數(shù)字信號處理信號與采樣和重構(gòu)PPT課件

1、 (1 2) 2/ (1 2) 2 2/ 2 2 2/ 2 2()2 ( ) () () (/)( s s s s s s s s s sss kF jnF F a kF k F jnF F as F k s F jnF F as F k sa jn F kFFjnF F XF edF XFkF edF XFkFed XF F FFX ee ) ( )() ssas kk FkFX fFXfk F 11 22 11 22 () ()( ) () ssa ssas kFkFXF FFXFkF 在頻率，內(nèi)的與在頻率 (,)內(nèi)的一致，故有： 例如，假定一個(gè)帶限模擬信號的譜如圖 (a)所示。 當(dāng) 時(shí)，

2、譜為0。如果 ，則離散時(shí)間信 號的譜 將如圖(b)所示，清晰可見。 1/ 2 , ( ) / 2 . s s f F FF 此時(shí) 沒有混疊 離散時(shí)間信號的 譜等于 比例因子 內(nèi) 在基本頻率 范圍或 內(nèi)的模擬 信號的譜 2 s FB BF )/( s FFX 2 , ()( ) 2 ssas s F F FBXF XFFF如果 則 如果如果 ,那么那么 的周期延拓將導(dǎo)致譜重的周期延拓將導(dǎo)致譜重 疊疊 如果如果 ,那么那么 的周期延拓將導(dǎo)致譜重疊的周期延拓將導(dǎo)致譜重疊2 s FB ( ) a X F 離散時(shí)間信 號的譜包含 了模擬信號 譜的混疊頻 率分量，最 終使得無法 從取樣中恢 復(fù)出原始信 號

3、。 n當(dāng)不存在混疊時(shí) 1 ( ), 2 ( ) 0, 2 ss s a s F FF XFF X F FF 2 2 2 2 ()()( ) ( )() s s s jFn F x F jFt aas F s F F XfXx n e xtXF edF 22 222 22 2 2() 2 sin(/)() (/)() 1 1 ( )()( ) () ( ) ss s ss s s s FF jFn FjFtjFt aas FF k F jF t n F F n a n s s Tt nT Tt nT F F xtXF edFx n eedF x nxedFnT ( )(), 1/1/2 (2 )

4、 ass x nx nTTFBFB其中 假定 in(/) sin 2 ( ) (/)2 sT t Bt g t T tBt 用取樣信號重構(gòu)原始模擬信號的內(nèi)插公式 內(nèi)插函數(shù) n利用理想內(nèi)插公式重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號利用理想內(nèi)插公式重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號 (1 ) a xT (2 ) a xT (4 ) a xT ( )() aa tkTx txkT在計(jì)算得到的就是取樣值 在所有其他時(shí)刻，可以通過內(nèi)插函數(shù)的時(shí)移形式 的加權(quán)求和準(zhǔn)確得到 。 ( ) a x t 取樣定理取樣定理 n最高頻率(帶寬)為 的連續(xù)時(shí)間帶限信號，當(dāng) 取樣率 時(shí)，可以從它的取樣信號惟 一恢復(fù)出原始信號。 n根據(jù)取樣定理和重構(gòu)公式, 從取樣

5、恢復(fù)模擬信號 需要無限個(gè)取樣。 n僅關(guān)心從有限個(gè)取樣恢復(fù)有限時(shí)寬的信號。 n如果取樣率太低，則出現(xiàn)混疊，該效果可以用模 擬信號的頻率變量在頻率軸上多重折疊來描述。 BHz 2 ss FFB滿足 時(shí)域和頻域函 數(shù)之間的關(guān)系 假定模擬信號是 帶限的并且對其 進(jìn)行取樣的取樣 率等于或者高于 Nyquist率。 實(shí)際中，在取樣 之前都要做抗混 疊預(yù)濾波 例例6.1.1 正弦信號中的混疊正弦信號中的混疊 連續(xù)時(shí)間信號連續(xù)時(shí)間信號 00 22 11 022 ( )cos2 jF tjF t a x tFtee 在在 處具有如圖處具有如圖(a)所示線譜的離散譜。用取樣所示線譜的離散譜。用取樣 頻率頻率 對信

