第1章-集合與不等式(初等數(shù)學(xué)教案)20頁(yè)

1、第1章 集合與不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解集合的概念及其表示方法.2. 掌握集合之間的運(yùn)算（子集、真子集、相等、交集、并集、補(bǔ)集）.3. 理解區(qū)間的概念,會(huì)在數(shù)軸上表示區(qū)間.4. 掌握絕對(duì)值不等式、一元二次不等式、分式不等式的解法.5. 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)概念的能力和計(jì)算能力.1.1 集合1.集合的概念集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一.研究集合的數(shù)學(xué)理論稱(chēng)為集合論，它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，是近代許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ). 我們?cè)诔踔芯鸵呀?jīng)接觸到了“集合”一詞,如: “自然數(shù)的集合” ,“有理數(shù)的集合”, “不等式的解集”等. 在數(shù)學(xué)和日常生活中，也經(jīng)常把某些指定的對(duì)象作為一個(gè)整體加以研究，例如：一個(gè)班里

2、的全體學(xué)生；某圖書(shū)館的全部藏書(shū)；所有的直角三角形；與一個(gè)角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)；不等式3的所有解；某工廠金工車(chē)間的所有機(jī)床它們分別是由一些人、書(shū)、圖形、點(diǎn)、數(shù)和機(jī)床組成的一般地，指定的某些對(duì)象的全體稱(chēng)為集合(簡(jiǎn)稱(chēng)為集),用大寫(xiě)字母表示.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素,用小寫(xiě)字母表示.如果是集合的元素，就說(shuō)“屬于集合”，記作 ；如果不是集合的元素，就說(shuō)“不屬于集合”，記作 .某校高一(1) 班全體學(xué)生就構(gòu)成了一個(gè)集合，該校內(nèi)的任一學(xué)生，或者是高一(1) 班的同學(xué)，或者不是，二者必居其一，這一性質(zhì)叫做集合元素的確定性；在書(shū)寫(xiě)高一(1)班全體同學(xué)的名單時(shí)，誰(shuí)寫(xiě)在前面或者后面，不論次序如何，都是

3、高一(1)班全體同學(xué)的名單，這一性質(zhì)叫做集合元素的無(wú)序性；另外，每名同學(xué)的名字，必須寫(xiě)而且只需寫(xiě)一次就可以了，這一性質(zhì)叫做集合元素的互異性. 練一練:判斷下列各組元素能否構(gòu)成一個(gè)集合:(1) 所有愛(ài)唱歌的孩子;(2) 0,1,1,2.2. 常用數(shù)集下面介紹幾種常用數(shù)集的表示符號(hào)：整數(shù)集,記作;自然數(shù)集（即非負(fù)整數(shù)集）, 記作;正整數(shù)集,記作 ; 有理數(shù)集,記作; 實(shí)數(shù)集,記作. 有時(shí)，正實(shí)數(shù)集我們記作，負(fù)有理數(shù)集記作，等等.不含任何元素的集合稱(chēng)為空集，用表示，如的實(shí)數(shù)解的集合3. 集合的表示方法集合的表示方法通常有兩種：列舉法和描述法. 把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi),這種表示集合的

4、方法稱(chēng)為列舉法. 例如：?jiǎn)卧~book中所有字母的集合；大于1而小于10的正整數(shù)所組成的集合等等. 把集合中元素的共同性質(zhì)描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi),這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法.例如：不等式的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，記作；所有三角形的集合記作 究竟用哪種方法表示一個(gè)集合，要視具體情況而定. 例 用列舉法或描述法表示下列集合:(1)大于4而小于17的奇數(shù);(2)某校的所有電腦;(3)一次函數(shù)圖象上的所有點(diǎn).解 (1)用列舉法表示為; (2)用描述法表示為某校的所有電腦;(3)用描述法表示為 或一次函數(shù)圖像上的所有點(diǎn).練一練:用列舉法和描述法表示下列集合:(1)的解集(2) 大于0且小于5的整數(shù)【習(xí)題1

