第二章-連續(xù)小波變換21頁

1、2.2 連續(xù)小波變換的概念與性質(zhì)2.2. l連續(xù)小波變換的概念將任意空間中的函數(shù)在小波基下進行展開，稱這種展開為函數(shù)的連續(xù)小波變換（CWT），其表達式為 （2.9）由CWT定義可知，小波變換與傅里葉變換的相同之處：（1） 一種積分變換。（2） 稱為小波變換系數(shù)。小波變換與傅里葉變換的不同之處：（1） 小波基具有尺度和平移兩個參數(shù)。（2） 函數(shù)在小波基下展開，意味著將一個時間函數(shù)投影到二維的時間尺度相平面上。由于小波基本身所具有的特點，將函數(shù)投影到小波變換域后，有利于提取函數(shù)的某些本質(zhì)特征。從時頻分析角度來看，小波變換具有如下特點：若令則CWT可視作STFT。CWT：任意函數(shù)在某一尺度、平移點上

2、的小波變換系數(shù)，實質(zhì)上表征的是在位置處，時間段上包含在中心頻率為、帶寬為頻窗內(nèi)的頻率分量大小。隨著尺度的變化，對應窗口中心頻率、窗口寬度也發(fā)生變化（根據(jù)式（2.6），（2.7）。STFT：窗口固定不變（即不隨的變化而變化）。二者不同之處：CWT是一種變分辨率的時頻聯(lián)合分析方法。低頻（大尺度），對應大時窗；高頻（小尺度），對應小時窗。舉例說明。信號，在不同時窗下的STFT和CWT的展開系數(shù)圖，如圖2.1所示。與傅里葉基不同，尺度和位移均連續(xù)變化的連續(xù)小波基函數(shù)形成了一組非正交的過度完全基。這意味著其任意函數(shù)的小波展開系數(shù)之間有一個相關關系。若用描述兩個基函數(shù)和的相關度的大小，則 （2.11）表征

3、了連續(xù)尺度、時移半平面(由于所以稱半平面)的兩個不同點之間的CWT系數(shù)的相關關系，也稱它為再生核或重建核（再生和重建的含義是指由尺度平移相平面上的已知點，根據(jù)再生核公式可再生和重構(gòu)出某一點），其結(jié)構(gòu)取決于小波選取。圖2.12.2.2 連續(xù)小波變換的一些性質(zhì)連續(xù)小波變換是一種線性變換，它具有以下幾方面的性質(zhì)：（1）疊加性 設空間，為任意常數(shù)，且的CWT為，且的CWT為，則的CWT為 （2.12）（2）時移不變性設的CWT為，則的CWT為，即延時后的信號的的小波系數(shù)可將原信號的小波系數(shù)在軸上進行同樣時移得到。（3）尺度轉(zhuǎn)換（伸縮共變性）設的CWT為，則的CWT為 （2.13）此性質(zhì)表明，當信號在時

4、域作某一倍數(shù)的伸縮時，其小波變換在軸上也作同一倍數(shù)的伸縮，形狀不變。（4）內(nèi)積定理設空間，它們的CWT分別為，即 則有Moyal定理： （2.14）其中證明 由傅里葉積分的乘積定理可知則有 （2.15） （2.16）由小波函數(shù)定義，則有 （2.17） （2.18）將式（2.18）代入式（2.15），（2.16），再將式（2.15），（2.16）代入式（2.14），并化簡。且 則式（2.14） 左邊= =因為又由于小波函數(shù)滿足可容許性條件（即中括號內(nèi)的積分值存在），其一般情況下我們?nèi)?，所以可容許性條件改為則式（2.14）左邊最后成為左邊=內(nèi)積定理得證。 由上述定理的證明過程得知，內(nèi)積定理的成立是

5、以為條件的。當時，由Moyal公式可推出： （2.19） 由于小波變換幅度平方的積分同信號的能量成正比，我們又稱式（2.14）為能量關系。（5）自相關性：對應不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相關的。（6）冗余性：連續(xù)小波變換把一維信號變換到二維空間，因此在連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度(redundancy)。小波變換的逆變換公式不是唯一的。2.3 連續(xù)小波變換的逆變換2.3.1 連續(xù)小波變換的逆變換（ICWT）任何變換都必須存在逆變換（反變換）才有實際意義。對小波變換而言，我們可證明，若采用的小波滿足可容許性條件（公式2.1），則其逆變換存在。即根據(jù)信號的小波變換系數(shù)

