第四章穩(wěn)定性分析——勞斯判據(jù)(4-1)

1、1 上海交通大學自動化系 田作華 ZZ 2 第一節(jié)第一節(jié) 穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念 一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如果一個線性定常系統(tǒng)在擾動作用消失后，能如果一個線性定常系統(tǒng)在擾動作用消失后，能 夠恢復到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應夠恢復到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應 是收斂的，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。是收斂的，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 反之，若系統(tǒng)不能恢復到原始的平衡狀態(tài)，反之，若系統(tǒng)不能恢復到原始的平衡狀態(tài)， 即系統(tǒng)的零輸入響應具有等幅震蕩或發(fā)散性質，即系統(tǒng)的零輸入響應具有等幅震蕩或發(fā)散性質， 則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 3 例：例： 穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng) 不穩(wěn)定系統(tǒng)

2、不穩(wěn)定系統(tǒng) 定義表明：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自定義表明：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自 身的固有特性，而與外界條件無關。身的固有特性，而與外界條件無關。 設系統(tǒng)在初始條件為零，輸入為單位脈沖函設系統(tǒng)在初始條件為零，輸入為單位脈沖函 數(shù)，即數(shù)，即R（S）=1。當當t0時，時， =0，這相當于系，這相當于系 統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點 的問題。若時，這時系統(tǒng)的輸出為脈沖響應的問題。若時，這時系統(tǒng)的輸出為脈沖響應 即輸出增量收斂于原平衡工作點，線性系統(tǒng)穩(wěn)定即輸出增量收斂于原平衡工作點，線性系統(tǒng)穩(wěn)定 。 )(t 0)( lim tc

3、t 4 二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 設閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 令 為系統(tǒng)特征方程 的根，而 彼此不等。干擾為理想脈沖函數(shù)： 則 )( )( )( )( )( 01 1 1 01 1 1 sD sB asasasa bsbsbsb sR sC s n n n n m m m m )(nm ni, 2 , 1 0)(sD r j jjjj jj k i i i jsjs s ps c sD sB sR sD sB sC 11 )()( )( )( )( )( )( )( nrk 2 )sincos()( 11 tBtAeectc jjjj r j t k i tp i j i )0( t i p 1)

4、(sR 5 上式表明：上式表明： 1。當且僅當系統(tǒng)的特征根全部具有負實部（和均小于。當且僅當系統(tǒng)的特征根全部具有負實部（和均小于 零），即特征根的位置分布在零），即特征根的位置分布在S平面的左半部時，才能成平面的左半部時，才能成 立，此時系統(tǒng)在擾動消失后能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則系立，此時系統(tǒng)在擾動消失后能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則系 統(tǒng)是穩(wěn)定的。統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2。若特征根中有一個或一個以上正實部根，即根的位。若特征根中有一個或一個以上正實部根，即根的位 置分布在置分布在S平面的右半部，則，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；平面的右半部，則，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定； 3。若特征根中具有一個或一個以上實部的根為零（虛。若特

5、征根中具有一個或一個以上實部的根為零（虛 根），即根的位置正好分布在根），即根的位置正好分布在S平面的虛軸上，而其余的根平面的虛軸上，而其余的根 均位于均位于S平面的左半部，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，輸出平面的左半部，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，輸出 呈等幅振蕩，系統(tǒng)在擾動信號消失后也不能恢復到原來的平呈等幅振蕩，系統(tǒng)在擾動信號消失后也不能恢復到原來的平 衡位置，按照穩(wěn)定性定義，也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。衡位置，按照穩(wěn)定性定義，也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。 6 結論：結論： 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具 有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函

6、數(shù)的有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的 極點均分布在平面的左半部。極點均分布在平面的左半部。 7 系統(tǒng)是否穩(wěn)定 特征方程根的分布 方程的系數(shù) 。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)特征方程的系數(shù) 來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性的一種判據(jù)，它避免 了直接求特征方程根的繁瑣過程。勞斯穩(wěn) 定判據(jù)一般簡稱為勞斯判據(jù)。 8 設 線性系統(tǒng)的特征方程為： 由代數(shù)知識可知：方程的所有根均分布 在左半平面的必要條件必要條件是： 特征方程所有系數(shù)均為正數(shù)。特征方程所有系數(shù)均為正數(shù)。(若均為負數(shù)， 方程兩邊同乘以-1，使之也變?yōu)檎龜?shù))，即 若特征方程中任一系數(shù)為負或缺項（系 數(shù)為零），則可斷定此系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 ) 1 , 0 ( , 0

7、n i a i 0 0 1 1 1 a s a S a s a n n n n 9 1勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 應用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性步驟：應用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性步驟： 第一步：將特征方程式第一步：將特征方程式 的系數(shù)按下列規(guī)則排成兩行，即的系數(shù)按下列規(guī)則排成兩行，即 第二步：建立勞斯表（又叫勞斯陣列）。第二步：建立勞斯表（又叫勞斯陣列）。 例：五階系統(tǒng)，其特征方程：例：五階系統(tǒng)，其特征方程： 0 0 1 1 1 a s a S a s a n n n n 4 2 , , n n n a a a 5 3 1 , , n n n a a a 0 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 a s