5、.1】1. 判斷下列各組元素能否構(gòu)成一個(gè)集合？(1) 所有長(zhǎng)發(fā)的女生;(2) 0,1，2，2，3，4，52.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝性貥?gòu)成的集合:(1) 方程的所有實(shí)根;(2)大于0的偶數(shù);(3)組成中國(guó)國(guó)旗圖案的顏色;(4)中國(guó)古代的四大發(fā)明.3.用另一種方法表示下列集合:(1)一年的四個(gè)季節(jié); (2);(3); (4) .4.用列舉法和描述法各舉一個(gè)集合的例子.5.下列結(jié)論中不正確的是( ).A.ON; B. Q; C.OQ; D.-1Z.1.2 集合之間的關(guān)系1. 子集觀察下列集合:.可以發(fā)現(xiàn),集合中的每一個(gè)元素都是集合中的元素,對(duì)于集合間的這種關(guān)系,給出下面的定義. 如果集合的任何一個(gè)元

6、素都是集合的元素，那么稱(chēng)集合是集合的子集，記作,讀作包含于(或包含).并規(guī)定: 空集是任何集合的子集，即.因此,任何一個(gè)集合是它本身的子集，即.集合不包含于集合時(shí)，記作.例1 寫(xiě)出集合的所有子集.解 集合的所有子集是: 2. 真子集在集合的所有子集中，除去它本身外，集合中至少有一個(gè)元素不在其余的某個(gè)子集中. 如果集合是集合的子集，且集合中至少有一個(gè)元素不屬于,則稱(chēng)集合是集合的真子集,記作(或),讀作真包含于(或真包含).如文氏圖1-1所示.集合的子集中，除了外，其它子集都是的真子集.顯然,空集是任何非空集合的真子集.練一練: 判斷集合的關(guān)系:(1) 集合,;設(shè)合,.3、集合的相等如果集合與集合

7、的元素完全相同，即，則稱(chēng)集合與集合相等，記作.練一練:對(duì)于集合, ,下列關(guān)系是否成立:, ,?例2 指出下列各組中兩個(gè)集合之間的關(guān)系:(1);(2);(3); 解 (1) ; (2); (3). 例3 討論集合與集合的關(guān)系.解 因?yàn)榧?集合,所以集合是集合的真子集，即.【習(xí)題1.2】1用符號(hào)、=、填空：（1）1 ； （2）0 ； （3）-2 （4） ； （5） ； （6） ； （7）1，2 2，1；（8）3，5 1，3，5；（9）2，4，6，8 2，8；（10） 1，2，3.2圖1-2中A、B、C表示集合，說(shuō)明它們之間的關(guān)系. 圖1-23寫(xiě)出集合1,3,5的所有子集.4設(shè)A=1，3，5，7，

8、9，B=1，2，4，6，寫(xiě)出由A和B的所有元素組成的集合C.5設(shè)A=1，3，5，7，9，B=1，2，3，4，6，8，10，寫(xiě)出由A和B的公共元素組成的集合C.1.3 集合的運(yùn)算1. 交集觀察集合與，容易看出，集合是由集合與的所有公共元素組成的，對(duì)于這樣的集合我們給出如下定義. 定義 由集合與集合的所有公共元素組成的集合，叫做集合與集合的交集(如圖1-3的陰影部分所示)，記作，讀作“交”.即. 由交集的定義及圖1-3可以看出, 既是的子集，也是的子集,即且.另外，交集還有如下性質(zhì)：若，則，反之也成立.例1 設(shè)集合：(1),;(2) ,;(3) ,;(4) ,;(5),;(6),.求.解 (1)

9、;(2) ;(3) ; (6), 如圖1-4所示.2. 并集我們把集合與的元素放在一起，構(gòu)建新的集合,由集合元素的互異性得新的集合為. 它是由所有屬于,或?qū)儆诘脑亟M成的.對(duì)于這樣的集合，我們給出如下定義.定義 由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱(chēng)為集合與集合的并集(如圖1-5的陰影部分所示),記作,讀作并,即.由并集的定義及圖1-5可以看出,集合都是的子集,即,.另外，并集還有如下性質(zhì)：若，則，反之也成立.例2設(shè)集合：(1),;(2) ,;(3) ,;(4) ,;(5) ,.求.解 (1) ;(2) ;(3) ;(5),如圖1-6所示.3. 補(bǔ)集觀察下列三個(gè)集合之間的關(guān)系： 全班同學(xué)

