北交大激光原理 第4章 高斯光束部分-final

1、第四章 高斯光束理論一、 學(xué)習(xí)要求與重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)要求1 掌握高斯光束的描述參數(shù)以及傳輸特性；2 理解q參數(shù)的引入，掌握q參數(shù)的ABCD定律；3 掌握薄透鏡對高斯光束的變換；4 了解高斯光束的自再現(xiàn)變換，及其對球面腔穩(wěn)定條件的推導(dǎo)；5 理解高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直條件；6 了解諧振腔的模式匹配方法。重點(diǎn)1. 高斯光束的傳輸特性；2. q參數(shù)的引入；3. q參數(shù)的ABCD定律；4. 薄透鏡對高斯光束的變換；5. 高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直條件；6. 諧振腔的模式匹配方法。難點(diǎn)1. q參數(shù)，及其ABCD定律；2. 薄透鏡對高斯光束的變換；3. 諧振腔的模式匹配。二、知識點(diǎn)總結(jié)三、典型問題的分析思路1高斯光束基

2、本性質(zhì)和特征參數(shù)的問題。此類問題只涉及高斯光束在自由空間傳輸，不通過其它光學(xué)系統(tǒng)。解此類問題比較簡單，根據(jù)已知特征參數(shù)，高斯光束的結(jié)構(gòu)完全確定，就可以知道任意位置處的光斑尺寸、等相位面曲率半徑、q參數(shù)及發(fā)散角等。光斑半徑 等相位面曲率半徑 高斯光束的q參數(shù)在自由空間中的傳輸規(guī)律基模高斯光束強(qiáng)度的1/e2點(diǎn)的遠(yuǎn)場發(fā)散角2高斯光束傳輸規(guī)律問題。這類問題主要討論高斯光束經(jīng)過某一光學(xué)系統(tǒng)的傳輸問題，包括高斯光束的聚焦，高斯光束的準(zhǔn)直和高斯光束的模匹配。此類問題的實(shí)質(zhì)是，通過任意光學(xué)系統(tǒng)追蹤高斯光束的q參數(shù)值。首先要計(jì)算傍軸光線通過該系統(tǒng)的變換矩陣求出某位置處的q(z)光束的曲率半徑R(z)和光斑大小w

3、(z)。1）高斯光束通過單個(gè)透鏡的變換。已知入射高斯光束的腰斑半徑和位置，求出射高斯光束的腰斑半徑和位置。求解這類問題的方法是根據(jù)傍軸光線通過該系統(tǒng)（透鏡）的變換矩陣，在透鏡左端入射高斯光束的q參數(shù)，求出經(jīng)過此光學(xué)系統(tǒng)變換后的q參數(shù)，然后得到出射高斯光束的腰斑半徑和位置。出射高斯光束的腰斑半徑和位置2）高斯光束通過雙透鏡的變換。首先求出高斯光束通過第一個(gè)透鏡后，出射高斯光束的腰斑半徑和位置，然后將第一個(gè)透鏡的出射光束看成是第二個(gè)透鏡的入射光束，再重復(fù)利用公式計(jì)算經(jīng)過第二個(gè)透鏡后，出射高斯光束的腰斑半徑和位置。3）高斯光束的聚焦(1) F f 要使 要求即才能聚焦如果 不能聚焦(2). F 一定

4、時(shí)良好的聚焦效果：使用短焦距透鏡；光腰遠(yuǎn)離透鏡；雙透鏡聚焦4）高斯光束的準(zhǔn)直a. 單透鏡對高斯光束發(fā)散角的影響物高斯光束的發(fā)散角為 像高斯光束的發(fā)散角為 當(dāng)時(shí)，達(dá)到極大值在時(shí)， 越大， 越小，像高斯光束的方向性越好。b. 利用望遠(yuǎn)鏡將高斯光束準(zhǔn)直方法：先用一個(gè)短焦距的透鏡將高斯光束聚焦，獲得極小的腰斑，然后用一個(gè)長焦距的透鏡來改善其方向性，可得到很好的準(zhǔn)直效果。經(jīng)過第二個(gè)透鏡后高斯光束的發(fā)散角可以看出，所以要使 增大當(dāng) 時(shí), 最大。所以第二個(gè)透鏡的焦距要盡可能的大,而且要盡可能的小，這就要求，這時(shí)光腰幾乎落在焦平面上, 組成一倒裝望遠(yuǎn)鏡。準(zhǔn)直倍率(發(fā)散角壓縮比) 5）高斯光束的模式匹配模式匹配

