01幾何公理法簡介

1、幾何公理法簡介 歐幾里得是古希臘最偉大的一位幾何學(xué)家他是柏拉圖派的學(xué)生，曾在埃及 的亞歷山大城教過數(shù)學(xué)，并且是希臘的亞歷山大學(xué)派的創(chuàng)始人歐幾里得在他的千古不朽的名著幾何原本 （以后簡稱為原本 ）中，不 僅非常詳盡地搜集了當(dāng)時(shí)人們所知道的一切幾何學(xué)方面的資料， 而且還把這些非 常分散的知識用邏輯推理的方法， 編排成為一個(gè)系統(tǒng)的理論體系 他把幾何學(xué)依 照亞里斯多德所說的嚴(yán)密科學(xué)理論的要求建筑在幾個(gè)最初的假設(shè)（定義、公設(shè)、 公理）上，由這些假設(shè)利用邏輯推理導(dǎo)出后面的一切定理不僅如此，歐幾里得 還示范式地規(guī)定了幾何證明的方法，主要是分析法、綜合法和歸謬法因此，歐 幾里得的原本不但在完善和充實(shí)上大大地超

2、過了在它以前的所有幾何學(xué)著作， 并且在以后的兩千余年間依然沒有一部幾何著作可以和它比美 雖然十九世紀(jì)二 十年代，俄國偉大的數(shù)學(xué)家尼伊羅巴切夫斯基（17921856年）有了新的 發(fā)現(xiàn)，使幾何學(xué)發(fā)生了革命，但直到現(xiàn)在，中學(xué)幾何教科書中的敘述方法，仍與 原本沒有多大的實(shí)質(zhì)性的差別歐幾里得原本的基本結(jié)構(gòu)是定義、公設(shè)和公理的系統(tǒng) 原本共有十 三卷，其中 1 、 2、3、4、6、 1 1 、 1 2、 1 3卷屬于幾何本身，其余則講比例（用幾 何方式來敘述）和算術(shù)（屬代數(shù)學(xué)的內(nèi)容） 第一卷，包括三角形全等的條件、 三角形的邊角關(guān)系、平行線的理論以及三角形、 多邊形面積相等的理論 第二卷， 敘述了如何把多邊

3、形變成等積的正方形第三卷，敘述了圓的性質(zhì)第四卷，討 論了圓的內(nèi)接和外切多邊形第六卷，論述了相似多邊形在最后三卷中，敘述 了立體幾何的理論原本的每卷里，首先給要建立相互關(guān)系的一些重要概念下了定義例如 在第一卷里，首先列舉了 23 個(gè)定義為便于以后分析研究，在這里我們摘引最 先的八個(gè)定義：1. 點(diǎn)是沒有部分的2. 線是有長度而沒有寬度的3. 線的界限是點(diǎn)4. 直線是這樣的線，它上面的點(diǎn)是一樣放置著的5. 面是只有長度和寬度的6. 面的界限是線7. 平面是這樣的面，它上面的直線是一樣放置著的8. 平面上的角度是平面上的兩條相交直線相互的傾斜度 在定義以后，歐幾里得引進(jìn)了公設(shè)和公理公設(shè)：1. 從任一點(diǎn)

4、到另一點(diǎn)可以引直線2. 每條直線都可以無限延長3. 以任意點(diǎn)作中心可以用任意半徑作圓周4. 所有的直角都相等5. 平面上兩直線被第三條直線所截， 若截線一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于二直角， 則兩直線必相交于截線的這一側(cè)公理：1. 等于同一量的量彼此相等2. 等量加等量得到等量3. 等量減等量得到等量4. 不等量加等量得到不等量5. 等量的兩倍相等6. 等量的一半相等7. 能合同的量相等8. 全體大于部分在公理后面，歐幾里得按邏輯關(guān)系敘述了幾何定理，把它們按一定的順序， 排成使得每個(gè)定理可以根據(jù)前面的命題、 公設(shè)和定理來證明 他整理幾何所用的 方法是正確的，編著的原本是偉大的，但由于歷史的局限性，歐幾里