10、, A班上男同學(xué) , B班上女同學(xué). 容易看出,集合B就是在集合I中，去掉集合A的所有元素之后，由余下來(lái)的元素組成的集合.在研究集合之間的關(guān)系時(shí),如果集合I包含我們要研究的各個(gè)集合，則稱(chēng)I為全集. 設(shè)I是全集，A是I的一個(gè)子集（即AI），則由I中所有不屬于A的元素組成的集合，叫作集合A在I中的補(bǔ)集 (如圖1-7所示)，簡(jiǎn)稱(chēng)集合A的補(bǔ)集.記作，讀作“A補(bǔ)”，即.由全集與補(bǔ)集的定義可得：，.例3 設(shè)，,求.解 .例4 設(shè)全集I,求(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) .解 (1) ，;(2) ; (3) ; (4) ;(5) .【習(xí)題1-3】1.設(shè),求.2.設(shè)集合(1)(2)(3),

11、.求, ,.3.設(shè)，A，求.4.若 ,求a值.5.已知A0，2，4， =1，1， =1，0，2，請(qǐng)用列舉法表示集合B.6.設(shè)表示某校全體學(xué)生的集合, 表示該校全體男生的集合, 表示該校全體女生的集合, 表示該校全體教工的集合.(1)、中哪兩個(gè)集合的交集是非空集合？(2)求.(3)求.(4)、中哪些集合是的真子集.1.4 區(qū)間設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且,則:滿(mǎn)足不等式的所有實(shí)數(shù)的集合,叫做由到的閉區(qū)間,記作.滿(mǎn)足不等式的所有實(shí)數(shù)的集合,叫做由到的開(kāi)區(qū)間,記作. 滿(mǎn)足不等式(或)的所有實(shí)數(shù)的集合,叫做由到的半開(kāi)區(qū)間,記作(或). 在這里,實(shí)數(shù)叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn). 上述區(qū)間,統(tǒng)稱(chēng)為有限區(qū)間.滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的集合，

12、分別記作,，這些區(qū)間稱(chēng)為無(wú)限區(qū)間.其中符號(hào)與分別讀做正無(wú)窮大與負(fù)無(wú)窮大.全體實(shí)數(shù)的集合也是無(wú)限區(qū)間,記作. 區(qū)間可以用數(shù)軸上的點(diǎn)集來(lái)表示,其中用實(shí)心點(diǎn)表示端點(diǎn)包括在區(qū)間內(nèi), 用空心點(diǎn)表示端點(diǎn)不包括在區(qū)間內(nèi),如圖1-8所示.無(wú)限區(qū)間也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)集來(lái)表示, 如圖1-9所示. 例1 用區(qū)間表示下列集合:(1); (2). 解 各集合用區(qū)間分別表示為 (1); (2).練一練:用區(qū)間表示下列集合: (1); (2);例2 把下列不等式組的解集用集合、區(qū)間及數(shù)軸上相應(yīng)的點(diǎn)集表示：（1） （2）解 (1)不等式組解集的集合形式為.區(qū)間形式為.數(shù)軸上的點(diǎn)集表示如圖110(1)所示.（2）不等式組解集的

13、集合形式為.區(qū)間形式為.數(shù)軸上的點(diǎn)集表示如圖110(2)所示. 例3 設(shè)集合,求,并用區(qū)間及數(shù)軸上的點(diǎn)集表示.解 .區(qū)間形式為.數(shù)軸上的點(diǎn)集表示如圖111(1)所示. .區(qū)間形式為.數(shù)軸上的點(diǎn)集表示如圖111(2)所示. 今后,我們可以采用不等式、集合、區(qū)間、數(shù)軸上的點(diǎn)集等不同的方法表示數(shù)集.【習(xí)題1-4】1. 用區(qū)間表示下列集合: (1) ; (2) ;(3) ; (4) .2. 把下列不等式組的解集用三種方式集合、區(qū)間及數(shù)軸上點(diǎn)集表示出來(lái)：（1） （2）3. 設(shè)集合,求,并用區(qū)間及數(shù)軸上的點(diǎn)集表示.1.5 絕對(duì)值不等式的解法一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,表示數(shù)軸上與這個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離一個(gè)實(shí)數(shù)的

14、絕對(duì)值記作,是指由所唯一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)，且 下面，我們學(xué)習(xí)絕對(duì)值不等式的解法.依據(jù)絕對(duì)值的定義可知，是數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.從而當(dāng)時(shí)，的解集，是數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)的集合，即（如圖112（1）所示）；的解集，是數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于的點(diǎn)的集合, 即（如圖112（2）所示）.例1 解下列不等式:(1) ; (2). 解 (1) 的解集為; (2) 的解集為.對(duì)于型的不等式，可以把看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化成型不等式來(lái)求解. 例2 解下列不等式,并用區(qū)間表示解集:(1) ; (2).解 (1) 由，得 ,整理得 ,所以原不等式的解集為 .(2) 由 ，得 ,解得 ,所以原不等式的解集為 .【習(xí)