6、可以精確的恢復原信號，并滿足下述連續(xù)小波變換的逆變換公式： （2.20）其中，對提出的容許條件。證明 令，則根據(jù)函數(shù)的采樣特性 并由小波函數(shù)的內(nèi)積定理式（2.14）： = = = = （2.21）也即逆變換公式得證。2.3.2 重建核方程（再生核方程） 尺度及位移均連續(xù)變化的連續(xù)小波基是一種過度完全基，再生核公式（2.11）描述了連續(xù)半平面（其中）上的兩個不同點和之間的CWT系數(shù)的相關關系。實際上這個再生核度量了每個小波基函數(shù)的空間和尺度的選擇性。因此，某些情況下我們可以根據(jù)重建核的結(jié)構(gòu)來選擇最適合于給定問題的小波基。由于任意信號小波變換的值在半平面上是相關的，因此某一點處的小波變換值可以表示

7、成半平面上其他各處小波變換系數(shù)的總貢獻，即 （2.22）式（2.22）稱為重建核方程。證明 由小波變換的定義式及其逆變公式有 （2.23） （2.24）將式（2.24）代入式（2.23）得證畢。由重建核方程可知：（1） 任意一個隨機信號，其連續(xù)小波變換系數(shù)在小波相平面上都有一定的相關關系。相關區(qū)域的大小由再生核給出。隨著尺度的減小，其相關區(qū)域減小，如圖2.9-2.11所示，這說明連續(xù)小波變換是一種冗余度很高的基。（2） 由重建核方程可知，任意函數(shù)的小波變換系數(shù)在域都必須滿足重建核方程。因此，并不是域的任意函數(shù)都可看作是某一函數(shù)的小波變換系數(shù)。2.4 幾種常用的連續(xù)小波基函數(shù)與常用信號的連續(xù)小波

8、變換與標準傅里葉變換相比，小波分析中所用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù)具有多樣性。但小波分析在工程應用中的一個十分重要的問題是最優(yōu)小波基的選擇問題，這是因為用不同的小波基分析同一個問題會產(chǎn)生不同的結(jié)果。目前，主要是通過用小波分析方法處理信號的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來判定小波基的好壞，并由此選定小波基。根據(jù)不同的標準，小波函數(shù)具有不同的類型，這些標準通常有：(1)、和的支撐長度。即當時間或頻率趨向無窮大時，、和從一個有限值收斂到0的速度。(2)對稱性。它在圖像處理中對于避免移相是非常有用的。(3) 和（如果存在的情況下)的消失矩階數(shù)。它對于壓縮是非常有用的。 (4)正則性。它對信號或圖像的重

9、構(gòu)獲得較好的平滑效果是非常有用的。但在眾多小波基函數(shù)(也稱核函數(shù))的家族中，有一些小波函數(shù)被實踐證明是非常有用的。我們可以通過waveinfo函數(shù)獲得工具箱中的小波函數(shù)的主要性質(zhì)，小波函數(shù)和尺度函數(shù)可以通過wavefun函數(shù)計算，濾波器可以通過wfilters函數(shù)產(chǎn)生。在本節(jié)中，我們主要介紹一下MATLAB中常用到的小波函數(shù)。2.4.1 幾種常用的連續(xù)小波基函數(shù)（1）Haar小波Haar函數(shù)是在小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數(shù)，同時也是最簡單的一個函數(shù)，它是非連續(xù)的，類似一個階梯函數(shù)。Haar函數(shù)與下面將要介紹的db1小波函數(shù)是一樣的。Haar函數(shù)的定義為圖2.2尺度函數(shù)為在M

10、ATLAB中，可以輸入命令waveinfo(haar)獲得Haar函數(shù)的一些主要性質(zhì)。如圖2.2所示。 （2）Daubechies(dbN)小波系Daubechies函數(shù)是由世界著名的小波分析學者Ingrid Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，除了db1(即haar小波)外，其他小波沒有明確的表達式，但轉(zhuǎn)換函數(shù)h的平方模是很明確的。dbN函數(shù)是緊支撐標準正交小波，它的出現(xiàn)使離散小波分析成為可能。假設 ，其中，為二項式的系數(shù)，則有其中，幾個結(jié)論：1） 小波函數(shù)和尺度函數(shù)的有效支撐長度為2N1，小波函數(shù)的消失矩階數(shù)為N。2） 大多數(shù)dbN不具有對稱性，對于有些小波函數(shù)，不對稱性是非常明顯的。3）