6、號進(jìn)行取樣，導(dǎo)致原來信號頻譜在對信號進(jìn)行取樣，導(dǎo)致原來信號頻譜在 的倍的倍 頻上復(fù)制。圖頻上復(fù)制。圖(b)給出了當(dāng)給出了當(dāng) 時(shí)的頻譜。時(shí)的頻譜。 0 FF s F s F ss FFF 0 2/ 為了重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號，應(yīng)該在基本頻率范圍為了重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號，應(yīng)該在基本頻率范圍 內(nèi)選擇頻率分量。圖內(nèi)選擇頻率分量。圖(c)給出了所得到給出了所得到 的譜。重構(gòu)的信號為的譜。重構(gòu)的信號為 現(xiàn)在，如果選取取樣頻率現(xiàn)在，如果選取取樣頻率 滿足滿足 ， 則取樣信號的頻譜如圖則取樣信號的頻譜如圖(d)所示。重構(gòu)信號如圖所示。重構(gòu)信號如圖 (e)所示，可表示為所示，可表示為 在這兩種情況下，都出現(xiàn)了混疊，以致于

7、重構(gòu)在這兩種情況下，都出現(xiàn)了混疊，以致于重構(gòu) 信號的頻率是原始信號的頻率的混疊形式。信號的頻率是原始信號的頻率的混疊形式。 2/ s FF 0 ( )cos2 () as x tFF t 2/3 0ss FFF s F 0 ( )cos2 () as x tFF t 例例6.1.2 非帶限信號的取樣與重建非帶限信號的取樣與重建 考慮連續(xù)時(shí)間雙邊指數(shù)信號: 1.確定取樣信號確定取樣信號 的譜。的譜。 2.2.畫出畫出 和和 的信號的信號 和和 的波的波 形及其頻譜圖。形及其頻譜圖。 3.3.畫出用理想帶限插值方法重建后的連續(xù)時(shí)間信號畫出用理想帶限插值方法重建后的連續(xù)時(shí)間信號 的波形。的波形。 解

8、解: (a) 如果用取樣頻率 對 取樣，得到 22 2 ( )( ), 0 (2) AtF aa A x teXFA AF )()(nTxnx a TFs/1)(txa / Ts1 3 Ts1 )(tx a )()(nTxnx a )(txa ( )() n AT nAT a x nx nTeen 如果直接計(jì)算傅里葉變換，就可以很容易得到如果直接計(jì)算傅里葉變換，就可以很容易得到 的譜的譜 )(nx 2 2 1 ( ), 12 cos2 (/) AT s a X Fae aF Fa 很明顯，因?yàn)楹苊黠@，因?yàn)?是周期為是周期為 的周期信的周期信 號，因此號，因此 也是周期信號。也是周期信號。 (b

9、) 由于由于 不是帶限的，混疊不可避免。圖不是帶限的，混疊不可避免。圖 (a)示出示出 了了 時(shí)的原始信號時(shí)的原始信號 和它的譜和它的譜 ，圖，圖 (b)和和(c) 分別示出了分別示出了 時(shí)的取樣信號時(shí)的取樣信號 及該信及該信 號的譜號的譜 。很清楚，在頻域混疊失真值得注意。很清楚，在頻域混疊失真值得注意。 由混疊所引起的失真可通過提高取樣率來有效地減輕。由混疊所引起的失真可通過提高取樣率來有效地減輕。 (c)重構(gòu)信號重構(gòu)信號 的譜為的譜為 )/(2cos2cos s FFFT s F )/( s FFX )(FX a A 1 )(txa )(FX a 1 ss FHzFHz3和)(nx (

10、)X F )(txa , 2 () 0, s a TXFF XF F 其他 利用理想內(nèi)插公式計(jì)算利用理想內(nèi)插公式計(jì)算 )( txa 由混疊所引起的失真可通過 提高取樣率來有效地減輕 6.2 連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間處理 n模擬信號數(shù)字處理的系統(tǒng)模擬信號數(shù)字處理的系統(tǒng)(圖圖6.2.1) n預(yù)濾波器是一個(gè)模擬濾波器，預(yù)濾波器是一個(gè)模擬濾波器，有雙重目的: n確保被取樣的信號的帶寬限制在所需要的頻率范圍內(nèi)。 n限制加性噪聲譜和其他破壞理想信號的干擾。 規(guī)定好了預(yù)濾波器的需求，并選好所需要的取樣率，就規(guī)定好了預(yù)濾波器的需求，并選好所需要的取樣率，就 可著手設(shè)計(jì)用于離散時(shí)間信號的

