a1q=1時(shí)，am1mah1h=ak2k=q2=ak2k當(dāng)a1q，即a1q1時(shí)，am1mah1h=q2(a1q)1m+1hq2(a1q)2k=ak2k當(dāng)a1q，即a1q1時(shí)，am1mah1h=q2(a1q)1m+1hq2(a1q)2k=ak2k【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列常與不等式一塊考查，應(yīng)引起重視20（16分）已知函數(shù)f（x）ex+ax，g（x）exlnx（e是自

36、然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若曲線(xiàn)yf（x）在x1處的切線(xiàn)也是拋物線(xiàn)y24（x1）切線(xiàn)，求a的值；（2）若對(duì)于任意xR，f（x）0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a1時(shí)，是否存在x0（0，+），使曲線(xiàn)C：yg（x）f（x）在點(diǎn)xx0處的切線(xiàn)斜率與f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的x0的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把c1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線(xiàn)方程的斜率，把x1代入f（x）求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出切線(xiàn)的方程，把切線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，得到方程的根的判別式等于0，列出關(guān)于a

37、的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a大于0，a0和a小于0三種情況考慮，當(dāng)a大于0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于0，即函數(shù)為增函數(shù)，利用極限的思想得到函數(shù)恒大于0不成立；當(dāng)a0時(shí)，得到函數(shù)恒大于0，滿(mǎn)足題意；當(dāng)a小于0時(shí)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出x的值，由x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到f（x）的最小值，讓最小值大于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，綜上，得到滿(mǎn)足題意的a的取值范圍；（3）把a(bǔ)1代入到（2）中求出的f（x）的最小值中，確定出f（x）的最小值，設(shè)h（x）g（x）f（x），把g（x）和f（x）的解析式代入確定出h（x

38、），求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，假如存在x0（0，+），使曲線(xiàn)C：yg（x）f（x）在點(diǎn)xx0處的切線(xiàn)斜率與f（x）在R上的最小值相等，令h（x）導(dǎo)函數(shù)等于f（x）的最小值，得到lnx+1x-1=0，設(shè)（x）等于等式的右邊，求出（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定出（x）的最小值為（1）等于0，得到方程有唯一的解，且唯一的解為f（x）的最小值【解答】解：（1）f（x）ex+a，把x1代入得：f（1）e+a，把x1代入f（x）得：f（1）e+a，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e+a），則在x1處的切線(xiàn)為y（e+a）（e+a）（x1）即：y（e+a）x，與y24（x1）聯(lián)立，消去得（e+a）2x24x+40，由0

39、知，a1e或a1e；（4分）（2）f（x）ex+a，當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，f（x）在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x時(shí)，ex0，ax，f（x），故f（x）0不恒成立，所以a0不合題意；（6分）當(dāng)a0時(shí)，f（x）ex0對(duì)xR恒成立，所以a0符合題意；當(dāng)a0時(shí)令f（x）ex+a0，得xln（a），當(dāng)x（，ln（a）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（ln（a），+）時(shí)，f（x）0，故f（x）在（，ln（a）上是單調(diào)遞減，在（ln（a），+）上是單調(diào)遞增，所以f（x）minf（ln（a）a+aln（a）0，解得ae，又a0，a（e，0），綜上：a（e，0（10分）（3）當(dāng)a1時(shí)，由（2）知f（x）minf（ln（a）a+al

40、n（a）1，設(shè)h（x）g（x）f（x）exlnxex+x，則h(x)=exlnx+ex1x-ex+1=ex(lnx+1x-1)+1，假設(shè)存在實(shí)數(shù)x0（0，+），使曲線(xiàn)C：yg（x）f（x）在點(diǎn)xx0處的切線(xiàn)斜率與f（x）在R上的最小值相等，x0即為方程的解，（13分）令h（x）1得：ex(lnx+1x-1)=0，因?yàn)閑x0，所以lnx+1x-1=0令(x)=lnx+1x-1，則(x)=1x-1x2=x-1x2，當(dāng)0x1時(shí)（x）0，當(dāng)x1時(shí)（x）0，所以(x)=lnx+1x-1在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增，（x）（1）0，故方程ex(lnx+1x-1)=0有唯一解為1，所以存在

41、符合條件的x0，且僅有一個(gè)x01（16分）【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，是一道中檔題選做題（本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在答題相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）選修4-2：矩陣與變換（10分）21（10分）設(shè)矩陣A=1221，求矩陣A的逆矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量【分析】由矩陣A，求得丨A丨及A*，A1=1丨A丨A*，求得A1，由特征多項(xiàng)式f（）0，求得矩陣的特征值，代入求得特征向量【解答】解

42、：丨A丨=1221=143，A*=1-2-21，A的逆矩陣為A1=1丨A丨A*=-132323-13，則特征多項(xiàng)式為f（）（+13）2-49=2+23-13，令f（）0，解得：11，2=13，設(shè)特征向量為xy，則-132323-13xy=-xy，可知特征值11，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為1-1，同理可得特征值2=13，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為11（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查求矩陣特征值及特征向量，考查逆矩陣的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22（10分）在極坐標(biāo)系中，求曲線(xiàn)2cos關(guān)于直線(xiàn)=4（R）對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程【分析】解法一：將極坐標(biāo)系下的方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方

43、程，進(jìn)一步運(yùn)算過(guò)后再將計(jì)算結(jié)果表示成極坐標(biāo)方程解法二：在極坐標(biāo)下，設(shè)曲線(xiàn)2cos上任意一點(diǎn)為（，），其關(guān)于直線(xiàn)=4對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（，），則=2k+2-，再代入到2cos計(jì)算即可【解答】解法一：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線(xiàn)2cos的直角坐標(biāo)方程為（x1）2+y21，且圓心C為（1，0）直線(xiàn)=4的直角坐標(biāo)方程為yx，因?yàn)閳A心C（1，0）關(guān)于yx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（0，1），所以圓心C關(guān)于yx的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)為x2+（y1）21，所以曲線(xiàn)2cos關(guān)于直線(xiàn)=4（R）對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為2sin解法二：設(shè)曲線(xiàn)2cos上任意一點(diǎn)為（，），其關(guān)于直線(xiàn)=4對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（，）則=2k+2-，將（，），代入（，

44、），得=2cos(2-)，即2sin，所以曲線(xiàn)2cos關(guān)于直線(xiàn)=4對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為2sin【點(diǎn)評(píng)】和極坐標(biāo)相關(guān)的題目可以直接用極坐標(biāo)的知識(shí)處理，也可以根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)下的運(yùn)算，學(xué)生可以根據(jù)自己的思維方式選擇適合的解決方法選修4-5：不等式選講（本小題滿(mǎn)分0分）23若關(guān)于x的不等式x2ax+b0的解集為（1，2），求函數(shù)f（x）（a1）x-3+（b1）4-x的最大值【分析】由題意可得1，2是方程x2ax+b0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理可得a3，b2，即有f（x）2x-3+4-x，運(yùn)用柯西不等式即可得到所求最大值【解答】解：關(guān)于x的不等式x2ax+b0的解集為（1，2），可得1，2是方程x2ax+b0的兩根，即有1+2a，12b，解得a3，b2，則函數(shù)f（x）（a1）x-3+（b1）4-x=2x-3+4-x，由x30，4x0可得3x4，由柯西不等式可得，（2x-3+4-x）2（4+1）（x3+4x），即有2x-3+4-x5當(dāng)24-x=x-3，即為x=1953，4時(shí)，f（x