數(shù)學(xué)-南京市2015屆高三9月學(xué)情調(diào)研卷-數(shù)學(xué)

1、 南京市2015屆高三年級學(xué)情調(diào)研卷 數(shù) 學(xué) 2014.09注意事項：1本試卷共3頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫在答題卡上試題的答案寫在答題卡上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題卡一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1函數(shù)f(x)cos2xsin2x的最小正周期為 2已知復(fù)數(shù)z，其中i是虛數(shù)單位，則|z| 3某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為4：3：3，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為80的樣本，則應(yīng)從

2、高一年級抽取 名學(xué)生S0SSk2開始輸出S結(jié)束YNk5（第6題圖）k1kk24從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機選出2名代表參加學(xué)校會議，則甲被選中的概率是 5已知向量a(2，1)，b(0，1)若(ab)a，則實數(shù) 6右圖是一個算法流程圖，則輸出S的值是 7已知雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為yx，則該雙曲線的離心率為 8已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則這個圓錐的高是 9設(shè)f(x)x23xa若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍為 10在ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c已知ac2b，sinBsinC，則cosA 11若f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，則

3、實數(shù)a的取值范圍為 12記數(shù)列an的前n項和為Sn若a11，Sn2(a1an)(n2，nN*)，則Sn 13在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2y26x50，點A，B在圓C上，且AB2，則|的最大值是 14已知函數(shù)f(x)x1(e1)lnx，其中e為自然對數(shù)的底，則滿足f(ex)0的x的取值范圍為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)2sin(2x)(02)的圖象過點(，2)（1）求的值；（2）若f()，0，求sin(2)的值16（本小題滿分14分）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，

4、M，N分別為AB，B1C1的中點（1）求證：MN平面AA1C1C；（2）若CC1CB1，CACB，平面CC1B1B平面ABC，求證：AB平面CMNA1ABCB1C1MN（第16題圖）17（本小題滿分14分）已知an是等差數(shù)列，其前n項的和為Sn， bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b421，S4b430（1）求數(shù)列an和bn的通項公式；（2）記cnanbn，nN*，求數(shù)列cn的前n項和18（本小題滿分16分）給定橢圓C：1(ab0)，稱圓C1：x2y2a2b2為橢圓C的“伴隨圓”已知橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(0，1)（1）求實數(shù)a，b的值；（2）若過點P(0，m)(m0)的直線l與橢圓C有且

5、只有一個公共點，且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2，求實數(shù)m的值19（本小題滿分16分）如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中tan2在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km，km現(xiàn)要過點P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個工業(yè)園為盡量減少耕地占用，問如何確定B點的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最??？并求最小面積AMNP（第19題圖）CB20（本小題滿分16分）已知函數(shù)f(x)ax3|xa|，aR（1）若a1，求函數(shù)yf(x) (x0，)的圖象在x1處的切線方程；（2）若g(x)x4，試討論方程f(x)g(x)的

6、實數(shù)解的個數(shù)；（3）當(dāng)a0時，若對于任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，求滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合南京市2015屆高三年級學(xué)情調(diào)研卷 數(shù)學(xué)附加題 2014.09注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫在答題卡上試題的答案寫在答題卡上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題卡21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講CAPOQ（第21題A圖）B如圖，PA是圓O的切線

7、，A為切點，PO與圓O交于點B、C，AQOP，垂足為Q若PA4，PC2，求AQ的長B選修42：矩陣與變換已知矩陣A屬于特征值l的一個特征向量為 （1）求實數(shù)b，l的值；（2）若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下，得到的曲線為C：x22y22，求曲線C的方程C選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù) )，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))若點P是圓C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值D選修45：不等式選講已知a，b是正數(shù)，且ab1，求證：(axby)(bxay)xy【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、

