數(shù)列的極限66812PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限66812 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 概念的概念的引入引入 R 正六邊形的面積A1 正 形的面積 1 26 n n A , 321n AAAAS 正十二邊形的面積A2 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積 第1頁/共19頁 1. 1. 數(shù)列的概念數(shù)列的概念 按照某一法則, 對(duì)每一nN, 對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn, 則得到一個(gè)序列 x1, x2, x3, , xn , , 這一序列叫做數(shù)列, 記為xn, 第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng). 2, , 4, , 8, , , , 2n , , ; ; 1, , 1, , 1, , , , ( 1)n 1, , . . ;,

2、2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n;, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n 注意： (1).數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取 ., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x (2).數(shù)列是整標(biāo)函數(shù) ),(nfxn . Nn 第2頁/共19頁 問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它. 通過觀察:當(dāng)n無限增大時(shí), n x n n 1 )1( 1 無限接近于1. 引例引例 觀察數(shù)列 )1( 1 1 n n n 當(dāng) 時(shí)的變化趨勢. , 100 1 給定給定 , 100 11 n 由由 ,100時(shí)時(shí)只要只要 n, 100 1

3、 1 n x有有 , 10000 1 1 n x有有 , 10000 1 給定給定 ,10000時(shí)時(shí)只要只要 n , 0 給定給定 ,) 1 (時(shí)時(shí)只要只要 Nn .1成立成立有有 n x 1 n x nn n 11 )1( 1 第3頁/共19頁 2. 2. 數(shù)列數(shù)列極限的通俗定義極限的通俗定義 當(dāng)n無限增大時(shí), 如果數(shù)列xn的一般項(xiàng)xn無限接近 于常數(shù)a, 則常數(shù)a稱為數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收 斂a, 記為 ax n n lim . 當(dāng)n無限增大時(shí), xn無限接近于a . 當(dāng)n無限增大時(shí), |xn-a|無限接近于0 . 當(dāng)n無限增大時(shí), |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小.

4、當(dāng)n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先給定的任意 小的正數(shù). 因此, 若 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先給 定的任意小的正數(shù), 則當(dāng)n無限增大時(shí), xn無限接近常數(shù)a. 第4頁/共19頁 3. 3. 數(shù)列數(shù)列極限的精確定義極限的精確定義 設(shè)xn為一數(shù)列, 如果存在常數(shù)a, 對(duì)于任意給定的正 數(shù) , 總存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 不等式 |xna |N 時(shí),所有的點(diǎn)xn 都落在開區(qū)間(a-,a+) ,只有 有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在這區(qū)間以外. 第6頁/共19頁 例例1 證明 . 1 )1( lim 1 n n n n 證明證明 , 0 要使 1 n x 1 )

5、1( 1 n n n 1 . n 只要 , 1 n , 1 N取取 則當(dāng)nN 時(shí),就有 1 )1( 1 n n n . 1 )1( lim 1 n n n n 所以所以 第7頁/共19頁 例例2 證明 n 2 ( 1) limlim0. (1) n nn x n 證明證明 , 0 由于由于 axn 0 )1( )1( 2 n n 2 )1( 1 n . 1 1 n 要使 , 1 1 n 即即 1 1.n 只要只要 |, n xa 1 1,N 取 則當(dāng)nN 時(shí),就有 axn 2 )1( 1 n 1 . 1n 所以所以 . 0 )1( )1( lim 2 n n n 第8頁/共19頁 例3 設(shè)|q

6、|N 時(shí),就有 ln 1, ln N q 取 1 0. n n xq 所以所以 . 0lim 1 n n q 第9頁/共19頁 二、二、 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì) 定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么它的極限唯一. 證明證明 : 假設(shè)同時(shí)有 ax n n lim 及 bx n n lim , 且 a0 , 存在充分大的正整數(shù) N , 使當(dāng)nN時(shí), 同時(shí)有 |x n a| 2 a b 及 |x n b| N 時(shí) , 有 因此該數(shù)列發(fā)散 . 第11頁/共19頁 定理2 (收斂數(shù)列的有界性) 收斂數(shù)列xn一定有界. 證證: 設(shè) ,limaxn n 取 ,1,N 則當(dāng) Nn 時(shí), 有

7、從而有 n xaaxn a1 取 ,max 21N xxxMa1 則有 . ),2,1(nMxn 由此證明收斂數(shù)列必有界. 注注 此性質(zhì)反過來不一定成立 . 例如, 1 )1( n 雖有界但不收斂 . aaxn)( , 1axn 數(shù)列 第12頁/共19頁 定理3(收斂數(shù)列的保號(hào)性) . 若 ,limaxn n 0( 0)a ,N N則Nn 當(dāng) 時(shí), 有 0( 0) n x 證證: : 對(duì) a 0 , 取 , 2 a ,N N則,時(shí)當(dāng)Nn axn 2 a n x0 2 a a ax 2 a 2 a 推論推論: : 若數(shù)列從某項(xiàng)起 0( 0) n x ,limaxn n 且 0( 0)a 則 第1

8、3頁/共19頁 子數(shù)列的收斂性子數(shù)列的收斂性 , 21ni xxxx 注：注： 例如，例如， , 21k nnn xxx 所謂子數(shù)列是指：數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保 持這些項(xiàng)在原數(shù)列xn中的先后次序，這樣得到的一 個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列（或子列）. 在子數(shù)列 中，一般項(xiàng) 是第k 項(xiàng)，而 在 k n x k n x k n x n x k n .knk 原數(shù)列 中卻是第 項(xiàng)，顯然， 第14頁/共19頁 定理4(收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列xn收斂于a，那末它任一子數(shù)列也收斂,且極限也是a. ,ax k n 證證: 設(shè)數(shù)列 k n x 是數(shù)列 n x 的任一子數(shù)列 . 若 ,limax

9、 n n 則 ,0 ,N 當(dāng) Nn 時(shí), 有 axn 現(xiàn)取正整數(shù) K , 使 ,NnK 于是當(dāng) Kk 時(shí), 有 k n K n N 從而有 由此證明 .limax k n k * * N K n N x K n x 第15頁/共19頁 注:若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限 ,則原數(shù) 列一定發(fā)散 . 故數(shù)列 發(fā)散. n x 1, 1 122 kk xx 證證：因?yàn)楫?dāng)：因?yàn)楫?dāng) 時(shí)時(shí), , k 證明 數(shù)列 是發(fā)散的. ), 2 , 1()1( 1 nx n n 第16頁/共19頁 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 數(shù)列極限的數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用定義及應(yīng)用 2. 2. 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): : 唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保號(hào)性保號(hào)性; 任一子數(shù)列收斂于同一極限任一子數(shù)列收斂于同一極限 思考與