132函數(shù)的奇偶性

1、 課題導(dǎo)入課題導(dǎo)入 觀察它們有什么樣的特征？觀察它們有什么樣的特征？ 我們發(fā)現(xiàn)上面幾個圖形和函數(shù)圖象都具有對稱性，我們發(fā)現(xiàn)上面幾個圖形和函數(shù)圖象都具有對稱性， 有的關(guān)于直線對稱，有的關(guān)于某點對稱，那么在我有的關(guān)于直線對稱，有的關(guān)于某點對稱，那么在我 們數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，我們會研究函數(shù)圖象的某些對稱性！們數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，我們會研究函數(shù)圖象的某些對稱性！ o 3-2 2 21-1 1 3 2 f(x) = x 觀察下圖圖像有什么共同的特征呢？觀察下圖圖像有什么共同的特征呢？ o 3-2 2 21-1 1 3 f(x) = x 這兩個函數(shù)的圖像這兩個函數(shù)的圖像 都關(guān)于都關(guān)于y軸對稱軸對稱 f(x)=x2 x-

2、3-2-10123 0149149 相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特點的呢？相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特點的呢？ x -3-2-10123 0123123 f(x) = x 由此得到由此得到f(-x)=(-x)2=x2 ，即，即f(-x)=f(x) 由此得到由此得到 ，即，即f(-x)=f(x)f(-x) = -x = f(x) 從從函數(shù)值對應(yīng)表可以看到互為相反數(shù)的點的函數(shù)值對應(yīng)表可以看到互為相反數(shù)的點的 縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 即相應(yīng)兩個函數(shù)值相同即相應(yīng)兩個函數(shù)值相同 對于對于R內(nèi)任意的一個內(nèi)任意的一個x，都有，都有f(-x)=(-x)2=x2 =f(x)，這時

3、我們稱函數(shù)，這時我們稱函數(shù)f(x)=x2 為為偶函數(shù)偶函數(shù). 函數(shù)的奇偶性的定義函數(shù)的奇偶性的定義 一般地，如果對于函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域的定義域 內(nèi)的任意一個內(nèi)的任意一個x，都有，都有f(-x)=f(x),那么稱函那么稱函 數(shù)數(shù)y=f(x)偶函數(shù)偶函數(shù). o 3-2 2 21-1 1 3 -1 -2 -3 3 f(x) = x 觀察下圖圖像有什么共同的特征呢？觀察下圖圖像有什么共同的特征呢？ o 3-2 2 21-1 1 3 -1 -2 -3 f(x)=x 兩個函數(shù)的圖像都兩個函數(shù)的圖像都 關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱. f(x)=x x-3-2-10123 0-1-2-312

4、3 f(x)=x3 x-3-2-10123 0-1-8-271827 相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特點的呢？相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特點的呢？ 由此得到由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即，即f(-x)=-f(x). 由此得到由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即即f(-x)=-f(x). 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)也是也是 一對相反數(shù)一對相反數(shù). 從從函數(shù)值對應(yīng)表可以看到互為相反數(shù)的點的函數(shù)值對應(yīng)表可以看到互為相反數(shù)的點的 縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 對于對于R內(nèi)任意的一個內(nèi)任意的一個x，都有

5、，都有f(-x)=-x=-f(x)，這，這 時我們稱函數(shù)時我們稱函數(shù)f(x)=x為為奇函數(shù)奇函數(shù). 函數(shù)的奇偶性的定義函數(shù)的奇偶性的定義 一般地，如果對于函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域的定義域 內(nèi)的任意一個內(nèi)的任意一個x，都有，都有f(-x)=-f(x),那么稱那么稱 函數(shù)函數(shù)y=f(x)奇函數(shù)奇函數(shù). 1、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性， 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)整體性質(zhì). . 2、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性 的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個的一個必

6、要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則，則 x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于 原點對稱）原點對稱） o 3-2 2 21-1 1 3 2 f(x) = x o 3-2 2 21-1 1 3 o 3 -2 2 21 -1 1 3 -2 -3 3 f(x) = x o 3-2 2 21-1 1 3 2 1 f(x)=x f(x) = x 奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì): : 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱. . 反過來反過來, ,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱, , 那么這個函數(shù)為奇函數(shù)那么

7、這個函數(shù)為奇函數(shù). . 偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y y軸對稱軸對稱. . 反過來反過來, ,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y y軸對稱軸對稱, , 那么這個函數(shù)為偶函數(shù)那么這個函數(shù)為偶函數(shù). . 奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于：奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于： 判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性. . 簡化函數(shù)圖象的畫法簡化函數(shù)圖象的畫法. . （1）判斷函數(shù)）判斷函數(shù) 的奇偶性的奇偶性. （2）如圖是函數(shù)）如圖是函數(shù) 圖像的一部分，能圖像的一部分，能 否根據(jù)否根據(jù)f(x)的奇偶性畫出它在的奇偶性畫出它在y 軸左邊的圖像嗎？軸左邊的圖像嗎？ 3 f(x) = x +x 3 f(x) =