5、是使一個(gè)諧振腔的振蕩模式經(jīng)透鏡變換后能在另一個(gè)諧振腔激發(fā)出相同的模式。 問題實(shí)質(zhì)是透鏡變換。分兩種情況：一種是已知w0 ，w0 ，確定透鏡焦距（F）及透鏡的距離 l， l（即兩腔的相對位置）。根據(jù)物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透鏡的距離所滿足的公式，其中當(dāng)并確定時(shí)，可求得 第二種情況是兩腔相對位置固定 (即兩光腰之間的距離) 及w0, w0確定，為了實(shí)現(xiàn)模匹配, F 如何選擇。 將上面兩式相加，根據(jù)，得到其中，設(shè)，上面方程變?yōu)楦鶕?jù)此式可求的焦距F。四、思考題1. 高斯光束最多需要幾個(gè)獨(dú)立參數(shù)來描寫？2. 認(rèn)為描述激光束最重要的一個(gè)參數(shù)是什么，為什么？3. 何使單透鏡對激光束的聚焦效

6、果最好？4. 對激光束聚焦的單透鏡應(yīng)如何選?。?. 如何才能使激光束準(zhǔn)直效果最好？6. 聚焦、打孔及準(zhǔn)直是高斯光束常見的應(yīng)用問題，如何取得最佳工作條件？7. 如何加入第二束共線共焦UV激光？(30分)8. 試說明發(fā)散角和球面光波束張角的區(qū)別。五、練習(xí)題1波長為的高斯光束入射到位于（圖3.1）處的透鏡上，為了使出射高斯光束的光腰剛好落在樣品的表面上（樣品表面距透鏡L），透鏡的焦距應(yīng)為多少？畫出解的簡圖。圖3.12. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面鏡的曲率半徑，腔長。求出它所產(chǎn)生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦參數(shù)及發(fā)散角。3. 某高斯光束光腰大小為，波長。求與腰相距30，10，1處光斑的大小及

7、波前曲率半徑。4. 求出上題所給出的個(gè)高斯光束的發(fā)散角。用計(jì)算來回答下述問題：在什么條件下可以將高斯光束近似地看作曲率中心在光腰處的球面波？即在什么條件下可以用公式和公式來計(jì)算高斯光束的光斑大小的波前曲率半徑？5. 某高斯光束的，。另用的凸透鏡來聚焦。當(dāng)光腰與透鏡距離分別為、0時(shí)，出射高斯光束的光腰大小和位置各為多少？分析所得的結(jié)果。6. 已知高斯光束的，。試求：（1）光腰處；（2）與光腰相距30處；（3）無窮遠(yuǎn)處的復(fù)參數(shù)值。7. 兩支氦氖激光器的結(jié)構(gòu)及相對位置如圖3.3所示，求在什么位置插入一焦距為多大的透鏡才能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)腔之間的模匹配？圖3.38. 從腔長為1，反射鏡曲率半徑為2的對稱腔中輸

8、出的高斯光束入射到腔長為5，曲率半徑為10的干涉儀中去，兩腔長相距50，為得到模匹配，應(yīng)把焦距為多大的透鏡放置在何處？9. 某高斯光束的，今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直，如圖3.4所示，主鏡用鍍金全反射鏡：，口徑為；副鏡為一鍺透鏡：，口徑為，高斯光束的束腰與副鏡相距，求以下兩種情況望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對高斯光束的準(zhǔn)直倍率：（1）兩鏡的焦點(diǎn)重合；（2）從副鏡出射的光腰剛好落在主鏡的焦平面。圖3.410. 月球距地球表面，使用波長的激光束照射月球表面。當(dāng)（1）光束發(fā)散角為；（2）光束發(fā)散角為時(shí)，月球表面被照亮的面積為多少？兩種情況下，光腰半徑各為多少？11. 一高斯光束的光腰半徑，波長，從距離透鏡為的地方垂直入射到焦

