垂直于弦的直徑

1、垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑 復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問: 1 1、什么是軸對稱圖形？我們學(xué)過哪些軸對稱圖形、什么是軸對稱圖形？我們學(xué)過哪些軸對稱圖形? ? 如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能 夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形。如線段、夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形。如線段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形 2 2、我們所學(xué)的圓是不是軸對稱圖形呢？、我們所學(xué)的圓是不是軸對稱圖形呢？ 圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每 一條直線都是它們的對稱軸一條直線都是它們的對

2、稱軸 . 探究活動 做一做：做一做：如何迅速確定圓紙片的圓心。如何迅速確定圓紙片的圓心。 為什么？為什么？ 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形, , 經(jīng)過圓心的每一經(jīng)過圓心的每一 條直線都是它的條直線都是它的 對稱軸對稱軸. . O C AB D 在在 O中，直徑中，直徑ABCD，圖，圖 中有那些相等的量？中有那些相等的量？ 探究活動 為什么為什么? A B E D C O 在在 O中，如果中，如果ABCD，CD是直徑。是直徑。 圖中有那些相等的量？為什么圖中有那些相等的量？為什么? 探究活動探究活動 AE=BE AC BC = AD BD = 在在 O中中CD是直徑是直徑 CDAB于于E 已知：在

3、已知：在 O中，中，CD是直徑，是直徑，AB是弦，是弦，CDAB，垂，垂 足為足為E（如圖）。（如圖）。 求證：求證：AE=BE ， ， AC BC= AD BD.= , O C D EBA 證明：證明： 連結(jié)連結(jié)OA、OB， OAOB,CDAB 直徑直徑CD所在的直線既是等腰所在的直線既是等腰 三角形三角形OAB的對稱軸，又是的對稱軸，又是 O 的對稱軸的對稱軸. 則則A點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)重合，點(diǎn)重合，AE 和和BE重合，重合， AC BC 和和 AD BD 和和 也重合也重合. AE=BE ， ， AC BC= AD BD.= , 垂徑定理垂徑定理: : 垂直于弦的直徑平垂直于弦的直徑平 分這條

4、弦分這條弦, ,并且平分并且平分 弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧. . O C D EBA AE=BE AC BC = AD BD = 在在 O中中CD是直徑是直徑 CDAB于于E C B O E A O E B A 如圖，在如圖，在 O中，中，OEAB于于E. 圖（圖（1）中，）中，AE=BE嗎？為什么？嗎？為什么？ 探究活動 （1） （2） 圖（圖（2）中，）中，AE=BE 嗎？嗎？ 為什么？為什么？ AC BC = 垂徑定理垂徑定理: : 經(jīng)過圓心的一條直經(jīng)過圓心的一條直 線或線段線或線段 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑 平分這條弦平分這條弦, ,并且平分并且平分 弦所對的兩條弧弦所對的兩條

5、弧. . D O C D EBA AE=BE AC BC = AD BD = 在在 O中中CD是直徑是直徑 CDAB于于E O B A C D E O B A E C D ( )( ) 探究活動 如圖，如圖，AE=BE AC BC = AD BD =嗎？為什么？嗎？為什么？ O E B A O E A 將圓的有關(guān)問題將圓的有關(guān)問題 轉(zhuǎn)化為解直角三轉(zhuǎn)化為解直角三 角形的問題角形的問題 例例1. 如圖如圖,已知在已知在 O中中,弦弦AB的長為的長為8cm, 圓心圓心O到到AB的距離為的距離為3cm,求求 O的的 半徑半徑. 4 3 練一練：練一練： 圓的半徑為r、圓心到弦的 距離d、弦長a之間的關(guān)

6、系式： 2 22 2 a dr 結(jié)結(jié) 論論 1 1半徑為半徑為4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圓心那么圓心O O到弦到弦ABAB的距離是的距離是 。 2 2 OO的直徑為的直徑為10cm10cm，圓心，圓心O O到弦到弦ABAB的的 距離為距離為3cm3cm，則弦，則弦ABAB的長是的長是 。 3 3半徑為半徑為2cm2cm的圓中，過半徑中點(diǎn)且的圓中，過半徑中點(diǎn)且 垂直于這條半徑的弦長是垂直于這條半徑的弦長是 。 cm32 cm32 8cm A AB B O O E E A A B B O O E E O O A AB B E E 練練 習(xí)習(xí) O A BCD

7、例例2. 如圖如圖,在以在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中為圓心的兩個同心圓中, 大圓的弦大圓的弦AB交小圓于交小圓于C、D兩點(diǎn)兩點(diǎn). 求證求證:AC=BD E 證明：過證明：過O作作OEAB于于E，則，則 AE=BE，CE=DE AECE=BEDE AC=BD 實(shí)際上，往往只需從圓心作一條與弦垂直的實(shí)際上，往往只需從圓心作一條與弦垂直的 線段線段.就可以利用垂徑定理來解決有關(guān)問題了就可以利用垂徑定理來解決有關(guān)問題了. O A B CD 例例2. 如圖如圖,在以在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中為圓心的兩個同心圓中, 大圓的弦大圓的弦AB交小圓于交小圓于C、D兩點(diǎn)兩點(diǎn). 求證求證:AC=BD 圖形變?yōu)橄铝袌D形