8、 x +x y x0 （1）奇函數(shù)）奇函數(shù) （2）根據(jù)奇函數(shù)的圖）根據(jù)奇函數(shù)的圖 像關(guān)于原點對稱像關(guān)于原點對稱 例例1 說出下列函數(shù)的奇偶性說出下列函數(shù)的奇偶性: 偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _ 奇函數(shù)奇函數(shù) f(x)=x -2 _ 偶函數(shù)偶函數(shù) f(x)=x5 _ f(x)=x -3 _ 結(jié)論：一般的，對于形如結(jié)論：一般的，對于形如 f(x)=x n 的函數(shù)，的函數(shù)， 若若n為偶數(shù)，則它為偶函數(shù)為偶數(shù)，則它為偶函數(shù). 若若n為奇數(shù)，則它為奇函數(shù)為奇數(shù)，則它為奇函數(shù). 例例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函

9、數(shù)的奇偶性： 3 ;(1) f(x) = -3x(2) f(x) = x +1; . 2 (3) f(x) =2-x 解：解：(1) 因為因為 所以所以f(x)是是 奇函數(shù)奇函數(shù). 因為因為 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以所以f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù). 因為因為 ，所以，所以f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù). 33 f(-x) = -3(-x) = 3x = -f(x) 2 f(-x) =2-(-x) = f(x) 判斷奇偶性，只需驗證判斷奇偶性，只需驗證 f(x)與與f(-x)之間的關(guān)系之間的關(guān)系. 2 (4)f(x) = -x (x-3,1); ; 20 (5) f(x) =

10、9-x +(x-3) (6)f(x) = 3x-2. 所以就談不上與所以就談不上與f(-3)相等了，由于任意性受破壞。相等了，由于任意性受破壞。 所以它沒有奇偶性所以它沒有奇偶性. （5）函數(shù)的定義域為）函數(shù)的定義域為-3,3),故故f(3)不存在，同上可知不存在，同上可知 函數(shù)沒有奇偶性函數(shù)沒有奇偶性. 故函數(shù)沒有奇偶性故函數(shù)沒有奇偶性. 解：（解：（4）當(dāng)）當(dāng)x=-3時，由于時，由于3-3,1，故，故f(3)不存在，不存在， (6)f(-x) = -3x-2,f(-x)f(x)f(-x)-f(x)且且 定義域關(guān)于原點對定義域關(guān)于原點對 稱是函數(shù)具有奇偶性的稱是函數(shù)具有奇偶性的 必要但不充分

11、條件。必要但不充分條件。 (1) 先求定義域，看是否關(guān)于原點對稱先求定義域，看是否關(guān)于原點對稱. (2) 再判斷再判斷f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立. 用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 例例3：判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)：判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù). (1) f(x) = 5x. 解：解：（1）對于函數(shù)）對于函數(shù)f(x)=5x，其定義域為，其定義域為 （-，+ ） 對于定義域中的每一個對于定義域中的每一個x，都有，都有 f(-x) = -5x = -f(x) 所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)=5x為奇函數(shù)為奇函數(shù). . 2 (2)

12、f(x) = (x-1) （2）對于函數(shù)）對于函數(shù) 的定義域為的定義域為: （-，+ ） 對于定義域中的每一個對于定義域中的每一個x，都有，都有 2 f(x) = (x-1) 22 f(-x) = (-x-1) = (x+1)f(x) 且且 f(-x)-f(x) 所以函數(shù)所以函數(shù) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) (非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)). 2 f(x) = (x-1) . 1 (3)f(x) = x+ x （3）對于函數(shù)）對于函數(shù) 的定義域為的定義域為x x0 對于定義域中的每一個對于定義域中的每一個x，都有，都有 1 f(x) = x+ x 11 f(-x) = -x+

13、= -(x+) = -f(x), -xx 所以函數(shù)所以函數(shù) 是奇函數(shù)是奇函數(shù). 1 f(x) = x+ x (4)f(x) = 3. （4）對于函數(shù)）對于函數(shù)f(x)=3的定義域為的定義域為（-，+ ） 對于定義域中的每一個對于定義域中的每一個x，都有，都有f(-x)=3=f(x)， 所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)=3是偶函數(shù)是偶函數(shù). 奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù) 既奇又偶函數(shù)既奇又偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) （5）f(x)=0. （5）對于函數(shù)）對于函數(shù)f(x)=0的定義域為的定義域為（-，+ ） 對于定義域中的每一個對于定義域中的每一個x，都有，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)，