11、 正則性隨著序號N的增加而增加。4） 函數(shù)具有正交性。我們畫出db4和db8小波的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾波器和重構(gòu)濾波器的圖形，如圖2.3所示。Daubechies小波函數(shù)提供了比Haar組更有效的分析和綜合。Daubechies系中的小波基記為dbN，N為序號，且N1，2，10。在MATLAB中，可以輸入命令waveinfo(db)獲得Daubechies函數(shù)的一些主要性質(zhì)。圖2.3（3）Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函數(shù)系的主要特性體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應用在信號與圖像的重構(gòu)中，通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函數(shù)進行

12、重構(gòu)。眾所周知，如果使用同一個濾波器進行分解和重構(gòu)，對稱性和重構(gòu)的精確性將成為一對矛盾，而采用兩個函數(shù)，將有效地解決這個問題。設函數(shù)用于信號分解，而函數(shù)用于信號重構(gòu)，則分解和重構(gòu)的關系式為其中，另外，與之間具有二元性這樣，利用函數(shù)的特性，在信號分解時可以獲得一些很好的分解性質(zhì)(如振動、零力矩)，而利用的特性，在信號重構(gòu)時又可獲得一些很好的重構(gòu)性質(zhì)(如正則性)。Biorthogonal函數(shù)系通常表示成biorNr.Nd的形式：Nr1Nd1，3，5Nr2 Nd2，4，6，8Nr3 Nd1，3，5，7，9Nr4 Nd4Nr5 Nd5Nr6 Nd8其中，r表示重構(gòu)(Reconstruction)；d表

13、示分解(Decomposition)。我們畫出bior2.4和bior4.4小波(分別用于分解與重構(gòu))的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾波器和重構(gòu)濾波器的圖形，如圖2.4所示。在MATLAB中，可輸入命令waveinfo(bior)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。圖2.4（4）Coiflet(coifN)小波系Coiflet函數(shù)也是由Daubechies構(gòu)造的一個小波函數(shù)，它具有coifN(N1，2，3，4，5)這一系列。Coiflet具有比dbN更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifN具有和db3N和sym3N相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifN具有和db2N和sym2N相同的消失矩數(shù)目。在這

14、里，我們畫出coif3和coif5小波的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾波器和重構(gòu)濾波器的圖形，如圖2.5所示。在MATLAB中，可輸入命令waveinfo(coif )獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。圖2.5（5）Morlet 小波Morlet小波是一種單頻復正弦調(diào)制高斯波，也是最常用的復值小波，它的時域、頻域形式如下：時域 頻域 Morlet小波的時域、如圖2.6（a），（b）所示。注意：此小波不滿足可容許性條件，因為，不過當時，我們認為，近似滿足容許性條件。圖2.6Morlet小波是一種復數(shù)小波，其時頻域都有很好的局部性，常用于復數(shù)信號的分解及時頻分析中。Morlet小波在推廣到n維時具有很好的角度選擇

15、性。由于它的尺度函數(shù)不存在，因此分析不具有正交性。（6）Marr小波（Mexcian hat）Marr小波的形狀好似墨西哥草帽，因此有時也稱它為墨西哥草帽（Mexcian hat function）小波，如圖2.7所示。它的時域、頻域形式如下：時域 頻域 ，Marr小波為高斯函數(shù)的二階導數(shù)，在處，有二階零點，在時、頻域同時具有很好的局部性。由于它的尺度函數(shù)不存在，因此分析不具有正交性。圖2.7（7）DOG（Difference of Gaussian）小波DOG小波是兩個尺度相差一倍的高斯函數(shù)之差，其波形如圖2.7所示。它的時域公式如下：在處，它的傅里葉變換有二階零點 （7）Meyer函數(shù)Me

16、yer小波的小波函數(shù)y和尺度函數(shù)f都是在頻域中進行定義的，是具有緊支撐的正交小波。其中，v(a)為構(gòu)造Meyer小波的輔助函數(shù)，且有v(a)a4(3584a70a220a3)a0，1在MATLAB中，可輸入waveinfo(meyr)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)，如圖2.8所示。 圖2.8 （8）Battle-Lemarie小波Battle-Lemarie小波在MATLAB工具箱中不存在，但它也是我們常用到的一個小波函數(shù)。它具有兩種形式，一種具有確定的正交性，一種不具有確定的正交性。當N1時，尺度函數(shù)是線性樣條函數(shù)；當N2時，尺度函數(shù)是具有有限支撐的B-樣條函數(shù)。更一般的情況，對于一個N次B樣條小波，

