高中數(shù)學分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)策略

1、 高中數(shù)學分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)策略 （325804）蒼南縣錢庫高級中學 徐登群 分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題，并能用數(shù)學語言正確地加以表述它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數(shù)學能力的綜合體現(xiàn)由于高考數(shù)學科的命題原則是在考查基礎知識的基礎上，注重對數(shù)學思想和方法的考查，注重數(shù)學能力的考查，強調(diào)了綜合性這就對考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求，也使試卷的題型更新，更具有開放性縱觀近幾年的高考，學生在這一方面失分的普遍存在，如97年的理科24題、98年的理科

2、24題、99年的理科23、24題、2000年的文科21題，這就要求我們教師在平時教學中注重分析和解決問題能力的培養(yǎng)，以減少在這一方面的失分筆者就分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)談幾點芻見一、分析和解決問題能力的組成 1審題能力 審題是對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質(zhì)的能力；分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力要快捷、準確在解決問題，掌握題目的數(shù)形特點、能對條件或所求進行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關重要的 例1 已知求的值分析：怎樣利用已知的二個等式？初看好象找不出條件和結(jié)論的聯(lián)系只

3、好從未知入手，當然，首先想到的是把、分別求出，然后求出它們的乘積，這是個辦法，但是不好求；于是可考慮將寫成，轉(zhuǎn)向求、令，于是從方程的觀點看，只要有、的二元一次方程就可求出、于是轉(zhuǎn)向求 ，這樣把問題轉(zhuǎn)化為下列問題：已知 求、的值2+2得 2-2得， 這樣問題就可以解決從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系，這需要一定的審題能力由此可見，審題能力應是分析和解決問題能力的一個基本組成部分2 合理應用知識、思想、方法解決問題的能力高中數(shù)學知識包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容；數(shù)學思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價轉(zhuǎn)化等；數(shù)

4、學方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學歸納法、反證法、配方法等基本方法只有理解和掌握數(shù)學基本知識、思想、方法，才能解決高中數(shù)學中的一些基本問題，而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢例2 （2000年全國高考題）設函數(shù) 其中 （）解不等式； （）求的取值范圍，使函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)解：（）不等式 即 由此得即其中常數(shù) 所以，原不等式等到價于 ， 即 所以，當時，所給不等式的解集為 當時，所給不等式的解集為 （）在區(qū)間上任取使得 ()當時， 又 即 所以，當時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù) （）當時，在區(qū)間上存在兩點滿足所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)綜上，當且僅當時，函數(shù)在區(qū)間上是單

5、調(diào)函數(shù)在上述的解答過程中可以看出，本題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識，分類討論的數(shù)學思想方法的運算、推理能力3 數(shù)學建模能力 近幾年來，在高考數(shù)學試卷中，都有幾道實際應用問題，這給學生的分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)而數(shù)學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心例3 （1999全國高考題）下圖為一臺冷軋機的示意圖冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出 （）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？（）（）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長為1600mm若第對軋輥有缺陷，每滾動一周

6、在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為為了便于檢修，請計算、并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度為變，且不考慮損耗） 軋輥序號 1 2 3 4疵點間距（單位:mm） 1600 解：厚度為的帶鋼經(jīng)過減薄率均為的對軋輥后厚度為 為使輸出帶鋼的厚度不超過，冷軋機的軋輥數(shù)（以對為單位）應滿足 ， 即 由于，對上式兩端取對數(shù)，得 ， 由于,所以 因此,至少需要安裝不小于的整數(shù)對軋輥（）第對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積為 （其中%）， 而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為 因?qū)挾认嗟?，且無損耗，由體積相等得 %）即 由此得 填表如下 軋輥序號 1 2 3 4

7、疵點間距（單位:mm） 3125 2500 2000 1600評述：（）題是一個常見的等比數(shù)列模型問題，即平均變化率類型，要解決該問題關鍵是理解題中“若每對軋輥的減薄率不超過”的含義；（）題若通過合理聯(lián)想，帶鋼從第對軋輥出口處兩疵點間的距離和冷軋機出口處兩疵點間的距離的關系，由于在此過程中，兩疵點間的鋼板體積相等，故是一等體積幾何模型問題，可列式：在該題的解答中，學生若沒有一定的數(shù)學建模能力，正確解決此題實屬不易因此，建模能力是分析和解決問題能力不可或缺的一個組成部分二、培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略1重視通性通法教學,引導學生概括、領悟常見的數(shù)學思想與方法數(shù)學思想較之數(shù)學基礎知識，有更高

8、的層次和地位它蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，它是一種數(shù)學意識，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段只有對數(shù)學思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時得心應手；只有領悟了數(shù)學思想與方法，書本的、別人的知識技巧才會變成自已的能力每一種數(shù)學思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，如分類討論思想可以分成：（1）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率的分類等；（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等又如數(shù)學方法的選擇，

9、二次函數(shù)問題常用配方法，含參問題常用待定系數(shù)法等因此，在數(shù)學課堂教學中應重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識一種“思想”或“方法”的個性，即認識一種數(shù)學思想或方法對于解決什么樣的問題有效從而培養(yǎng)和提高學生合理、正確地應用數(shù)學思想與方法分析和解決問題的能力2加強應用題的教學，提高學生的模式識別能力高考是注重能力的考試，特別是學生運用數(shù)學知識和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點，而高考中的應用題就著重考查這方面的能力，這從新課程版的考試說明與原來的考試說明中對能力的要求的區(qū)別可見一斑（新課程版將“分析和解決問題的能力”改為“解決實際問題的能力”）數(shù)學是充滿模式的，就解應用題而言，對其數(shù)

10、學模式的識別是解決它的前提由于高考考查的都不是原始的實際問題，命題者對生產(chǎn)、生活中的原始問題的設計加工使每個應用題都有其數(shù)學模型如1997年的“運輸成本問題”為函數(shù)與均值不等式；1998年的“污水池問題”為函數(shù)、立幾與均值不等式；1999年的“減薄率問題”是數(shù)列、不等式與方程；2000年的“西紅柿問題”是分段式的一次函數(shù)與二次函數(shù)等等在高中數(shù)學教學中，不但要重視應用題的教學，同時要對應用題進行專題訓練，引導學生總結(jié)、歸納各種應用題的數(shù)學模型，這樣學生才能有的放矢，合理運用數(shù)學思想和方法分析和解決實際問題 3適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面要分析和解決問題，必先理解題意，才能進一步

11、運用數(shù)學思想和方法解決問題近年來，隨著新技術革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學教育培養(yǎng)出更高數(shù)學素質(zhì)、具有更強的創(chuàng)造能力的人才，這一點體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重了能力的考查由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，而新背景題的背景新，這樣給學生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩,導致失分率較高.如1999年理科的第16題和第22題,很多學生由于對“壟”和“減薄率不超過”不理解而不知所措；又如2000年文科第16題和第21題、2001年春季高考的第11題，只有在讀懂所給的圖形的前提下，才能正確作出解答因此，在高中數(shù)學教學中適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面是提高學生分析和解決問題能力的必要的補充重視解題的回顧在數(shù)學解題過程中，解決問題以后，再回過頭來對自己的解題活動加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個重要環(huán)節(jié)這是數(shù)學解題過程的最后階段，也是對提高學生分析和解決問題能力最有意義的階段解題教學的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，真正的目的是為了提高學生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造精神，而這一教學目的恰恰主要通過回顧解題的教學來實現(xiàn)所以，在數(shù)學教學中要十分重視解題的回顧，與學生一起對解題的結(jié)果