8、圖形變?yōu)橄铝袌D形 時，還有時，還有AC=BDAC=BD嗎？嗎？ 為什么？為什么？ O A B C D E 證明：過證明：過O作作OEAB于于E，則，則 AE=BE，CE=DE AE+CE=BE+DE AC=BD A B O 650 600 在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些 油后,油面寬AB=600mm,求油的最大深度. 思考與討論思考與討論 AB O E )( 2 650 mmOB D )( 2 600 mmEB 油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm) 或者油的最大深度或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm). (1) 在直徑為在直徑為650mm650mm的

9、圓柱形油槽內(nèi)裝入一些的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些 油后油后, ,油面寬油面寬AB=600mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。 22 EBOBOE OE=125(mm) (2) BA O E D 解：解： 數(shù)學(xué)來源于生活數(shù)學(xué)來源于生活. 服務(wù)于生活服務(wù)于生活. 小結(jié)：小結(jié)： 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形, ,經(jīng)過圓心的每一條直經(jīng)過圓心的每一條直 線都是它的對稱軸線都是它的對稱軸. . 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, , 并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧. . 垂徑定理垂徑定理: : 在解決有關(guān)圓的問題時，可以利用在解決有關(guān)圓的問題時，可以利用 垂徑定

10、理將其轉(zhuǎn)化為垂徑定理將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形解直角三角形 的問題的問題 。 問題與思考問題與思考 如果將垂徑定理條件中的如果將垂徑定理條件中的 AB CD與結(jié)論中的與結(jié)論中的 AE=BE交換，即交換，即 在在 O中，中，CD是直徑，是直徑， AB是弦，是弦，CD交交AB于于E. 如果如果 AE=BE . 那么，那么，AEBE， AC BC= AD BD=, 成立嗎成立嗎?為什么？為什么？ D O C D EBA . 垂徑定理垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分 弦所對的兩條弧。弦所對的兩條弧。 題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論 （1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直

11、于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所對的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧 （5）平分弦所對的劣弧）平分弦所對的劣弧 （3） （4） （2） （1） （5） （1） （4） （3） （2） （5） 討論討論 （3） （1） （2） （4） （5） （2） （3） （1） （4） （5） （1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所對優(yōu)?。┢椒窒宜鶎?yōu)弧 （5）平分弦所對的劣?。┢椒窒宜鶎Φ牧踊?（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且 平分弦所對的兩條弧平分弦所對的兩條弧 （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對

12、）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對 的兩條弧的兩條弧 （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦， 并且平分弦所對的另一條弧并且平分弦所對的另一條弧 命題命題(1)平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑的直徑 垂直于弦，并且平分弦所對的兩垂直于弦，并且平分弦所對的兩 條弧條弧 已知已知:CD是直徑是直徑,AB是弦是弦,并且并且CD平分平分AB 求證：求證：CDAB，ADBD，ACBC B .O A E D C 命題命題(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分并且平分 弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧 已知已知:AB是弦是弦,CD平分

13、平分AB,CD AB 求證：求證：CD是直徑，是直徑， ADBD，ACBC 命題命題(3):平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平垂直平 分弦分弦,并且平分弦所對的另一條弧并且平分弦所對的另一條弧 已知：已知：CD是直徑是直徑,AB是弦是弦,并且并且ADBD (ACBC)求證：求證：CD平分平分AB，ACBC (ADBD),CD AB 推論（推論（1） （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于 弦弦,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧 （2） （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦所對的一條弧的直徑，垂直 平分弦，并且平分弦所對和的另

14、一條弧平分弦，并且平分弦所對和的另一條弧 垂直于弦的直徑平分這條弦，垂直于弦的直徑平分這條弦， 并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。 (1)平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦, 并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧 (2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平 分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條弧 (3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦所對的一條弧的直徑，垂直 平分弦，并且平分弦所對的另一條弧平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 垂徑定理垂徑定理 記憶記憶 推推 論論 1 根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和根據(jù)垂徑定理與推論可知對

15、于一個圓和 一條直線來說。如果具備一條直線來說。如果具備 （1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所對的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧 （5）平分弦所對的劣弧）平分弦所對的劣弧 上述五個條件中的任何兩個條件都可以上述五個條件中的任何兩個條件都可以 推出其他三個結(jié)論推出其他三個結(jié)論 注意注意 判斷判斷 （1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的 弧弧.( ) （2）弦所對的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且）弦所對的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且 經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心.( ) （3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平）圓的不與

16、直徑垂直的弦必不被這條直徑平 分分.( ) （4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的 兩條弧兩條弧( ) （5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（ ） 例例1 如圖，已知在如圖，已知在 O中，弦中，弦 AB的長為的長為8厘米，圓心厘米，圓心O到到AB 的距離為的距離為3厘米，求厘米，求 O的半徑的半徑. 解：連結(jié)解：連結(jié)OA。過。過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有中，根據(jù)勾股定理有OA5厘米厘米 O的半徑為的半徑為5厘米。厘米。 . A E B O 講解講解 例例2 已知：如圖，在以已知：如圖，在以O(shè) 為圓心的兩個同心圓中，為圓心的兩個同心圓中， 大圓的弦大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D 兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。 求證：求證：ACBD。 證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBD E . A CD B O 講解講解 例例3 已知：已知： O中弦中弦ABCD。 求證：求證：ACBD 證明：作直徑證明：作直徑MNAB。 ABCD，MNCD。 則則AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分 弦的直徑平分弦所