9、距為的透鏡上。求：（1），（2）時(shí)，出射光束的光腰位置和光束發(fā)散角。12一染料激光器輸出激光器的波長，光腰半徑為。使用焦距為的凸透鏡對其聚焦，入射光腰到透鏡的距離為。問：離透鏡處的出射光斑為多大？ 13. 一高斯光束的光腰半徑為，腰斑與焦距為的薄透鏡相距為，經(jīng)透鏡變換后傳輸距離，又經(jīng)一折射率為，長為的透明介質(zhì)后輸出，如圖3.5所示。求：（1）高斯光束在介質(zhì)出射面處的參數(shù)和光斑半徑。（2）若介質(zhì)移到薄透鏡處，即（不考慮可能存在的間隙），求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角。圖3.514. 如圖3.6所示，波長的釹玻璃激光器的全反射鏡的曲率半徑，距全反射鏡處放置長為的釹玻璃棒，其折射率為。棒的一端直接鍍上半

10、反射膜作為腔的輸出端。（1）進(jìn)行腔的穩(wěn)定性判別；（2）求輸出光斑的大?。唬?）若輸出端剛好位于的透鏡的焦平面上，求透鏡聚焦后的光腰大小和位置。圖3.613、某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面鏡的R=2m，腔長L=1m。試給出它所產(chǎn)生的高斯光束的束腰斑半徑的大小和位置、該高斯光束的及的大小。14、某高斯光束束腰斑大小為=1.14mm，。求與束腰相距30cm、10m、1000m遠(yuǎn)處的光斑半徑及波前曲率半徑。15、若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰相距30cm處的q參數(shù)值，以及在與束腰相距無窮遠(yuǎn)處q的值。16、某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的鍺透鏡聚焦，當(dāng)束腰與

11、透鏡的距離為、0時(shí)，求焦斑大小和位置，并分析所得結(jié)果。17、二氧化碳激光器輸出光，用一的凸透鏡來聚焦，求欲得到及時(shí)透鏡應(yīng)放在什么位置。18、如圖2.2光學(xué)系統(tǒng)，入射光，求及。圖2.219、某高斯光束=1.2mm，。今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用鍍金反射鏡R=1cm，口徑為20cm；副鏡為一鍺透鏡，口徑為1.5cm；高斯光束束腰與透鏡相距，如圖2.3所示。求該望遠(yuǎn)系統(tǒng)對高斯光束的準(zhǔn)直倍率。20、激光器的諧振腔由兩個(gè)相同的凹面鏡組成，它出射波長為的基模高斯光束，今給定功率計(jì)，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束共焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。21、已知一二氧化碳激光諧振腔由兩個(gè)凹面鏡組成，。

12、如何選擇高斯束腰斑的大小和位置才能使它成為該諧振腔中的自在現(xiàn)光束？22、（1）用焦距為F的薄透鏡對波長為、束腰半徑為的高斯光束進(jìn)行變換，并使變換后的高斯光束的束腰半徑（此稱為高斯光束的聚焦），在和兩種情況下，如何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離？（2）在聚焦過程中，如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離不能改變，如何選擇透鏡的焦距F？23、試由自在現(xiàn)變換的定義式（2.12.2）用參數(shù)法來推導(dǎo)出自在現(xiàn)變換條件式（2.12.3）。24、試證明在一般穩(wěn)定腔（，）中，其高斯模在腔鏡面處的兩個(gè)等相位面的曲率半徑必分別等于各該鏡面的曲率半徑。25、試從式（2.14.12）導(dǎo)出式（2.14.13），并證明對雙凸腔。

13、26、試計(jì)算，的虛共焦腔的。若想保持不變并從凹面鏡端單端輸出，應(yīng)如何選擇？反之，若想保持不變并從凸面鏡端單端輸出，應(yīng)如何選擇？在這兩種單端輸出的條件下，各為多大？題中為鏡的橫截面半徑，為其曲率半徑，、的意義類似。六、部分答案1. 高斯光束最多需要幾個(gè)獨(dú)立參數(shù)來描寫？解答：兩個(gè)。2. 認(rèn)為描述激光束最重要的一個(gè)參數(shù)是什么，為什么？解答：激光束最重要的一個(gè)參數(shù)是q參數(shù)，因?yàn)樗饕獩Q定了高斯光束的場分布和傳輸特點(diǎn)。3. 何使單透鏡對激光束的聚焦效果最好？解答：(1) F f 要使 要求即才能聚焦如果 不能聚焦F 一定時(shí)4. 對激光束聚焦的單透鏡應(yīng)如何選取？解答：使用短焦距透鏡；光腰遠(yuǎn)離透鏡。5. 如