17、尺度函數(shù)為當N為奇數(shù)時，k0；當N為偶數(shù)時，k1。上式可以用來構(gòu)造濾波器。它的雙尺度關系為當N為偶數(shù)時，是對稱的，x1/2；當N為奇數(shù)時，是反對稱的，x0。表1-1MATLAB工具箱中15個小波(或小波系)的主要性質(zhì)2.4.2 幾種常用信號的連續(xù)小波變換下面給出幾種常用信號的小波變換：（1）函數(shù)的連續(xù)小波變換（2）正弦函數(shù)的連續(xù)小波變換（3） 白噪聲的連續(xù)小波變換2.5 連續(xù)小波變換的應用舉例MATLAB函數(shù)：（1） scal2frq函數(shù)：尺度轉(zhuǎn)換為頻率函數(shù)%設置小波函數(shù)、時間間隔和采樣點數(shù)wname=morl;A=0;B=64;P=500;%計算采樣周期和采樣函數(shù)及真實頻率t=linspac

18、e(A,B,P);delta=(B-A)/(P-1);tab_OMEGA=5,2,1;tab_FREQ=tab_OMEGA/(2*pi);tab_COEFS=5,3,2;x=zeros(1,P);for k=1:3 x=x+tab_COEFS(k)*sin(tab_OMEGA(k)*t);end%設置尺度并且使用scalfrq函數(shù)計算準頻率序列scales=1:1:60;tab_PF=scal2frq(scales,wname,delta);%計算最近似的準周期和相應頻率for k=1:3 dummy,ind=min(abs(tab_PF-tab_FREQ(k); PF_app(k)=tab_

19、PF(ind); SC_app(k)=scales(ind);end%進行連續(xù)分解并繪圖str1=strvcat(500 samples of x=5*sin(5t)+3*sin(2t)+2*sin(t) on 0,64真實頻率（Hz）:5 2 1/(2*pi)=,num2str(tab_FREQ,3)str2=準周期函數(shù)組和尺度： ;str3=num2str(tab_PF,scales,3);str4=準頻率=,num2str(PF_app,3);str5=對應尺度=,num2str(SC_app,3);figure;cwt(x,scales,wname,plot);ax=gca;color

20、baraxTITL=get(ax,title);axXLAB=get(ax,xlabel);set(axTITL,String,str1)set(axXLAB,String,str4, - ,str5)clcdisp(strvcat(,str1,str3,str4,str5)（2）wfilters函數(shù)：小波濾波器格式1：Lo_D,Hi_D,Lo_R,Gi_R=wfilters(wname);計算正交小波或雙正交小波wname相關的4個濾波器。格式2：F1,F2=wfilters(wname,type)Type: d,r,l,h%設置小波名稱wname=db5;%計算該小波的4個濾波器組Lo_D

21、,Hi_D,Lo_R,Gi_R=wfilters(wname);subplot(221);stem(Lo_D);title(分解低通濾波器);subplot(222);stem(Hi_D);title(分解高通濾波器);subplot(223);stem(Lo_R);title(重構(gòu)低通濾波器);subplot(224);stem(Gi_R);title(重構(gòu)高通濾波器);（3）畫尺度函數(shù)和小波函數(shù)%設置有效支撐和網(wǎng)格參數(shù)lb=-8;ub=8;n=1024;%計算并畫出Meyer小波和尺度函數(shù)phi,psi,x=meyer(lb,ub,n);subplot(211);plot(x,psi);t

22、itle(Meyer 小波)subplot(212);plot(x,psi);title(Meyer 尺度函數(shù))CWT的變換過程1. 把小波(t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較2. 計算系數(shù)c 。該系數(shù)表示該部分信號與小波的近似程度。系數(shù) c 的值越高表示信號與小波越相似，因此系數(shù)c 可以反映這種波形的相關程度3. 把小波向右移，距離為k，得到的小波函數(shù)為(t-k)，然后重復步驟1和2。再把小波向右移，得到小波(t-2k)，重復步驟1和2。按上述步驟一直進行下去，直到信號f(t)結(jié)束4. 擴展小波(t)，例如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為(t/2)5. 重復步驟14CWT的變換過程圖示CWT小結(jié)小波的縮放因子與信號頻率之間的關系可以這樣來理解。