15、題1.5】1. 解下列不等式,將解集表示為集合的形式:(1); (2); (3); (4).2. 解下列不等式,將解集表示為區(qū)間的形式:(1); (2);(2); (4).1.6一元二次不等式的解法形如的不等式稱(chēng)為一元二次不等式.這里，我們利用一元二次函數(shù)的圖像，找出一元二次不等式與一元二次函數(shù)及一元二次方程之間的關(guān)系，進(jìn)而得到求解一元二次不等式的方法.在一元二次函數(shù)中，令，得解得 .觀察函數(shù)的圖像(如圖1-13),可得(1) 當(dāng)時(shí),;(2) 當(dāng)時(shí),;(3) 當(dāng)時(shí),.由此可知(a)一元二次方程有兩個(gè)不同的根;(b)一元二次不等式的解集為;(c) 一元二次不等式的解集為.該例表明,一元二次函數(shù)的

16、圖象與軸的交點(diǎn)，可以確定相應(yīng)的一元二次不等式的解集.練一練:討論：當(dāng)取何值時(shí),下列一元二次函數(shù)的值?(1) (2) （3）下表按一元二次函數(shù)（）的判別式三種情形，給出了一元二次不等式的解集. 的圖象的根的解集的解集(1)(2)(3)無(wú)實(shí)根如果二次項(xiàng)系數(shù)，我們可用(1)乘不等式兩邊，將其變形為二次項(xiàng)系數(shù)為正的情況例1 解下列不等式:(1); (2) .解 (1), 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 . 不等式的解集為;(2) 將不等式變形為.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 .不等式的解集為. 所以，不等式的解集為.例2 解下列不等式:(1); (2) ;(3) ; (4) .解 (1), 方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 .

17、不等式的解集為.(2) ，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根不等式的解集為. (3) , 方程無(wú)實(shí)根. 不等式的解集為.(4) 將不等式變形為. , 方程無(wú)實(shí)根. 不等式的解集為.所以不等式的解集為.【習(xí)題1.6】1. 解下列不等式:(1); (2).2. 解下列不等式:(1); (2); (3); (4).3.某產(chǎn)品的總成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系為,若產(chǎn)品售價(jià)為50元/件,問(wèn)至少銷(xiāo)售多少件才不虧本?4討論當(dāng)取何值時(shí),函數(shù)的值(1) 大于零?(2) 等于零?(3) 小于零?5.取何值時(shí),方程有兩個(gè)不等的實(shí)根?1.7 分式不等式的解法 含有分式的不等式叫做分式不等式.形如的分式不等式，可化為一元二次不等式（或不等式

18、組）來(lái)求解.例1 解下列不等式:(1); (2) .解 (1)不等式等價(jià)于. 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 .所以的解集為.(2)不等式等價(jià)于 .方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 .所以的解集為.例2 解不等式.解 將不等式移項(xiàng)并整理得.這個(gè)不等式等價(jià)于 故不等式的解集為 .【習(xí)題1.7】解下列不等式:(1); (2) ;(3); (4).復(fù)習(xí)題1A組1.用適當(dāng)?shù)姆?hào) “”填空:2. 用另一種方法表示下列集合:（1）; (2);（3）; (4).3.判斷下列各組元素是否構(gòu)成一個(gè)集合？（1）非常小的數(shù); （2）本班興趣廣泛的同學(xué);（3）0與1之間的實(shí)數(shù); (4) 非常漂亮的孩子.4. 寫(xiě)出集合的所有子集和真子集.5. 設(shè)集合.用區(qū)間及數(shù)軸上相應(yīng)的點(diǎn)集表示;(2)求.6. 解下列絕對(duì)值不等式: (1) ; (2) ;(3) ; (4) .7.解下列不等式:(1) ; (2) ; (3); (4) . 8. 解下列不等式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) .B組1. 設(shè)集合，求,.2. 設(shè)集合,求, ，.3. 已知,.如果,求的值.4. 已知，求下列各代數(shù)式的取值范圍:(1); (2) ; (3); (4).5. 用長(zhǎng)的柵欄,一面靠墻圍出一個(gè)矩形的花壇，問(wèn)垂直于墻體的邊長(zhǎng)為多少米時(shí)，花壇的面積不少于?集合理論的創(chuàng)始人是 康托爾（Cantor,G.F.L.P，184519