14、何才能使激光束準(zhǔn)直效果最好？解答：先用一個(gè)短焦距的透鏡將高斯光束聚焦，獲得極小的腰斑，然后用一個(gè)長焦距的透鏡來改善其方向性，經(jīng)過短透鏡的出射光束聚在長焦距透鏡的焦點(diǎn)上。這樣可獲得很好的準(zhǔn)直效果。6. 聚焦、打孔及準(zhǔn)直是高斯光束常見的應(yīng)用問題，如何取得最佳工作條件？解答：7. 如何加入第二束共線共焦UV激光？(30分)解答：8. 試說明發(fā)散角和球面光波束張角的區(qū)別。9. 波長為的高斯光束入射到位于（圖3.1）處的透鏡上，為了使出射高斯光束的光腰剛好落在樣品的表面上（樣品表面距透鏡L），透鏡的焦距應(yīng)為多少？畫出解的簡圖。圖3.1解答：如圖由 得：將代入上式得：讓實(shí)部和虛部對應(yīng)相等得到：進(jìn)而得到：將

15、代入上式可求出2. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面鏡的曲率半徑，腔長。求出它所產(chǎn)生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦參數(shù)及發(fā)散角。解：由，可得由，可得3. 某高斯光束光腰大小為，波長。求與腰相距30，10，1處光斑的大小及波前曲率半徑。解答：當(dāng)z=30 cm時(shí)，當(dāng)z=10 m時(shí)，當(dāng)z=1000 m時(shí)，4. 求出上題所給出的個(gè)高斯光束的發(fā)散角。用計(jì)算來回答下述問題：在什么條件下可以將高斯光束近似地看作曲率中心在光腰處的球面波？即在什么條件下可以用公式和公式來計(jì)算高斯光束的光斑大小的波前曲率半徑？解答：當(dāng)時(shí)5. 某高斯光束的，。另用的凸透鏡來聚焦。當(dāng)光腰與透鏡距離分別為、0時(shí)，出射高斯光束的光腰大

16、小和位置各為多少？分析所得的結(jié)果。解答：根據(jù) 當(dāng)z=10 m時(shí)， 當(dāng)z=1 m時(shí)，當(dāng)z=0 m時(shí)，6. 已知高斯光束的，。試求：（1）光腰處；（2）與光腰相距30處；（3）無窮遠(yuǎn)處的復(fù)參數(shù)值。解答：由公式，代入數(shù)值得7. 兩支氦氖激光器的結(jié)構(gòu)及相對位置如圖3.3所示，求在什么位置插入一焦距為多大的透鏡才能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)腔之間的模匹配？圖3.3解答：根據(jù)等相位面曲率半徑為當(dāng)時(shí)，等相位面曲率半徑，由上式得利用得到同理, 根據(jù)高斯光束得模匹配公式有解得 8. 從腔長為1，反射鏡曲率半徑為2的對稱腔中輸出的高斯光束入射到腔長為5，曲率半徑為10的干涉儀中去，兩腔長相距50，為得到模匹配，應(yīng)把焦距為多大的透鏡

17、放置在何處？解答： 9. 某高斯光束的，今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直，如圖3.4所示，主鏡用鍍金全反射鏡：，口徑為；副鏡為一鍺透鏡：，口徑為，高斯光束的束腰與副鏡相距，求以下兩種情況望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對高斯光束的準(zhǔn)直倍率：（1）兩鏡的焦點(diǎn)重合；（2）從副鏡出射的光腰剛好落在主鏡的焦平面。圖3.4解答：，主鏡上的光斑尺寸超過鏡面尺寸，考慮衍射，10. 月球距地球表面，使用波長的激光束照射月球表面。當(dāng)（1）光束發(fā)散角為；（2）光束發(fā)散角為時(shí)，月球表面被照亮的面積為多少？兩種情況下，光腰半徑各為多少？解答：根據(jù)光斑尺寸為 光束發(fā)散角為得到，將其代入光斑尺寸公式得于是有（1）當(dāng)時(shí)光腰半徑為月球表面被照亮的面積為（2）