5、得不可 能把作為幾何根基的基礎(chǔ)整理得完美無缺 因此在原本 的邏輯系統(tǒng)中顯示出 許多漏洞來首先在概念方面，歐幾里得要給他的書里所遇到的所有概念來下定義，實(shí)際 上這是不可能的例如“點(diǎn)” “線”“面”就是不能下定義的原始概念所以，在 歐幾里得的原本里，除了一些有價(jià)值的定義外，也有一些定義并沒有起定義 的作用例如定義 4，直線是關(guān)于它上面的點(diǎn)都一樣放置著的線，這句話可隨便 解釋可以解釋為直線在它的所有點(diǎn)處都有同一方向， 但是這樣以來， 就必須建 立“方向”這個(gè)概念；也可以解釋為，任何直線都可以合同，但是這樣以來就必 須建立“合同”（或“疊合”“運(yùn)動”）這個(gè)概念其他如定義 1，“點(diǎn)是沒有部分 的”，這個(gè)

6、定義本身并沒有什么精確的幾何內(nèi)容，所以在原本中連歐幾里得 本人都不能應(yīng)用這樣的定義關(guān)于原本中列舉的公設(shè)和公理，若嚴(yán)格按邏輯要求來證明以后的所有定 理，這些公設(shè)與公理是不夠的例如，雖然歐幾里得用到了連續(xù)性，但在他的公 理系統(tǒng)中卻沒有連續(xù)公理 原本中第一卷第一個(gè)命題是這樣的：在一定直線 （應(yīng)為線段）上作一等邊三角形設(shè) AB 是已知的一定直線，要作立在定直線 AB 上的等邊三角形以 A 為中心， AB 為距離畫一圓，且以 B 為中心， BA 為距離畫一圓連結(jié)這 兩圓的交點(diǎn)C與兩點(diǎn)A和B,由于點(diǎn)A是圓BCD的中心，AC= AB;由于點(diǎn)B 是圓ACE的中心，BC= BA,所以CA= BC = AB.因此

7、，三角形 ABC是等邊三 角形，并且是立在定直線 AB 上的，這就是所求的在這段論證中，歐幾里得是以直觀為依據(jù)的，他引用了“如果兩個(gè)圓中的每 一個(gè)都通過另一個(gè)的內(nèi)點(diǎn)， 則兩圓心相交于某一點(diǎn)” 這樣的事實(shí)， 然而他卻沒有 以公理的形式加以規(guī)定.其他如“在直線上兩點(diǎn)之間的點(diǎn)” “在直線的同一側(cè)的 點(diǎn)”“在多邊形內(nèi)的點(diǎn)”等，歐幾里得在公設(shè)和公理中，從沒有對這些概念下定 義，都是依靠直觀感覺.然而，在幾何學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)里，每一命題，不論是多么 顯然，如果它不被公理所包含的話，就應(yīng)該證明.此外，歐幾里得的某些公理是 不夠肯定和確切的，例如公理 8 就是這樣.根據(jù)上面所說，原本公理體系的最大的缺點(diǎn)是沒能夠包

8、含幾何學(xué)無可非 議的邏輯根據(jù).古代的學(xué)者們已經(jīng)注意到了歐幾里得原本的缺點(diǎn)，阿基米德（公元前287212年）就曾擴(kuò)大了原本中的公設(shè)，增加了長度、面積和體 積的測度理論.歐幾里得只是確定了長度間、面積間、體積間的比值，而阿基米 德引進(jìn)了度量幾何的五個(gè)公設(shè)，其中第五個(gè)公設(shè)在現(xiàn)代幾何中我們還經(jīng)常地應(yīng) 用.這個(gè)公設(shè)是這樣寫的： “兩條不等的線段，兩個(gè)不等的面或兩個(gè)不等的體， 其中較小的一個(gè)量增加適當(dāng)?shù)谋稊?shù)后，可以變成大于較大的一個(gè)量” .現(xiàn)在這個(gè) 公理是這樣陳述的：“任何兩線段a和b,如果av b,則必存在正整數(shù)n,使得 nab成立”這個(gè)公理是度量幾何的理論根據(jù)，以后我們還會談到它.歐幾里得原本雖然有它的缺點(diǎn)，但它卻有著巨大的歷史意義. 原本 是幾何學(xué)方面最早的經(jīng)典著作，它是在公理法的基礎(chǔ)上，邏輯地創(chuàng)造幾何學(xué)的先 例，為后代數(shù)學(xué)家指明了研究幾何的正