8、證明過程或演算步驟22如圖，已知長方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，CC15，E是棱CC1上不同于端點的點，且（1） 當(dāng)BEA1為鈍角時，求實數(shù)的取值范圍；（2） 若，記二面角B1A1BE的的大小為，求|cos|（第22題圖）ABCDEA1B1C1D123某商店為了吸引顧客，設(shè)計了一個摸球小游戲，顧客從裝有1個紅球，1個白球，3個黑球的袋中一次隨機的摸2個球，設(shè)計獎勵方式如下表：結(jié)果獎勵1紅1白10元1紅1黑5元2黑2元1白1黑不獲獎（1）某顧客在一次摸球中獲得獎勵X元，求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望；（2）某顧客參與兩次摸球，求他能中獎的概率2015屆高三年級學(xué)情調(diào)研卷 數(shù)學(xué)參考答

9、案及評分標準 2014.09說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細則2對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)4只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1 2 332 4 55 635 72 8 9(0， 10 11，) 1222n1 138 14(0，1)二、解答題：本大題

10、共6小題，共計90分15（本小題滿分14分）解：（1）因為函數(shù)f(x)2sin(2x)(02)的圖象過點(，2)，所以f()2sin()2，即sin1 4分因為02，所以 6分（2）由（1）得，f(x)2cos2x 8分因為f()，所以cos又因為0，所以sin 10分所以sin22sincos，cos22cos21 12分從而sin(2)sin2coscos2sin 14分16（本小題滿分14分）證明：（1）取A1C1的中點P，連接AP，NPA1ABCB1C1MN（第16題圖）P因為C1NNB1，C1PPA1，所以NPA1B1，NPA1B1 2分在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB，A

11、1B1AB故NPAB，且NPAB 因為M為AB的中點，所以AMAB所以NPAM，且NPAM所以四邊形AMNP為平行四邊形所以MNAP 4分因為AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN平面AA1C1C 6分（2）因為CACB，M為AB的中點，所以CMAB 8分因為CC1CB1，N為B1C1的中點，所以CNB1C1 在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，所以CNBC因為平面CC1B1B平面ABC，平面CC1B1B平面ABCBCCN平面CC1B1B，所以CN平面ABC 10分因為AB平面ABC，所以CNAB 12分因為CM平面CMN，CN平面CMN，CMCNC，所以AB平面CMN

12、14分17（本小題滿分14分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q由a1b12，得a423d，b42q3，S486d 3分由條件a4b421，S4b430，得方程組解得所以ann1，bn2n，nN* 7分（2）由題意知，cn(n1)2n記Tnc1c2c3cn則Tnc1c2c3cn 22322423n2n1 (n1)2n，2 Tn 222323(n1)2n1n2n (n1)2n1，所以Tn22(22232n )(n1)2n1， 11分即Tnn2n1，nN* 14分18（本小題滿分16分）解：（1）記橢圓C的半焦距為c由題意，得b1，c2a2b2，解得a2，b1 4分（2）由

13、（1）知，橢圓C的方程為y21，圓C1的方程為x2y25顯然直線l的斜率存在設(shè)直線l的方程為ykxm，即kxym0 6分因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，故方程組 （*） 有且只有一組解由（*）得(14k2)x28kmx4m240從而(8km)24(14k2)( 4m24)0化簡，得m214k2 10分因為直線l被圓x2y25所截得的弦長為2，所以圓心到直線l的距離d即 14分由，解得k22，m29 因為m0，所以m3 16分19（本小題滿分16分）解：（方法一）(A)xNPyOBC（第19題圖1）如圖1，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系因為tan2，故直線AN的方程是y2x設(shè)點

14、P(x0，y0)因為點P到AM的距離為3，故y03由P到直線AN的距離為，得，解得x01或x04(舍去)，所以點P(1，3) 4分顯然直線BC的斜率存在設(shè)直線BC的方程為y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 6分由解得yC 8分設(shè)ABC的面積為S，則SxByC1 10分 由S 0得k或k3當(dāng)2k時，S0，S單調(diào)遞減；當(dāng)k0時，S0，S單調(diào)遞增 13分所以當(dāng)k時，即AB5時，S取極小值，也為最小值15 答：當(dāng)AB5km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2 16分（方法二）如圖1，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系因為tan2，故直線AN的方程是y2x設(shè)點P(x0，y0)因