8、 a s a s a s a s a 10 第三步：根據(jù)勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 勞斯判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 勞斯表中第一列各值為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表勞斯表中第一列各值為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表 中第一列出現(xiàn)負值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且實部為正（即中第一列出現(xiàn)負值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且實部為正（即 分布在平面右半部）的根的數(shù)目，等于勞斯表中第一分布在平面右半部）的根的數(shù)目，等于勞斯表中第一 列系數(shù)符號改變的次數(shù)。列系數(shù)符號改變的次數(shù)。 00 0 00 0 0 0 2 1 21 1 0 1 2121 1 1 0 1 01 2 1 2421 1 2 4 0514 2 4 2534 1 3 0

9、24 4 135 5 B C BC Ds B BAAB Cs a A aA B A AaaA Bs a aaaa A a aaaa As aaas aaas 11 l例：例：系統(tǒng)的特征方程： 試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。 解：解：列出勞斯表 勞斯表中第一列元素無符號變化，說明該 系統(tǒng)特征方程沒有正實部根，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 0617177 234 ssss 006 0012.14 0657.14 0177 6171 0 1 2 3 4 s s s s s 12 例：例：系統(tǒng)的特征方程為： 試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。 解解: 列出勞斯表 因為勞斯表中第一列元素的符號變化兩次，說明 該系統(tǒng)有兩個特征方程

10、的根在右半s平面，所以系統(tǒng) 不穩(wěn)定。 050104 23 sss 050 05 . 2 504 101 0 1 2 3 s s s s 13 2勞斯判據(jù)的兩種特殊情況 （1）勞斯表中某一行第一項元素為零，其余項不為零 或不全為零，此時，用一個任意小的正數(shù) 代替 這個零，然后按通常的規(guī)則繼續(xù)完成勞斯表中其余 各項元素的計算。如果零（ ）上面這項系數(shù)符號 與零（ ）下面這項系數(shù)符號相反，表明這里有一 個符號變化。 例：例：特征方程如下： 試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。 解：解：列出勞斯表 01255 2345 sssss 14 勞斯表中第一列元素符號的變化兩次， 說明特征方程有兩個正實部的根，所以系統(tǒng)

11、不 穩(wěn)定。 0 0 1 0 0 1 5 1 5 0 1 1 5 0 1 ) ( 0 1 5 1 2 5 1 0 2 1 2 3 4 5 s s s s s s 0 15 0 15 15 2 15 （2）某一行元素全為零 在勞斯表中，如果出現(xiàn)某一行元素全為零， 說明特征方程存在大小相等符號相反的實根 和（或）共軛虛根，或者共軛復根。 此時，可用全零行上面一行的元素構造 一個輔助方程，利用輔助方程對s的求導后得 到的方程系數(shù)代替全零行的元素，然后再按 通常的規(guī)則完成勞斯表中其余各項元素的計 算。輔助方程的次數(shù)總是偶數(shù)，所有那些數(shù) 值相同符號相異的根都可由輔助方程求得。 16 例例 系統(tǒng)特征方程為：

12、 試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。 解：解：列出勞斯表 勞斯表中 行元素全為零，這時可用全零行上面一 行（ 行）的元素構造一個輔助方程： 將輔助方程A(s)對變量 s 求導，得 新方程，并用 新方程的系數(shù)代替全零行的元素。 01616 23 sss 016 0)2(0 161 161 0 1 2 3 s s s s 1 s 2 s 016)( 2 ssA 02 s 17 求解輔助方程A(s)=0得到 說明此特征方程有一對共軛根分布在虛軸上系統(tǒng)處 于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 3勞斯判據(jù)的應用 勞斯判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 問題： 1。這種判據(jù)并不能指出如何使系統(tǒng)達到穩(wěn)定。 2。如果采用勞斯表判別出的系統(tǒng)是

13、穩(wěn)定的，它 也不能表明系統(tǒng)一定具備滿意的動態(tài)響應。即：勞 斯判據(jù)不能表征特征方程在左半面的根相對于虛軸 的距離。 js4 2, 1 18 例：例： 確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K、T值。 解解: 系統(tǒng)的特征方程為 列出勞斯表 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，第一列元素的符號均應大于零 由此得： 1。 即： 2。 (1) (1)(21) K s s Tss ( )R s( )C s 0) 1()2(2 23 KsKsTTs , 02 , 0TK 02) 1)(2(TKKT 1 ) 1(2 K K T 0 0 2 2) 1)(2( 2 12 0 1 2 3 Ks T TKKT s KTs KTs 0T 19 則穩(wěn)定條件為： , 0 K 0T 2 2 T T K T0 2 2 4 46 6 8 2 2 T K T 系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域 20 l例：例：設系統(tǒng)特征方程為： 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并分析有幾個根位于垂線 與虛軸之間。 解：解：列出勞斯表 因勞斯表中第一列元素無符號變化，所以系統(tǒng)穩(wěn)