14、所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)=0既是偶函數(shù)也是奇函數(shù)既是偶函數(shù)也是奇函數(shù). 根據(jù)奇偶性根據(jù)奇偶性, , 函數(shù)可劃分為四類函數(shù)可劃分為四類: : 1.一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b是奇函數(shù)嗎？是奇函數(shù)嗎？ 2.反比例函數(shù)是奇函數(shù)嗎？反比例函數(shù)是奇函數(shù)嗎？ 3.二次函數(shù)一定是定義在二次函數(shù)一定是定義在R上的偶函數(shù)嗎？上的偶函數(shù)嗎？ 4.函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)有沒有影響？函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)有沒有影響？ 5.有沒有函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，請舉有沒有函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，請舉 出一例？出一例？ 6.有沒有一個函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，也請有沒有一個函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，也請 舉出一例？舉出一例？

15、 課后思考一下，做一做吧！課后思考一下，做一做吧！ 例例4 判斷函數(shù)判斷函數(shù) 是否具有奇偶性？是否具有奇偶性？ 32 f(x) = -x +ax 解：當(dāng)解：當(dāng)a=0時，時， 此時函數(shù)此時函數(shù)f(x) 為奇函數(shù)為奇函數(shù). 當(dāng)當(dāng)a0時，時， 此時此時f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定義域內(nèi)恒成立，都不能在定義域內(nèi)恒成立， 即函數(shù)即函數(shù) 既不是奇函數(shù)也不是偶既不是奇函數(shù)也不是偶 函數(shù)函數(shù). 33 f(x) = x ,f(-x) = -x = f(x) 3232 f(x) = x +ax ,f(-x) = -x +ax 32 f(x) = x +ax (a0) 2 x0f x = x

16、 -2x 時時， 2 2 2 2 2 (2) t 0,f -t = -t- 2(-t) f t = -f -t = -t - 2t(t 0) t x f(x) = -x - 2x(x 0) x - 2x(x0) f x = -x - 2x(x 0) 則 將 換 又又 成成 (1) f 1 = -1,f -1 = -f 1 = 1解解： 例例5 已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)是定義在是定義在R上奇函數(shù)，當(dāng)上奇函數(shù)，當(dāng) 求（求（1)f(-1) ； (2)若若t0,求求f(t). 1、兩個定義：對于、兩個定義：對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個定義域內(nèi)的任意一個x, 如果都有如果都有f(x)=-f(x)

17、f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) 如果都有如果都有f(x)=f(x) f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù) 2、兩個性質(zhì)：、兩個性質(zhì)： 一個函數(shù)為奇函數(shù)一個函數(shù)為奇函數(shù) 它的圖象關(guān)于原點對稱它的圖象關(guān)于原點對稱 一個函數(shù)為偶函數(shù)一個函數(shù)為偶函數(shù) 它的圖象關(guān)于它的圖象關(guān)于y軸對稱軸對稱 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 3.判斷函數(shù)奇偶性的步驟和方法：判斷函數(shù)奇偶性的步驟和方法： 先看定義域是否關(guān)于原點對稱，先看定義域是否關(guān)于原點對稱， 然后在找然后在找f(x)與與f(-x)間的關(guān)系間的關(guān)系 4.奇函數(shù)，偶函數(shù)作一些簡單運算后會出現(xiàn)一些規(guī)奇函數(shù)，偶函數(shù)作一些簡單運算后會出現(xiàn)一些規(guī) 律：律： 奇奇+奇奇=奇奇 偶偶+偶偶=偶偶 奇奇

18、X奇奇=偶偶 偶偶X偶偶=偶偶 5.已知函數(shù)性質(zhì)，求其它區(qū)間上函數(shù)的解析式已知函數(shù)性質(zhì)，求其它區(qū)間上函數(shù)的解析式 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 3 f(x) =x 1.判斷函數(shù)判斷函數(shù) 的奇偶性的奇偶性. 解解: 定義域為定義域為R f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù). 33 f(-x) =-x = - x = -f(x) 解解(1) 4-x20 |x+2|1 -2x2 x-1且且x-3 -2x 2且且x -1 定義域為定義域為-2,-1) (-1,2 2.判斷函數(shù)判斷函數(shù) 的奇偶性的奇偶性 （1）求函數(shù)的定義域；）求函數(shù)的定義域； （2）判斷函數(shù)的奇偶性）判斷函數(shù)的奇偶性 2 4-x f(x) = x+2 -1 （2） 22 4-x4-x f(x) = x+2 -1x+1 2 4-(-x) f(-x) =f(x) -x+1 且且f(x) -f(x)，所以說此，所以說此 函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) o