11、數(shù)字信號處理運(yùn)算可著手設(shè)計(jì)用于離散時(shí)間信號的數(shù)字信號處理運(yùn)算。 理想理想A/D轉(zhuǎn)換器在時(shí)域和頻域的輸入和輸轉(zhuǎn)換器在時(shí)域和頻域的輸入和輸 出特性出特性 ( )( )() 1 ( )(-) at nTa as k x nx tx nT X FXF kF T （時(shí)域） （頻域） 理想理想D/A轉(zhuǎn)換器的輸入和輸出特性轉(zhuǎn)換器的輸入和輸出特性 D/A是線性時(shí)變系統(tǒng)，具有離散時(shí)間輸入和連續(xù)時(shí)間輸出是線性時(shí)變系統(tǒng)，具有離散時(shí)間輸入和連續(xù)時(shí)間輸出. 2 2 ( )( )(), () , /2 sin(/) g ( )( ) / 0, ( )( )() ( )( ) aa n s F aa jFt a k jFn

12、T a k y ty n g tnT TFF t T tG F t T Y Fy ng tnT edt y n G F e 時(shí)域 其中， 其他 = ( ) ( ), () a G F Y F頻域 現(xiàn)在假設(shè)給出一個(gè)連續(xù)時(shí)間現(xiàn)在假設(shè)給出一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)系統(tǒng) ( )( )(), ( )( )( ) aaaaa y thx tdtY FHF XF 是否存在一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是否存在一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng) ,使圖使圖6.2.1中整個(gè)系統(tǒng)等中整個(gè)系統(tǒng)等 價(jià)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)價(jià)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) ? 如果如果 是帶限信號且是帶限信號且 ，那么對于，那么對于 ，就可，就可 以得到以得到 。因此，圖。因此，圖6.2.1的

13、系統(tǒng)輸出為：的系統(tǒng)輸出為： ( )H F ( ) a H F s FB 2/ s FF2 ()()/ a X FXFT ( )( ), / ( )( )( )( ) , / as aa s H F XFFF Y FH F X F GF FF 2 02 ( ),/ ( ) ,/ as s HFFF H F FF 2 02 ( )( ) aa y ty t 為了確保為了確保 ，需要選擇一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，使得，需要選擇一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，使得 ( ) a x t 連續(xù)時(shí)間信號做離散時(shí)間濾波的理論基礎(chǔ)：連續(xù)時(shí)間信號做離散時(shí)間濾波的理論基礎(chǔ)： n在在 是帶限信號且是帶限信號且 這種特殊情這種特殊情 況下，

14、將況下，將A/D轉(zhuǎn)換器（線性時(shí)變系統(tǒng)）轉(zhuǎn)換器（線性時(shí)變系統(tǒng)） 與與LTI系統(tǒng)和系統(tǒng)和D/A轉(zhuǎn)換器（線性時(shí)變系轉(zhuǎn)換器（線性時(shí)變系 統(tǒng)）級聯(lián)，等價(jià)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。統(tǒng)）級聯(lián)，等價(jià)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。 () a x t s FB 2 6.3 模數(shù)和數(shù)模轉(zhuǎn)換器模數(shù)和數(shù)模轉(zhuǎn)換器 n1 模數(shù)轉(zhuǎn)換器模數(shù)轉(zhuǎn)換器 n2 量化與編碼量化與編碼 n3 量化誤差分析量化誤差分析 1 模數(shù)轉(zhuǎn)換器模數(shù)轉(zhuǎn)換器 n在關(guān)于連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間信號處理的等效性在關(guān)于連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間信號處理的等效性 討論中，做了一個(gè)隱含的假設(shè)，即，模數(shù)轉(zhuǎn)換討論中，做了一個(gè)隱含的假設(shè)，即，模數(shù)轉(zhuǎn)換 中的量化誤差和數(shù)字信號處理中的舍入誤差可中的量化誤差和數(shù)

15、字信號處理中的舍入誤差可 忽略不計(jì)。忽略不計(jì)。 n應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，由于模擬系統(tǒng)中的電子元件有應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，由于模擬系統(tǒng)中的電子元件有 公差，它們在運(yùn)算期間引入噪聲，所以模擬信公差，它們在運(yùn)算期間引入噪聲，所以模擬信 號處理運(yùn)算不能非常精確地完成。號處理運(yùn)算不能非常精確地完成。 n一般說來，數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)者比正在設(shè)計(jì)等效的一般說來，數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)者比正在設(shè)計(jì)等效的 模擬系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)者能更好地控制數(shù)字模擬系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)者能更好地控制數(shù)字 信號處理系統(tǒng)中的公差。信號處理系統(tǒng)中的公差。 (a)A/D轉(zhuǎn)換器基本元件框圖；轉(zhuǎn)換器基本元件框圖；(b)理想理想 S/H電路的時(shí)域響應(yīng)電路的時(shí)域響應(yīng) 2 量化

