行列式定義PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 行列式定義行列式定義 nnnn n n nppp ppp aaa aaa aaa D aaa n nn n n 21 22221 11211 21 2 .) 1( 21 2 1 記作 的代數(shù)和 個(gè)元素的乘積取自不同行不同列的 階行列式等于所有個(gè)數(shù)組成的由 定義定義 ).det( ij a簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作 的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det( ijij aa 第1頁/共29頁 為這個(gè)排列的逆序數(shù)為這個(gè)排列的逆序數(shù) 的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中 n n ppp nppp 21 21 21 n n n nppp ppp ppp nnnn n n aaa aaa a

2、aa aaa D 21 21 21 21 21 22221 11211 1 第2頁/共29頁 說明說明 1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方 程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要 而定義的而定義的; 2、 階行列式是階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和; n!n 3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同 列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積; n n 5、 一階行列式一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆; aa 4 、 n n ppp nppp aaa 21 2

3、1 1 21 的符號(hào)為 第3頁/共29頁 例1. 二階行列式 2221 1211 aa aa = 2211a a )12( 1 2112a a )21( 1 = 2211a a 2112a a 第4頁/共29頁 例2 三階行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 332211 aaa 123 1 322311 aaa 132 1 213 1 332112 aaa 312312 aaa 231 1 322113 aaa 312 1 312213 aaa 321 1 =332211 aaa -322311 aaa -332112 aaa +312312 aaa +3

4、22113 aaa -312213 aaa 第5頁/共29頁 例例3 3計(jì)算對(duì)角行列式計(jì)算對(duì)角行列式 0004 0030 0200 1000 分析分析 展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是 4321 4321pppp aaaa 4 1 p若若, 0 1 1 p a所以所以 只需要取只需要取 , 1 p 4 同理可得同理可得 1, 2, 3 432 ppp 解解 第6頁/共29頁 0004 0030 0200 1000 43211 4321 .24 即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為 .aaaa 41322314 例例4 4 計(jì)算上計(jì)算上三角行列式三角行列式 nn n n a

5、aa aaa 00 0 222 11211 第7頁/共29頁 分析分析 展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是 . 21 21 n nppp aaa ,npn , 1 1 npn, 1, 2, 3 123 ppnpn 所以不為零的項(xiàng)只有所以不為零的項(xiàng)只有 . 2211nn aaa nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 nn nt aaa 2211 12 1 . 2211nn aaa 解解 第8頁/共29頁 例例5? 8000 6500 1240 4321 D 44332211 8000 6500 1240 4321 aaaaD .1608541 第9頁/共29頁

6、同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 nnnnn aaaa aa a 321 2221 11 00 000 . 2211nn aaa 第10頁/共29頁 n 2 1 .1 21 2 1 n nn 例例6 6 證明證明對(duì)角行列式對(duì)角行列式 第11頁/共29頁 n 2 1 n11n2,1n 211nn aaa1 .1 21 2 1 n nn 證明證明 若記若記, 1, inii a 則依行列式定義則依行列式定義 1 1,2 1 n n n a a a 證畢證畢 第12頁/共29頁 例例7 7設(shè)設(shè) nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 1 nn n n n

7、n n n n n ababa baaba babaa D 2 2 1 1 2 22221 1 1 1 1211 2 證證 明明 . 21 DD 證證由行列式定義有由行列式定義有 第13頁/共29頁 n21 n21 n21 np2p1p ppp ppp nnn2n1 2n2221 1n1211 1 aaa1 aaa aaa aaa D nn n n n n n n n n ababa baaba babaa D 2 2 1 1 2 22221 1 1 1 1211 2 n21 n21 n21 n21 pppn21 np2p1p ppp ppp baaa1 第14頁/共29頁 由于由于,21 2

8、1 nppp n 所以所以 .1 2211 21 21 21 DaaaD n n n nppp ppp pppt n n n n pppn nppp ppp pppt baaaD 21 21 21 21 21 212 1 n n n nppp ppp pppt aaa 21 21 21 21 1 故故 第15頁/共29頁 定理定理 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n nn nn qpqpqp qqqppp aaaD 2211 2121 1 證明：分析 n nn nlll qpqpqp aaa aaa 21 2211 21 一系列的元素對(duì)換變成一系列的元素對(duì)換變成 都可以通過都可以通過行列式

9、的任何一項(xiàng)行列式的任何一項(xiàng) 的元素發(fā)生一次對(duì)換，的元素發(fā)生一次對(duì)換，當(dāng)當(dāng) nnq pqpqp aaa 2211 nnq pqpqp aaa 1122 例如變成例如變成 , 相應(yīng)的符號(hào)變成 )()( 312312 ) 1( nn qqqqpppp 第16頁/共29頁 其中其中 為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). . n ppp 21 定理定理2 2 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n nppp n aaaD 21 21 1 證證 明明 根據(jù)定理1，只要將行列式中的每 一項(xiàng)換成按列指標(biāo)為自然（或稱標(biāo) 準(zhǔn)）排列。 因?yàn)榱兄笜?biāo)的排列逆序數(shù)為0，所以有： 第17頁/共29頁 12 12 ()

10、12 1 n n p pp ppp n Daaa 第18頁/共29頁 例例8 8 試判斷試判斷 和和 655642312314 aaaaaa 662551144332 aaaaaa 是否都是六階行列式中的項(xiàng)是否都是六階行列式中的項(xiàng). 解解 655642312314 aaaaaa 下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 6102210431265 t 所以所以 是六階行列式中的項(xiàng)是六階行列式中的項(xiàng).655642312314 aaaaaa 112335435664 a a a a a a 第19頁/共29頁 662551144332 aaaaaa 下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 8452316 t 所以所以

11、不是六階行列式中的項(xiàng)不是六階行列式中的項(xiàng).662551144332 aaaaaa 112335435664 a a a a a a (135364)3 ？ 第20頁/共29頁 例例9 9 在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào)在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào). ;)1( 651456423123 aaaaaa .)2( 256651144332 aaaaaa 解解 651456423123 )1(aaaaaa 431265的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 012201 t, 6 所以所以 前邊應(yīng)帶正號(hào)前邊應(yīng)帶正號(hào). 651456423123 aaaaaa , 655642312314 aaaaaa

12、第21頁/共29頁 行標(biāo)排列行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 400301 t 所以所以 前邊應(yīng)帶正號(hào)前邊應(yīng)帶正號(hào). 256651144332 aaaaaa 256651144332 )2(aaaaaa 6400200 t 第22頁/共29頁 例例1010 用行列式的定義計(jì)算用行列式的定義計(jì)算 n n D n 0000 00001 00200 01000 第23頁/共29頁 !.12 21 nD nn n 221 nn 解解 nnnnn t n aaaaD 1 , 12,21, 1 1 nn t 1211 , !1 n t nnnt2121 1232 nn 第24頁/共29頁 1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解 方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需 要而定義的要而定義的. 2、 階行列式共有階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同 行、不同列行、不同列 的的 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排 列的逆序數(shù)決定列的逆序數(shù)決定. n n !n 第25頁/共29頁 已知已知 1211 123 111 211 x x x x xf . 3 的系數(shù)的系數(shù)求求 x 第