15、為點P到AM的距離為3，故y03由P到直線AN的距離為，得，解得x01或x04(舍去)，所以點P(1，3) 4分顯然直線BC的斜率存在設(shè)直線BC的方程為y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 6分由解得yC 8分設(shè)ABC的面積為S，則SxByC1 10分 令8k9t，則t(25，9)，從而k 因此S111 13分因為當(dāng)t(25，9)時，t(34，30，當(dāng)且僅當(dāng)t15時，此時AB5，34t的最大值為4從而S有最小值為15答：當(dāng)AB5km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2 16分（方法三）如圖2，過點P作PEAM，PFAN，垂足為E、F，連接PA設(shè)ABx，ACyAMNPBC（第19

16、題圖2）EF因為P到AM，AN的距離分別為3， 即PE3，PF由SABCSABPSAPCx3y (3xy) 4分因為tana2，所以sina 所以SABCxy 8分由可得xy (3xy)即3x5y2xy 10分因為3x5y2，所以 2xy2解得xy15 13分當(dāng)且僅當(dāng)3x5y取“”，結(jié)合解得x5，y3 所以SABCxy 有最小值15答：當(dāng)AB5km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2 16分20（本小題滿分16分）解：（1）當(dāng)a1，x0，)時，f(x)x3x1，從而f (x)3x21當(dāng)x1時，f(1)1，f (1)2，所以函數(shù)yf(x) (x0，)的圖象在x1處的切線方程為y12(x

17、1)，即2xy30 3分（2）f(x)g(x)即為ax3|xa|x4所以x4ax3|xa|，從而x3(xa)|xa|此方程等價于xa或或 6分所以當(dāng)a1時，方程f(x)g(x)有兩個不同的解a，1；當(dāng)1a1時，方程f(x)g(x)有三個不同的解a，1，1；當(dāng)a1時，方程f(x)g(x)有兩個不同的解a，1 9分（3）當(dāng)a0，x(a，)時，f(x)ax3xa，f (x)3ax210，所以函數(shù)f(x)在(a，)上是增函數(shù)，且f(x)f(a)a40所以當(dāng)xa，a2時，f(x)f(a)，f(a2)，當(dāng)xa2，)時，f(x) f(a2)，) 11分因為對任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x

18、1)f(x2)1024，所以， f(a2)，) 13分從而f(a2)所以f 2(a2)1024，即f(a2)32，也即a(a2)3232因為a0，顯然a1滿足，而a2時，均不滿足所以滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合為1 16分2015屆高三年級學(xué)情調(diào)研卷 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標準 2014.09說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細則2對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再

19、給分3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分CAPOQ（第21題A圖）BA選修41：幾何證明選講證明：連接AO設(shè)圓O的半徑為r因為PA是圓O的切線，PBC是圓O的割線， 所以PA2PCPB 3分 因為PA4，PC2，所以422(22r)，解得r3 5分所以POPCCO235，AOr3由PA是圓O的切線得PAAO，故在RtAPO中，因為AQPO，由面積法可知，AQPOAPAO，即AQ 10分B選修42：矩陣與變換解：（1）因為矩陣A屬于特征值l的一個特征向量為， 所以l，即 3分從而解得b0，l2 5分（2）由（1）知，A設(shè)曲線C上任一點M(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍€C上一點P(x0，y0)，則， 從而 7分因為點P在曲線C上，所以x022y022，即(2x)22(x3y)22，從而3x26xy9y21 所以曲線C的方程為3x26xy9y21 10分C選修44：坐標系與參數(shù)方程解：（方法一）直線l的普通方程為xy0 3分因為點P在圓C上，故設(shè)P(cos，sin)，從而點P到直線l的距離d 7分所以dmin1即點P到直線l的距離的最小值為1 10分(方法二) 直線l的普通方程為xy0 3分圓C的圓心坐標為(，0)，半徑為1從而圓心C到