16、與編碼量化與編碼 nA/D轉(zhuǎn)換器的基本任務(wù)是將輸入的連續(xù)幅度范轉(zhuǎn)換器的基本任務(wù)是將輸入的連續(xù)幅度范 圍轉(zhuǎn)換成一組離散的數(shù)字碼字集。這種轉(zhuǎn)換包圍轉(zhuǎn)換成一組離散的數(shù)字碼字集。這種轉(zhuǎn)換包 含量化和編碼的過程。量化是一個(gè)非線性不可含量化和編碼的過程。量化是一個(gè)非線性不可 逆過程，它將時(shí)刻逆過程，它將時(shí)刻 的給定幅度的給定幅度 映射成取自一組有限集合內(nèi)的幅度映射成取自一組有限集合內(nèi)的幅度 。 n用用 個(gè)判定級個(gè)判定級 將信號的幅度區(qū)域?qū)⑿盘柕姆葏^(qū)域 分成個(gè)分成個(gè) 區(qū)間：區(qū)間： n量化器的可能輸出量化器的可能輸出 nTt )()(nTxnx 1L 121 , L x xx L ( ), kkk Ixx

17、nxkL 1 1 2, ( ) ( ), ( ) qkk x nQ x nxx nI如果 n如果用數(shù)字系統(tǒng)處理所得到的數(shù)字信號，通常都要求采如果用數(shù)字系統(tǒng)處理所得到的數(shù)字信號，通常都要求采 用均勻量化：用均勻量化： n在像語音之類的信號的傳輸和存儲應(yīng)用中，經(jīng)常利用非在像語音之類的信號的傳輸和存儲應(yīng)用中，經(jīng)常利用非 線性和時(shí)變量化器。線性和時(shí)變量化器。 n如果零被安排為一個(gè)量化級，則量化器是中平型，如果如果零被安排為一個(gè)量化級，則量化器是中平型，如果 安排零為一個(gè)判定級，則稱量化器為中升型。安排零為一個(gè)判定級，則稱量化器為中升型。 n量化誤差量化誤差 n中平型量化器的輸入幅值被四舍五入到最近的量

18、化級。中平型量化器的輸入幅值被四舍五入到最近的量化級。 1 11 , 1,2,1 , kk kkkk xxkL xxxx ，對于于有有限限的的 是量化器的步長是量化器的步長 2 )( 2 neq 圖圖6.3.2 量化過程和量化過程和L=8級的中平型量化器級的中平型量化器 圖圖6.3.3 中平型量化器示例中平型量化器示例 A/D轉(zhuǎn)換器中，編碼過程轉(zhuǎn)換器中，編碼過程 n編碼過程把一個(gè)惟一的二進(jìn)制數(shù)指定給一個(gè)量化級，編碼過程把一個(gè)惟一的二進(jìn)制數(shù)指定給一個(gè)量化級， 如果我們有級，則我們至少需要個(gè)不同的二進(jìn)制數(shù)。如果我們有級，則我們至少需要個(gè)不同的二進(jìn)制數(shù)。 n A/D轉(zhuǎn)換器的步長或者說分辨率轉(zhuǎn)換器的步

19、長或者說分辨率 n二進(jìn)制編碼方法各式各樣，每一種都有優(yōu)缺點(diǎn)。二進(jìn)制編碼方法各式各樣，每一種都有優(yōu)缺點(diǎn)。在大在大 多數(shù)字信號處理器使用的表數(shù)方法是補(bǔ)碼表示。多數(shù)字信號處理器使用的表數(shù)方法是補(bǔ)碼表示。 n理想理想A/D轉(zhuǎn)換器引入的惟一退化是量化誤差，并且可轉(zhuǎn)換器引入的惟一退化是量化誤差，并且可 以通過增加位數(shù)來減少。以通過增加位數(shù)來減少。 n實(shí)際的實(shí)際的A/D轉(zhuǎn)換器與理想的轉(zhuǎn)換器與理想的A/D轉(zhuǎn)換器在多個(gè)方面有所轉(zhuǎn)換器在多個(gè)方面有所 不同。不同。 11 2 1 2 2 or 1log bb bLbL 1 /2bR b b 2222 2 2 1 1 0 0 3 量化誤差分析量化誤差分析 量化誤差取決