18、當(dāng)時(shí)光腰半徑為月球表面被照亮的面積為11. 一高斯光束的光腰半徑，波長，從距離透鏡為的地方垂直入射到焦距為的透鏡上。求：（1），（2）時(shí)，出射光束的光腰位置和光束發(fā)散角。解答：出射高斯光束束腰處光斑半徑為 12一染料激光器輸出激光器的波長，光腰半徑為。使用焦距為的凸透鏡對其聚焦，入射光腰到透鏡的距離為。問：離透鏡處的出射光斑為多大？ 解答：出射高斯光束束腰處光斑半徑和光腰距透鏡的距離為 出射高斯光束距束腰距離為z處的光斑尺寸為計(jì)算得到 13. 一高斯光束的光腰半徑為，腰斑與焦距為的薄透鏡相距為，經(jīng)透鏡變換后傳輸距離，又經(jīng)一折射率為，長為的透明介質(zhì)后輸出，如圖3.5所示。求：（1）高斯光束在介質(zhì)

19、出射面處的參數(shù)和光斑半徑。（2）若介質(zhì)移到薄透鏡處，即（不考慮可能存在的間隙），求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角。圖3.5解：(1) 高斯光束束腰所經(jīng)歷的光器件矩陣：由ABCD定律得高斯光束在介質(zhì)出射面處的參數(shù)：光斑半徑：(2) 高斯光束束腰所經(jīng)歷的光器件矩陣：由ABCD定律得高斯光束在介質(zhì)出射面處的參數(shù)：新束腰處參數(shù)：新束腰：輸出高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角：14. 如圖3.6所示，波長的釹玻璃激光器的全反射鏡的曲率半徑，距全反射鏡處放置長為的釹玻璃棒，其折射率為。棒的一端直接鍍上半反射膜作為腔的輸出端。（1）進(jìn)行腔的穩(wěn)定性判別；（2）求輸出光斑的大?。唬?）若輸出端剛好位于的透鏡的焦平面上，求透鏡聚焦后

20、的光腰大小和位置。圖3.6解： 13、某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面鏡的R=2m，腔長L=1m。試給出它所產(chǎn)生的高斯光束的束腰斑半徑的大小和位置、該高斯光束的及的大小。解： ，則，可見束腰的位置在平面鏡上。，14、某高斯光束束腰斑大小為=1.14mm，。求與束腰相距30cm、10m、1000m遠(yuǎn)處的光斑半徑及波前曲率半徑。解：， 把z=30cm、10m、1000m分別代入上面兩式中，得到分別為，分別為， ，15、若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰相距30cm處的q參數(shù)值，以及在與束腰相距無窮遠(yuǎn)處q的值。解：，把，代入上式中得到束腰處z=0，無窮遠(yuǎn)處，處，16、某

21、高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的鍺透鏡聚焦，當(dāng)束腰與透鏡的距離為、0時(shí)，求焦斑大小和位置，并分析所得結(jié)果。解：高斯光束束腰變換關(guān)系，當(dāng)、0時(shí)，可分別得到17、二氧化碳激光器輸出光，用一的凸透鏡來聚焦，求欲得到及時(shí)透鏡應(yīng)放在什么位置。解：由公式，可得到當(dāng)及時(shí)，透鏡與束腰之間的距離分別為1.96cm及-3.85mm。18、如圖2.2光學(xué)系統(tǒng)，入射光，求及。圖2.2解：由以及可分別得到經(jīng)透鏡之后高斯光束的束腰半徑及其到的距離到透鏡的距離再由，即可得到19、某高斯光束=1.2mm，。今用一望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用鍍金反射鏡R=1cm，口徑為20cm；副鏡為一鍺透鏡，口徑為1.5cm；高斯光束束腰與透鏡相距，如圖2.3所示。求該望遠(yuǎn)系統(tǒng)對高斯光束的準(zhǔn)直倍率。解：準(zhǔn)直倍率其中，代回式中得到20、激光器的諧振腔由兩個(gè)相同的凹面鏡組成，它出射波長為的基模高斯光束，今給定功率計(jì)，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束共焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。21、已知一二氧化碳激光諧振腔由兩個(gè)凹面鏡組成，。如何選