20、于輸入信號的特征和量化器的非線性性，采量化誤差取決于輸入信號的特征和量化器的非線性性，采 用統(tǒng)計(jì)方法確定量化對用統(tǒng)計(jì)方法確定量化對A/D轉(zhuǎn)換器性能的影響。轉(zhuǎn)換器性能的影響。 在統(tǒng)計(jì)方法中，假定量化誤差在本質(zhì)上是隨機(jī)的。將該誤在統(tǒng)計(jì)方法中，假定量化誤差在本質(zhì)上是隨機(jī)的。將該誤 差視為加在原信號（未被量化）上的噪聲。如果輸入模擬差視為加在原信號（未被量化）上的噪聲。如果輸入模擬 信號在量化器的范圍之內(nèi)，則量化誤差的幅度是有界信號在量化器的范圍之內(nèi)，則量化誤差的幅度是有界 的，稱所造成的誤差為粒狀噪聲。當(dāng)輸入信號落在量化器的，稱所造成的誤差為粒狀噪聲。當(dāng)輸入信號落在量化器 的范圍之外，變成無界，并造

21、成過載噪聲。當(dāng)這類噪的范圍之外，變成無界，并造成過載噪聲。當(dāng)這類噪 聲出現(xiàn)時(shí)，可能引起嚴(yán)重的信號失真，我們處理這種情況聲出現(xiàn)時(shí)，可能引起嚴(yán)重的信號失真，我們處理這種情況 的惟一辦法是為輸入信號定標(biāo)，以便它的動(dòng)態(tài)范圍落在量的惟一辦法是為輸入信號定標(biāo)，以便它的動(dòng)態(tài)范圍落在量 化器的動(dòng)態(tài)范圍之內(nèi)?；鞯膭?dòng)態(tài)范圍之內(nèi)。 ( ) q e n ( ) q e n 量化誤差的數(shù)學(xué)模型量化誤差的數(shù)學(xué)模型 n在沒有過載噪聲的基礎(chǔ)上在沒有過載噪聲的基礎(chǔ)上 假設(shè)：假設(shè)： 1. 在區(qū)間在區(qū)間 上均勻分布。上均勻分布。 2. 是平穩(wěn)白噪聲序列。是平穩(wěn)白噪聲序列。 3. 與信號序列不相關(guān)。與信號序列不相關(guān)。 4. 信號序

22、列是零均值平穩(wěn)信號序列是零均值平穩(wěn) 序列。序列。 )(neq /2( )/2 q e n 一般說來，這些假設(shè)是不成立的，一般說來，這些假設(shè)是不成立的， 但是當(dāng)量化步長小，并且兩個(gè)相繼但是當(dāng)量化步長小，并且兩個(gè)相繼 的樣本之間信號序列跨過幾個(gè)量化的樣本之間信號序列跨過幾個(gè)量化 級時(shí)，就是成立的。級時(shí)，就是成立的。 加性噪聲對理想信號的影響加性噪聲對理想信號的影響 10 2222 10lg ( ), ( ) x n xxneq P SQNR P PE xnPE e n 假如均勻分布在區(qū)間上，則誤假如均勻分布在區(qū)間上，則誤 差的均值為零，方差（量化誤差功率）為差的均值為零，方差（量化誤差功率）為 (

23、/2, /2) 2 /2/2 222 /2/2 1 ( ) 12 10lg20lg 6.0216.81 20lg ne xx ne x Pe p e dee de P SQNR P R bdB )(neq 數(shù)模轉(zhuǎn)換器數(shù)模轉(zhuǎn)換器 n在實(shí)際中，在實(shí)際中，D/A轉(zhuǎn)換通常由具有取樣保持（轉(zhuǎn)換通常由具有取樣保持（S/H） 功能功能 的的D/A轉(zhuǎn)換器緊接一個(gè)低通（平滑）濾波器來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換器緊接一個(gè)低通（平滑）濾波器來實(shí)現(xiàn) n在理想情況下，對一個(gè)在理想情況下，對一個(gè)3位雙極信號，其輸入輸出特性位雙極信號，其輸入輸出特性 如圖如圖6.3.7所示。連接點(diǎn)的線是一條過原點(diǎn)的直線，在所示。連接點(diǎn)的線是一條過原點(diǎn)的直線，在 實(shí)際的實(shí)際的D/A轉(zhuǎn)換器中，連接點(diǎn)的線可能偏離理想情形，轉(zhuǎn)換器中，連接點(diǎn)的線可能偏離理想情形， 一些典型的偏離是偏移誤差、增益誤差和輸入輸出中一些典型的偏離是偏移誤差、增益誤差和輸入輸出中 的非線性特性等，圖的非線性特性等，圖6.3.7說明了這些類型的誤差。說明了這些類